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Ableitungen
28.11.2021
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-Ableitungen Näherungsweise Bestimmung der Ableitung •h-Methode Intervallänge h kleiner werden lassen (h→0) Bsp: f(x)=x2 प -0,1 -0,01 -0.001 => f'(2)=4 xo läuft 2 f(xo+h)-f(xo) DQ 0,39 3,9 0.0399 3.99 0.00399 3,999 gegen x0=2 f(x) = x Mit h= - 0₁1. xo=2 = 3,61 - 400 = 0,39 f(xo+h) -f(xo) =F(2-0,1) - f(2) = F(1₁9) - F(2) DQ -0.39 -0,1 = प 0,1 0,01 0,001 1,92 = 3,9 DQ 2² = f(xo+h)-f(xo) h f(xo+h)-f(xo) DQ 0,41 4₁1 0.0401 4,01 0.004001 4,001 Näherungsweise Bestimmung der Ableitung • geometrisch mithilfe der Steigung der Tangente in P(xo / f (xo) Bsp: P(2/f(2) f(x) = V 1+ -^ m₁ = 4 XO = 2 2 GTR 1 Scarsch pad → Berechnen: f1(x) ==x 11. menu → 4: Analysis → 2: Ableitung. an einem Punkt Wert 2d (£^(x) | x = 2 =4 dy Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen · exakte Bestimmung des Grenzwertes mithilfe von 1. Term für DQ aufstellen II. DQ wird so umgeformt, dass erkenn bar ist, gegen welchen festen wert für h→0 strebt Bsp: 1. Schritt: Term für DQ aufstellen f(3+h)-f(3) =(3+h)² -3² h = =h(6 +h) h (3+h)²-32 h 2. Schritt: DQ um formen → Nenner soll wegfallen = 9+6h +h²_q = 6h+h² h h Term umformung = 6+h 3. Schritt. umgeformter Term für h→0 untersuchen Für h→0 erhält man 6th → 6 ⇒ f(3) = 6 [Die Ableitung an der Stelle xo=3] Die Ableitungs funktion Ableitung an einer beliebigen Stelle bestimmen f(x) = -x² + 3x Bsp: a) Funktionsgleichung bestimmen f(xo+h)-f(xo) (-xo+h)² + 3(xo +h) - (-xo² + 3xo) h h (x2 + 2xoh +h²) + 3xo + 3h + xo-3xo h = =-xo² - 2xo-h² + 3x0+3h+ x²-3x0 h -h²-2xoh +3h .h. -h-2xo +3 = b) bestimme f'(2), f'(12) -2x = -2xo +3 für h→0 ⇒ allgemeine Ableitungsfunktion: f'(x) f(2)= 2.2 +3 = =4+3 = 1 f(12) 2 (-12)+3...
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= 2x+3 k(-h-2x0+3) k = 10 c) für welches XE TR is f'(x) = 10 ? f'(x) = - 2x + 1-3 ·1:(-2) = 7 x = -3,5 = 27 -Termum formung Klammern auflösen Binomische Formeln. wegsreichen haus klammern -2x +3 Wenn man die Ableitung. von f'(x) bildet erhält man die. 2. Ableitung F"(x). Funktionsgleichungen von 2. 1. Punkt berechnen. P(-1 / f(-1)) Tangenten Geraden y = m.x+n 个 Steigung Achsenabschnitt = 3 Bsp: Tangenten gleichung + in die Funktion f(x) = x³ Stelle xo -1 bestimmen Tangenten Tangenten bestimmen 3.(-1)² = 3 - Es gilt: · mt = f'(xo) -n er hält man durch ein setzen der Koordinaten von P in die - Geradengleichung f(xo) = mt xo +n 11. Steigung mit der Ableitung an der Stelle xo berechnen mt = f'(-1) P(-11-1) € f'(x) = 3x2 III. Abschnitt der Tangenten berechnen Ansatz: y = 3.x+n Pe G+ ⇒ · 1 = 3 ⋅ (-1) +n 1+3 2= n IV. Tangentengleichung angeben. +(x) = 3x +2 an der f(x) 8 8x 8x2 8x3 f'(x) O 8 16x 24x2 8x4+10 32³ x² + 10x7x6 + 10 Grundlagen zum Ableiten Daniel Jung- Erklärung Zahl abgeleitet 0 = Zahl mal x abgeleitet bleibt die Zahl Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen, Zahl ohne x fällt weg Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen Zahl mal x abgeleitet bleibt die Zahl bei x bleibt eine 1 (eigen Hich 1x^) Die erste Ableitung zeigt die Steigung des Ursprungsgrafen