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Wie werden Integrale berechnet? - Einfache Erklärungen und Übungen

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Lea S

6.9.2025

Mathe

Mathe: Integralrechnung Übungen

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

13.183

•

6. Sept. 2025

•

4 Seiten

Wie werden Integrale berechnet? - Einfache Erklärungen und Übungen

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Lea S

@lea_sphs

Integral Calculus: A Comprehensive Guide for Students

This document provides... Mehr anzeigen

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

Page 2: Advanced Integral Exercises

This page delves deeper into more complex integral problems, introducing techniques for handling more challenging functions and intervals. It builds upon the concepts introduced in the first page, providing students with a progressive learning experience.

Example: One exercise involves calculating the definite integral of fxx = ²√x²³ - 1/2 x² over the interval 1,21, 2.

The page demonstrates the following key steps:

  1. Identifying the roots of the function using algebraic methods and graphing calculators
  2. Breaking down the integral into manageable parts
  3. Applying integration techniques to solve each part
  4. Combining the results to find the total area

Highlight: This exercise showcases the importance of breaking down complex problems into simpler components, a crucial skill in advanced mathematics.

The page also introduces the concept of finding the total area by summing the areas above and below the x-axis, reinforcing the connection between integrals and geometric interpretation.

Vocabulary: Indefinite integral - An integral without specified limits of integration, representing a family of functions differing by a constant.

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

Page 3: Solving Complex Integral Problems

This page focuses on solving more intricate integral problems, particularly those involving cubic functions and multiple intervals. It demonstrates advanced techniques for calculating definite integrals and interpreting their results.

Example: The main exercise on this page involves calculating the definite integral of fxx = x³ - 4x over the interval −3,2-3, 2.

The solution process includes:

  1. Finding the roots of the cubic function using both algebraic methods and graphing calculators
  2. Dividing the interval into subintervals based on the function's behavior
  3. Calculating separate integrals for each subinterval
  4. Summing the results to find the total area

Highlight: This exercise emphasizes the importance of understanding the function's behavior across different intervals and how it affects the integral calculation.

The page provides a visual representation of the function, helping students connect the algebraic solution with the geometric interpretation of the integral.

Vocabulary: Antiderivative - A function F(x) whose derivative is f(x), also known as the indefinite integral of f(x).

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

Page 4: Advanced Applications of Integral Calculus

The final page of the document presents a comprehensive exercise that combines various concepts from integral calculus. It focuses on a quadratic function and demonstrates how to apply integral techniques to solve real-world problems.

Example: The main problem involves calculating the definite integral of fxx = -0.5x² + 2x over specific intervals.

The solution process includes:

  1. Determining the function's roots using algebraic methods
  2. Calculating definite integrals over different intervals
  3. Interpreting the results in terms of positive and negative areas
  4. Summing the areas to find the total net area

Highlight: This exercise showcases how integral calculus can be used to solve problems involving area calculation, which has applications in physics, engineering, and economics.

The page concludes with a graphical representation of the function, reinforcing the visual interpretation of the integral results.

Vocabulary: Definite integral calculator - A tool or software used to compute definite integrals, often employed to verify manual calculations or solve complex problems quickly.

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

Page 1: Introduction to Integral Exercises

This page introduces the first set of integral exercises, focusing on calculating definite integrals and finding areas under curves. The exercises demonstrate the practical application of integral calculus in solving mathematical problems.

Example: The first exercise involves calculating the definite integral of fxx = x² - x + 1 over the interval 0,20, 2.

The page walks through the process of solving this problem, including:

  1. Finding the roots of the function (if any)
  2. Calculating the definite integral using the fundamental theorem of calculus
  3. Interpreting the results in the context of area under the curve

Highlight: The exercise emphasizes the importance of understanding how to set up and solve definite integrals for various functions.

The page also includes a graphical representation of the function in the fourth quadrant, illustrating the relationship between the function's graph and the calculated integral.

Vocabulary: Definite integral - An integral with specified upper and lower limits of integration, used to calculate the area under a curve between two points.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Samantha Klich

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Lea S

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Integral Calculus: A Comprehensive Guide for Students

This document provides an in-depth exploration of integral calculus, focusing on practical exercises and problem-solving techniques. It covers how integrals are calculated, explains what an integral is in simple terms, and... Mehr anzeigen

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

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This page delves deeper into more complex integral problems, introducing techniques for handling more challenging functions and intervals. It builds upon the concepts introduced in the first page, providing students with a progressive learning experience.

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  1. Identifying the roots of the function using algebraic methods and graphing calculators
  2. Breaking down the integral into manageable parts
  3. Applying integration techniques to solve each part
  4. Combining the results to find the total area

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Vocabulary: Indefinite integral - An integral without specified limits of integration, representing a family of functions differing by a constant.

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

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This page focuses on solving more intricate integral problems, particularly those involving cubic functions and multiple intervals. It demonstrates advanced techniques for calculating definite integrals and interpreting their results.

Example: The main exercise on this page involves calculating the definite integral of fxx = x³ - 4x over the interval −3,2-3, 2.

The solution process includes:

  1. Finding the roots of the cubic function using both algebraic methods and graphing calculators
  2. Dividing the interval into subintervals based on the function's behavior
  3. Calculating separate integrals for each subinterval
  4. Summing the results to find the total area

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The page provides a visual representation of the function, helping students connect the algebraic solution with the geometric interpretation of the integral.

Vocabulary: Antiderivative - A function F(x) whose derivative is f(x), also known as the indefinite integral of f(x).

Integralrechnung: Übungen 5.113 übung 1. a) f(x) = x²-x+1, Intervall [0;2] 1. Nullstellen: x²-x + 1 = 0 keine Nullstellen. 2. Bestimmte Inte

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The final page of the document presents a comprehensive exercise that combines various concepts from integral calculus. It focuses on a quadratic function and demonstrates how to apply integral techniques to solve real-world problems.

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  1. Determining the function's roots using algebraic methods
  2. Calculating definite integrals over different intervals
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Page 1: Introduction to Integral Exercises

This page introduces the first set of integral exercises, focusing on calculating definite integrals and finding areas under curves. The exercises demonstrate the practical application of integral calculus in solving mathematical problems.

Example: The first exercise involves calculating the definite integral of fxx = x² - x + 1 over the interval 0,20, 2.

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Highlight: The exercise emphasizes the importance of understanding how to set up and solve definite integrals for various functions.

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Vocabulary: Definite integral - An integral with specified upper and lower limits of integration, used to calculate the area under a curve between two points.

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Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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