Alternativer Bildtext:

Punkte) Aufgabe 3 Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p= 0,5 wird 64-mal hintereinander durchgeführt. a) Begründen Sie rechnerisch, ob die Laplacebedingung erfüllt ist. b) Bestimmen Sie die o-Umgebung. Bei der Durchführung des Experiments wurden 29 Erfolge gezählt. c) Begründen Sie, ob dieses Ergebnis signifikant vom Erwartungswert abweicht. Aufgabe 4 Gegeben seien die Funktionen g und h. Geben Sie jeweils die Verkettung g(h(x)) an. a) g(x)=x³ ; h(x)=2x+1 b) g(x)= — ; h(x)=3x²–2 X c) g(x)=2x²-2x+5; h(x)=x+1 l (3+3+1 Punkte) (2+2+2 Punkte) Teil 1- Hilfsmittelfrei Aufgabe 1. a X ist binomialverteilt, da es nur zwei Möglichkeiten gibt, also 'rot' oder ' kein rot: ✓ Des weiteren ist es von einander unabhängig. da die Wahrscheinlichkeit p sich nicht ver- andert. A 6) X: Anzahl der gedrehten Farbe rot, n=1₁ p= 0,² 1) P(X≤ 2) = 0,04 +0,06 + 0,19 = 0,21 21 P(X23) = 0,21 +0,22 +0,17 + 0,11 + 0,05 0,43 + 0,28 +0,05 0,93 + 0,33 0.76 c) Der Wert für n = 20 kann der Tabelle zugrunde liegen, da I 15 Aufgabe 2. a) Die folgende Berechnung bedeutet, dass in den 20 gekauften Eiern 2 Filmfiguren mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13.69% sind. ✓ = = 11 b) X: Anzahl der Filmfigur in = 20 p² ³ P(X= 0) = (²) · (²)° · (3) 20 26 V 20 (3) داما ✓ 16 12 20 313 falsch Awak 315 113 212 313 313 V& Aufs 20 Beck-Texte im Aufgabe 3. a) X: Anzahl der Erfolge ₁ p = 0,5=12 E(x) = μ = p. n = 264 32 3= √np. (1-P) № ₁·64⋅ (1-2 = √32 . N16 43 चन ✓ b) P(μ-8 ≤X ≤ N + 3) P(32-4=X=30+4) PI28 = X = 36)✓ nicht 2.c) P(32-28 = X = 32 +28) 21²5 a/n P( 24 ≤X ≤ 40) - - Die Laplacebedingung ist erfüllt, da a=4 größer (2) als 3 ist. D=64 5/6 | <) g(h(x)) = 2x² - 2(x+1)+5 ->Das Ergebnis weicht nicht signifikant ab, da es im Intervall der 22- Omgebung liegt. Aufgabe 4. น a) g(h(x)) = (2x + 1)³✓ b) g(h(x)) = (3x²-2) ✓ 2.Klausur 16.12.2021 Q2 MGK3 Teil II mit GTR und Formelsammlung. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar notiert werden. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Zeit: mindestens 135min Name: Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Produktregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(x¹+x). (3x²+1) b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(5x²-x)^ c) Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(2x-1)³ (2x+2) (3+3+5 Punkte) Aufgabe 2 In einer Fabrik werden Weihnachtskugeln hergestellt und anschließend in Kartons zu je 4 Kugeln verpackt. Der Ausschussanteil beträgt erfahrungsgemäß 10%. Der Produktion werden 100 Kugeln entnommen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der fehlerhaften Kugeln. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich höchstens 11 fehlerhafte Kugeln in der Stichprobe befinden. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 7 und höchsten 13 Kugeln fehlerhaft sind. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 Kugeln fehlerhaft sind. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton mehr fehlerhafte als ganze Kugeln enthält. f) Bestimmen Sie Anzahl der Kugeln, die man mindestens der Produktion entnehmen muss, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine kaputte zu finden. Ein Schreibwarengeschäft, das auch Weihnachtsschmuck verkauft, trifft mit dem Fabrikanten der Weihnachtskugeln die Vereinbarung, dass eine Sendung von 20 Kugeln zurück geschickt werden darf, wenn sich in der Sendung insgesamt mehr als 3 fehlerhafte Kugeln befinden. g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung zurück geschickt wird, obwohl der Ausschussanteil laut Fabrikant 10% beträgt. h) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung angenommen wird, obwohl sich durch einen Produktionsfehler der Ausschussanteil auf 15% erhöht hat? (2+4+4+4+4+5+5+5 Punkte) Wohn Q. Auflage 022 лър и Aufgabe 3 der Saison 2011/12 einen Rekord von durchschnittlich mehr als 40 000 pro Spiel. Dabei ist Das Produkt ,,Fußball-Bundesliga" ist ein Erfolgsmodell. Die Zuschauerzahlen erreichten in das Publikum mittlerweile zu 25 % weiblich. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der weiblichen Zuschauer und ist binomialverteilt. Zuschauern¹ genau 48 weibliche Zuschauer befinden. Bei einem Bundesliga-Spiel werden 200 Zuschauer zufällig ausgewählt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den zufällig ausgewählten b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl an weiblichen Zuschauern, die (1) um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. (2) um mindestens 10 von ihrem Erwartungswert abweicht. X muss, damit unter den 200 zufällig ausgewählten Zuschauern durchschnittlich 90 c) Bestimmen Sie, auf welchen Wert p der Anteil der weiblichen Zuschauer erhöht werden weibliche Zuschauer erwartet werden können. 50% sein. Ermitteln Sie, wie groß k in diesem Fall mindestens gewählt werden muss. d) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k weibliche Zuschauer soll kleiner oder gleich (2+4+4+3+ 5 Punkte) Zuschauer soll ein Flyer verteilt werden, der auf ein spezielles Getränkeangebot hinweist. Bei einem Bundesliga-Spiel strömen 20 000 Zuschauer ins Stadion. An weibliche e) Ermitteln Sie auf der Grundlage der 20 000 Zuschauer das Intervall um den Erwartungswert, in dem die Anzahl der weiblichen Zuschauer mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegen. (6 Punkte) Vor dem Spiel bildet sich an einem Kassenhäuschen eine Schlange von 50 Zuschauern. f) Nennen Sie eine Voraussetzung, unter der die Wahrscheinlichkeit P, dass sich in der Schlange 12 weibliche Zuschauer befinden, folgendermaßen berechnet werden kann: P(X=12)=50 -0,25¹²-0,7538 g) Entscheiden Sie, ob diese Berechnung in der vorliegenden Situation zulässig ist. Der Begriff ,,Zuschauer" soll stets weibliche und männliche Zuschauer umfassen. (2+3 Punkte) Im C eine Alt Mi be Im Deutschen Fußballbund (DFB) sind 1 077 215 weibliche Mitglieder gemeldet, was einem Anteil von (ungefähr) 15,84 % entspricht. Von diesen gehören 31,78 % zur Altersklasse ,,Mädchen", der Rest zur Altersklasse ,,Frauen". Bei den männlichen Mitgliedern unterscheidet man die Altersklassen ,,Junioren" und Senioren". Insgesamt beträgt der Anteil der Jugendlichen "Mädchen" und „Junioren") im DFB 33,09 %. h) (1) Berechnen Sie den Anteil der ,,Mädchen" im DFB. (2) (3) Ermitteln Sie den Anteil der ,,Senioren" im DFB. [Kontrollergebnis: 56,10 %] Berechnen Sie näherungsweise die Anzahl der „Senioren“ im DFB. Zwei Mitglieder des DFB werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei den beiden Personen um einen „Junior" und einen,,Senior" handelt. (2+7+4 Punkte) Aufgabe 4 Bei der Produktion von Schokoladen-Weihnachtsmännern ist der Ausschussanteil erfahrungsgemäß 5%. Es wird der Produktion eine Stichprobe von 100 Stück entnommen. a) Berechnen Sie, wie viele Ausschussstücke zu erwarten sind. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe weniger als 4 Ausschussstücke enthalten sind. Um zu entscheiden, ob die Sendung von Schokoladen-Weihnachtsmänner angenommen werden, einigen sich Händler und Hersteller auf folgenden Prüfplan: Man entnimmt der Sendung eine erste Stichprobe von 10 Stück. Ist in dieser Stichprobe höchstens ein Ausschussstück, so wird die Sendung angenommen; sind in der Stichprobe mehr als zwei Ausschussstücke, so wird die Sendung abgelehnt. Bei zwei Ausschussstücken wird der Sendung eine zweite Stichprobe von 10 Stück entnommen und die Sendung nur dann angenommen, wenn sich in der zweiten Stichprobe kein Ausschussstück befindet. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Sendung angenommen wird. (Tipp: Arbeiten Sie mit einem Baumdiagramm.) (2+ 3+ 8 Punkte) Viel Erfolg! Teil 2- Mit Hilfsmittel Aufgabe 1. a) f(x) = (x³ + x) · (3x² +1) U(X) = x³ + x U'(x)= 3x² +/\_\ v(x) = 3x² +/_v²(x) = 6x f'(x) = (3x² + 1)· (3x² + 1) + (x³ + x). (6x) ✓ b) f(x) = (5x²-x)" प g(x)= x² b(x) = 5x²-x f'(x) = 4(5x²-x)³ - (10x - 1) -) f(x) = (2x - 1)²³ (2x + 2) h(x)=2x-1 √(x)=2x+2 v₁(x) = 2 g(x)= x² U'(x) = 3(2x-1²-2 f'(x)= (3(2x-1)²·2)·(2x + 2) + (2x-1)²-2/ Aufgabe 2. X- Anzahl der fehlerhaften Kugeln n = 100 p= 0₁1 = 10%. a) E(x) = µ = n · p = 100·0₁1= 10 ✓ P(x = 11) = 3cd(11110010, 1) = 0,703✓ c) P(7≤X = 13)= 3cd(7113110010.1) = 0,76 a) P(X ²5) = 1-3cd (4110010, 1)* 0,976 e) n = 4 p= 0,1 P(X²2) - P(X²3)=1*((3) - 0.1²³ · 0,9¹) 1:10- P = 0.1 f f) n = ²₁ k = 1 + P(X=1)= 0,95 1-3cd (01. x 10,11² 0,95 GTR liefert: 16. 12. 2021 28 0.9976 29: 0.9528 - ²29 313 213 515 212 44 414 214 Antwort: Man muss mindestens 29 Kugeln ent- nehmen ✓ V 515 Deutsch -1- 010 imes 4/4 mind. 10 214 415 212 SO 515 Beck-Texte g) 5=20₁ p = 0₁1 (u) P(X23) A-3cd (2/2010.1) = 0.323 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 32,3%, dass eine Sendung zurück geschicht wird; h) n = 20, p = 0.45 IV P(X=2) = 3cd (2/2010.45) = 0,405 → 17 Die Sendung wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 40,5%. angenommen. (4) Aufgabe 3. X: Anzahl der weiblichen Zuschauer n=200 p= 0,25 200 a) P(X=48) = (2) 0,25 0,75 = 0,062 → Es befinden sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 6,2% 48 weibliche Zuschauer in den zufällig ausgewählten Zuschauern. 48 bl 41 n. p = μ = 200.0,25= 50 3= √SO (1-0,25) = 6,12 >3 ✓ P(N=2≤X ²₂N+3) P 43,88 X= 56,12) P( 44 ≤X = 56 ) = 3cd (44/56120010,25) ≈ 0.712 = ✔ 2) P(N-10 ≤X = µ + 10) Pr 40 = X = 60) = 3cd (401601200/0,25) x0,91 ( -> Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 94%.. f 20 ar F F e F 44 dass hkeit it COP=N P7 0,45 90 7: 200 -2 200 P7 Der Wert P muss auf den Wert 0,45 erhöht werden, damit durchschnittlich 90 weibliche Zuschauer erwartet werden können. 4 din 200 P=0,25 P(X= k) = 0,5 P(X² k) = 1- 3cd (x 1200/0,25 GTR liefert: 49: 0.52711 50: 0.462 k = 50 ✓ el n= 20000 P = 0,25 N= $000 361,24 90.1.1.64 P(N-1,692 ≤ X = N + 1,692) = 0,9 P(5000-1,642 = X = 5000 + 1,64x) = (0),9 P( 4899,57 = X = $100,43) = 0,9 4900≤x≤ $100) = 0,9 f) Die Schlange darf sich nicht ver- ändern, es darf niemand weggehen. 2 (4) 313 41515 g) Die Berechnung ist in der vorliegenden Situation nicht zulässig, da es nicht vonein- ander unabhängig ist, da sich die Schlange verändern wird und dann eine Person fehlt. (4) 2,58 Wie lange musse du 20 Leute ausharren? ☺ 212 ungenan 313 -3- 212 417 Re 014 Beck- b) A) DID 1077215 68006 $723385 u 1908278 28.06% 342334 6800573 M 342334 5% 38 15 080 734881 $6.10. 10,84% 5723358 1077245 84,16% 15,84% 100% 1.2. 84,167 2 250612 33,06% 4549961 66,94% 1077215 100% 10772 17 342334 €31.78% 0.05 6800573 100% S7233851077215 = 6800573 + f -> Der Anteil der Mädchen im DF3 liegt bei 5%. V 2) Anteil Senioren = 56,10% (siehe 1) Vierfelder- tafel) 6800573 € 100%).100 3815030 68005 17 3815080 S6,10% → Es sind ungefähr 3815080 Senioren" im 3) Einen Junior & einen Senior 6800573 56.107. SG10 Le -> Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 13,25% f Aufgabe 9. n = 100 P= 0.05 a) E(x) = μ = n⋅ p $1 → Es sind 5 Ausschussstücke zu erwarten. b) X: Anzahl der Ausschusstücke P(X < 4) = P(X= 3) = 3cd (3110010,05) = 0,259 > Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 9 Ausschussstücke erhalten sind, beträgt ca. 25,9% k ON M 2 3 ष ड 6 100-0,05 7 8 P(k=X) 0,599 0,315 0,074 0,01 -4 9,65-10 6.09-10-5 2,67-10-6 8,04-108 1,59-10 1.855. 10-1 9 9 10 9,77-10-19 P(X= 1) = 0,599+ 0,315= 0,914 P(x > 2) = 1 - (0,074 +0,315 +0,599) = 0,012 ✓ P(X=2) = 0,074 P(X=0) = 0,$99 16.12.21 212 10,2578 22,58 213 618 & ->Die Sendung wird mit einer Wahrscheinlichkeit i von 37,7%. angenommen Serat 107 108 129 = 82.9% = 83,7% бил (+) 13.1.22