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Funktionen mit Parameter Eine Funktion, die nicht nur von einer Variablen x abhängig ist, Parametern sondern auch von Bsp. 1₂(x) = 4x + b Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen & noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen GTR: 1. Calculator und Funktion definieren f(x)=x²-a 2. a definieren und { } setzen a := == {1,2,3,4} 3. Graph hinzufügen = Funktionenscharen untersuchen Bsp. a (x)= a.x +3 facx) 2x + a 2 fa(x) a. x 1.) Ableiten bilden eine Funktionenschar. Beispielaufgabe: Berechnen sie die Extrempunkte der Funktionenschar mit der Funktionsgleichung : fa(x) = ax ³ - 3ax +1 notw. Bed. : 4 gibt an wo die y-Achse geschnitten wird 3ax² - 3a 3ax² 9x² facx) = ax ³ - 3ax + 1 fa'x) = Зах² - За fa"(x) = 6ax 2.) erste Ableitung =0 setzen und die Nullstelle(n) berechnen: fa'(x) = 0 = = = a ^ Parameler werden als Zahl angesehen 0 | +39 3a 1 : 3 al.a â = 1 | V x₁=1 3.) Nullstelle (n) (x₁ und x₂) in die 2. Ableitung einsetzen. hinr. Bed. fa'(x) = 0 1 fa" (x) 0 x₂ = -1 Brüche in denen Nenner und Zähler gleich sind, entsprechen immer dem Wert 1 fa" (1) = 6a · 1 = 6a fa" (1) = 6a (-1) = -6a fa"(x) > 0 TP fa" (x) < 0 HP 4.) y-Koordinate berechnen: x₁ und x₂ in fa(x) einsetzen → = ta (1)= a.1³-3·a·1+1 - 2a + 1 => TP(1 1-2a + 1) fa (-1)=...

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a (-1)³-3a · (-1) + 1 = 2a + 1 => HP (-1/2a +1) . Rekonstruieren einer Größe Beschreibt ein Graph die momentane Änderungsrate einer Größe, so gilt folgendet. Gesamtänderung der Größe 3. Geschwindigkeit in 2. 1 A₂ FE Viereck Länge Breite (a.b) FE eines Dreiecks: 1.g.h. FE eines Trapez. 4 Änderungsrate (in) 4- Flächen oberhalb der X-Achse sind positiv Flächen unterhalb der X-Achse sind negativ 2 A₂ Zuflussrate he 4 5 6 = Orientierter Flächeninhalt zwischen (Länge + Parallele Seiten). Höhe den Graphen der momentanen Änderungsrate und der x-Achse 8 Abflussrate 1 Beispiel. Die Grafik beschreibt den Zu- und Abfluss eines Wasserbehälters in Abhängigkeit von der Zeit 6. Beschreibe, wie sich die Wassermenge im Behälter in Abhängigkeit von der Zeit & verändert. 10 a Au! As ! As, 12 14 10 16 18 Zeit (ins) A₁ = ¹/2 152 = 1m Az = 38 2406m. A₂ = 1524-1m Ay-1s (-2) = -1m As = 1s Sfax) dx untere Untere Grenze (-2) = -2m A6 = 18 (-2) = -1m A₁ + A₂ + A₂ + A4 + As +A6 = 4 ! würde man im negativen Bereich ohne muss gellen: A₁ + A₂ + A₂ - A4 - Ag-A6 (inh) A₁ = ₁2.6h. 1,5-4,51 (Zufluss) Az = ¹1/2·4h-14 = 2 1 (Abfluss) Integral A. Bis zur 6. Stunde stigt die Wassermenge um 4,5l, sinkt bis zur 10. Stunde um 2,51 und bleibt danach konstant bei 21. -obere Gronze ! wären zu Beginn 101 im Tankt muss gellen: Zuflussrate: 210 2₁5 = 12,5 1 Abflussrate: 6 2,5 - 15 12,5l + 15l + 10 = 37,5% -" rechnen, Integrationsvariable Stammfunktion bilden. - Funktion aufleiten Bsp. +(x) = x² + 3x + 1 F(x)=√1/3+²³² + 1²/12 x ² + 1 x F(x) D (x) -D f'(x) Integral und Flächeninhalt Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion 4 und der x-Achse: Beispiel 4(x) = +4-4x² 1.) Nullstellen berechnen : ==> +4-4+²=0 (-) +²(+²-4)=0 (=) x² = 0 (=) X =0 (=) X = -2 v 2.) obere - unlere Grenze " = v +²-4 = 01 +4 v x² 4 15 = 2.) Berechnung der Teilflächen: O A₁ = | ≤ (x ² - 4 + ²) dx | 4 = 1 [ ²1² + ²³²-²² + ³] ²° 1 13 -2 = | 0 - (- ³²³² +²²³) | 1-4 % / 1 441415 3.) Berechnung der Gesamtfläche: A = A₁ + A₂ Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 4(x) dx = F(b) - F(a) b 1.) Stammfunktion bilden: [...] a = 0 : F(b) - F(a) - b und a in Stammfunktion einsetzen V x=2 2.) Berechnung der Teilflächen: A= 3.) Berechnung der Gesamtfläche Az = $(x4-4x²) dx = [ 8 +³ - 3+³7²³ D Fläche von Graphen zweier Funktionen 4 und g 1.) Schnittstellen berechnen: f(x) = g(x) E · (²²-²3² ) - 0 : = 41 45 $44) - 94) dx A = A₁ + A₂

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Funktionen mit Parameter Eine Funktion, die nicht nur von einer Variablen x abhängig ist, Parametern sondern auch von Bsp. 1₂(x) = 4x + b Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen & noch einen Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen GTR: 1. Calculator und Funktion definieren f(x)=x²-a 2. a definieren und { } setzen a := == {1,2,3,4} 3. Graph hinzufügen = Funktionenscharen untersuchen Bsp. a (x)= a.x +3 facx) 2x + a 2 fa(x) a. x 1.) Ableiten bilden eine Funktionenschar. Beispielaufgabe: Berechnen sie die Extrempunkte der Funktionenschar mit der Funktionsgleichung : fa(x) = ax ³ - 3ax +1 notw. Bed. : 4 gibt an wo die y-Achse geschnitten wird 3ax² - 3a 3ax² 9x² facx) = ax ³ - 3ax + 1 fa'x) = Зах² - За fa"(x) = 6ax 2.) erste Ableitung =0 setzen und die Nullstelle(n) berechnen: fa'(x) = 0 = = = a ^ Parameler werden als Zahl angesehen 0 | +39 3a 1 : 3 al.a â = 1 | V x₁=1 3.) Nullstelle (n) (x₁ und x₂) in die 2. Ableitung einsetzen. hinr. Bed. fa'(x) = 0 1 fa" (x) 0 x₂ = -1 Brüche in denen Nenner und Zähler gleich sind, entsprechen immer dem Wert 1 fa" (1) = 6a · 1 = 6a fa" (1) = 6a (-1) = -6a fa"(x) > 0 TP fa" (x) < 0 HP 4.) y-Koordinate berechnen: x₁ und x₂ in fa(x) einsetzen → = ta (1)= a.1³-3·a·1+1 - 2a + 1 => TP(1 1-2a + 1) fa (-1)=...

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