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Stochastik

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 Q2 MGK3
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Teil I (hilfsmittelfrei)
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Q2 MGK3 2.Klausur Teil I (hilfsmittelfrei) In diesem Teil dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar notiert werden. Abgabe nach maximal 45 Minuten. (Zeit für Teil I und Teil II: 180 Minuten) Name: Aufgabe 1 Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden: Rot: 20% Grün: 30% Blau: 50% 16.12.2021 Das Glücksrad wird n-mal gedreht. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Farbe rot angezeigt wird. a) Begründen Sie, dass X binomialverteilt ist. b) Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X: k 0 2 1 3 4 5 6 7 P(X= k) 0,01 0,06 0,14 0,21 0,22 0,17 0,11 0,05 (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zweimal Rot angezeigt wird. (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot angezeigt wird. hat: REE c) Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von n der Tabelle zugrunde liegen kann: 20, 25 oder 30. Begründen Sie Ihre Entscheidung. (3+5+3 Punkte) 20 2 Aufgabe 2 Zur Premiere eines Films bringt eine Schokoladenfirma Überraschungseier mit Filmfiguren auf den Markt. Die Firma wirbt damit, dass sich in jedem 5. Ei eine Filmfigur befindet. Für einen Kindergeburtstag werden 20 Überraschungseier gekauft, wobei man davon ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufällig ist. 5 a) Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung 18 ~0,13691 b) Stellen Sie einen Term auf für die Wahrscheinlichkeit, dass sich in keinem Ei eine Filmfigur befindet. (Eine konkrete Berechnung ist nicht erforderlich) (4 +...

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2 Punkte) Aufgabe 3 Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p= 0,5 wird 64-mal hintereinander durchgeführt. a) Begründen Sie rechnerisch, ob die Laplacebedingung erfüllt ist. b) Bestimmen Sie die o-Umgebung. Bei der Durchführung des Experiments wurden 29 Erfolge gezählt. c) Begründen Sie, ob dieses Ergebnis signifikant vom Erwartungswert abweicht. Aufgabe 4 Gegeben seien die Funktionen g und h. Geben Sie jeweils die Verkettung g(h(x)) an. a) g(x)=x² ; h(x)=2x+1 b) g(x)= — ; h(x)=3x²–2 X c) g(x)=2x²-2x+5 ; h(x)=x+1 18 (3+3+1 Punkte) (2+2+2 Punkte) Teil 1- Hilfsmittelfrei Aufgabe 1. a) X ist binomialverteilt, da es nur zwei Möglichkeiten gibt, also 'rol' oder ' kein rot". ✓ Des weiteren ist es von einander unabhängig. da die Wahrscheinlichkeit p sich nicht ver- andert. 6) X: Anzahl der gedrehten Farbe rot, n=1₁ p= 0,₁² 1) P(X ≤ 2) = 0,01 +0,06 + 0,19 = 0.21 J 21 P(X23) = 0,21 +0,22 +0,17 + 0.11 0.05 + 0.28 +0,05 11 0,43 + 0,33 0.76 c) Der Wert für n = 20 kann der Tabelle zugrunde liegen, da I = 11 tr = 11 = Aufgabe 2. a) Die folgende Berechnung bedeutet, dass in den 20 gekauften Eiern 2 Filmfiguren mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,69% sind. ✓ 0,43 b) X: Anzahl der Filmfigur in = 20 p² ³ P(X= 0) = (²) · (³)° · (3) ²0 20 . (4 ܥܙܕܐ 20 16 12. 202 313 falsch Ausch 315 113 212 313 313 202 Beck-Texte im d Aufgabe 3. a) X: Anzahl der Erfolge ₁ p = 0₁5= 2₁D = 64 E(x) = p = p. n =264 3 = √n-p⋅ (1-P) №·64·(1-2 =√32 =√16 43 = 32 ✓ B तिन - Die Laplacebedingung ist erfüllt, da a=4 größer (2) als 3 ist. b) P(N-2 ≤X ≤ N₂+3) P(32-4=X=30+4) vs Aufs va PI28 = X = 36) ✓ O nicht 2.rc) P(32-28 = X = 32 +28) 313 7/1 P( 24 ≤X 40) -> Das Ergebnis weicht nicht signifikant ab, da es im Intervall der 22- Omgebung liegt. Aufgabe 4. L a) g(h(x))= (2x + 1)³√ b) g(h(x)) = (3x ²-2) ✓ 5/6 | <) g(h(x)) = 2x² - 2(x + 1) +5 2.Klausur 16.12.2021 Q2 MGK3 Teil II mit GTR und Formelsammlung. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar notiert werden. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Zeit: mindestens 135min Name: Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Produktregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(x²+x). (3x²+1) b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(5x²-x)^ c) Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(2x-1)³ (2x+2) (3+3+ 5 Punkte) Aufgabe 2 In einer Fabrik werden Weihnachtskugeln hergestellt und anschließend in Kartons zu je 4 Kugeln verpackt. Der Ausschussanteil beträgt erfahrungsgemäß 10%. Der Produktion werden 100 Kugeln entnommen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der fehlerhaften Kugeln. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich höchstens 11 fehlerhafte Kugeln in der Stichprobe befinden. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 7 und höchsten 13 Kugeln fehlerhaft sind. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 Kugeln fehlerhaft sind. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton mehr fehlerhafte als ganze Kugeln enthält. f) Bestimmen Sie Anzahl der Kugeln, die man mindestens der Produktion entnehmen muss, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine kaputte zu finden. Ein Schreibwarengeschäft, das auch Weihnachtsschmuck verkauft, trifft mit dem Fabrikanten der Weihnachtskugeln die Vereinbarung, dass eine Sendung von 20 Kugeln zurück geschickt werden darf, wenn sich in der Sendung insgesamt mehr als 3 fehlerhafte Kugeln befinden. g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung zurück geschickt wird, obwohl der Ausschussanteil laut Fabrikant 10% beträgt. h) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung angenommen wird, obwohl sich durch einen Produktionsfehler der Ausschussanteil auf 15% erhöht hat? (2+4+4+4+4+5+5+5 Punkte)

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2 Punkte) Aufgabe 3 Ein Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p= 0,5 wird 64-mal hintereinander durchgeführt. a) Begründen Sie rechnerisch, ob die Laplacebedingung erfüllt ist. b) Bestimmen Sie die o-Umgebung. Bei der Durchführung des Experiments wurden 29 Erfolge gezählt. c) Begründen Sie, ob dieses Ergebnis signifikant vom Erwartungswert abweicht. Aufgabe 4 Gegeben seien die Funktionen g und h. Geben Sie jeweils die Verkettung g(h(x)) an. a) g(x)=x² ; h(x)=2x+1 b) g(x)= — ; h(x)=3x²–2 X c) g(x)=2x²-2x+5 ; h(x)=x+1 18 (3+3+1 Punkte) (2+2+2 Punkte) Teil 1- Hilfsmittelfrei Aufgabe 1. a) X ist binomialverteilt, da es nur zwei Möglichkeiten gibt, also 'rol' oder ' kein rot". ✓ Des weiteren ist es von einander unabhängig. da die Wahrscheinlichkeit p sich nicht ver- andert. 6) X: Anzahl der gedrehten Farbe rot, n=1₁ p= 0,₁² 1) P(X ≤ 2) = 0,01 +0,06 + 0,19 = 0.21 J 21 P(X23) = 0,21 +0,22 +0,17 + 0.11 0.05 + 0.28 +0,05 11 0,43 + 0,33 0.76 c) Der Wert für n = 20 kann der Tabelle zugrunde liegen, da I = 11 tr = 11 = Aufgabe 2. a) Die folgende Berechnung bedeutet, dass in den 20 gekauften Eiern 2 Filmfiguren mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 13,69% sind. ✓ 0,43 b) X: Anzahl der Filmfigur in = 20 p² ³ P(X= 0) = (²) · (³)° · (3) ²0 20 . (4 ܥܙܕܐ 20 16 12. 202 313 falsch Ausch 315 113 212 313 313 202 Beck-Texte im d Aufgabe 3. a) X: Anzahl der Erfolge ₁ p = 0₁5= 2₁D = 64 E(x) = p = p. n =264 3 = √n-p⋅ (1-P) №·64·(1-2 =√32 =√16 43 = 32 ✓ B तिन - Die Laplacebedingung ist erfüllt, da a=4 größer (2) als 3 ist. b) P(N-2 ≤X ≤ N₂+3) P(32-4=X=30+4) vs Aufs va PI28 = X = 36) ✓ O nicht 2.rc) P(32-28 = X = 32 +28) 313 7/1 P( 24 ≤X 40) -> Das Ergebnis weicht nicht signifikant ab, da es im Intervall der 22- Omgebung liegt. Aufgabe 4. L a) g(h(x))= (2x + 1)³√ b) g(h(x)) = (3x ²-2) ✓ 5/6 | <) g(h(x)) = 2x² - 2(x + 1) +5 2.Klausur 16.12.2021 Q2 MGK3 Teil II mit GTR und Formelsammlung. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar notiert werden. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. Zeit: mindestens 135min Name: Aufgabe 1 a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Produktregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(x²+x). (3x²+1) b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(5x²-x)^ c) Bestimmen Sie die 1. Ableitung der Funktion f, ohne den Term auszumultiplizieren: f(x)=(2x-1)³ (2x+2) (3+3+ 5 Punkte) Aufgabe 2 In einer Fabrik werden Weihnachtskugeln hergestellt und anschließend in Kartons zu je 4 Kugeln verpackt. Der Ausschussanteil beträgt erfahrungsgemäß 10%. Der Produktion werden 100 Kugeln entnommen. a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der fehlerhaften Kugeln. b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich höchstens 11 fehlerhafte Kugeln in der Stichprobe befinden. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 7 und höchsten 13 Kugeln fehlerhaft sind. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 Kugeln fehlerhaft sind. e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton mehr fehlerhafte als ganze Kugeln enthält. f) Bestimmen Sie Anzahl der Kugeln, die man mindestens der Produktion entnehmen muss, um mit der Mindestwahrscheinlichkeit von 95% mindestens eine kaputte zu finden. Ein Schreibwarengeschäft, das auch Weihnachtsschmuck verkauft, trifft mit dem Fabrikanten der Weihnachtskugeln die Vereinbarung, dass eine Sendung von 20 Kugeln zurück geschickt werden darf, wenn sich in der Sendung insgesamt mehr als 3 fehlerhafte Kugeln befinden. g) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung zurück geschickt wird, obwohl der Ausschussanteil laut Fabrikant 10% beträgt. h) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Sendung angenommen wird, obwohl sich durch einen Produktionsfehler der Ausschussanteil auf 15% erhöht hat? (2+4+4+4+4+5+5+5 Punkte)