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Mathematik

Subtraktion und negative Zahlen

Vektorsubtraktion

Mathe1.668Aktualisiert 11. Sept. 20262 Seiten

Grundlagen der Vektorrechnung: Kurze Einführung

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Vektoren sind wie Pfeile im Raum - sie haben eine bestimmte Länge, Richtung und einen Richtungssinn. In der 12. Klasse lernst du, wie man mit diesen "mathematischen Pfeilen" rechnet und damit Geraden im dreidimensionalen Raum beschreibt.
Vektor Rechnung – Seite 1

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Vektor-Grundlagen und Rechnen

Stell dir Vektoren als Pfeile vor, die eine bestimmte Strecke in eine bestimmte Richtung zeigen. Du schreibst sie als Spalten mit drei Zahlen (x, y, z-Koordinaten).

Addition und Subtraktion funktionieren super einfach: Du rechnest einfach die entsprechenden Koordinaten zusammen oder voneinander ab. Bei a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} addierst du die erste Koordinate von a⃗\vec{a} mit der ersten von b⃗\vec{b}, dann die zweite mit der zweiten, und so weiter.

Den Abstand zwischen zwei Punkten findest du, indem du erst den Verbindungsvektor bildest (zweiter Punkt minus erster Punkt) und dann seine Länge berechnest. Die Formel ist wie der Satz des Pythagoras, nur in 3D: ∣AB⃗∣=(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}.

Merktipp: Bei Vektorrechnung rechnest du immer "Koordinate für Koordinate" - das macht alles viel übersichtlicher!

Vektor Rechnung – Seite 2

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Geradengleichungen und Lagebeziehungen

Eine Geradengleichung hat die Form x⃗=p⃗+ru⃗\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} - dabei ist p⃗\vec{p} ein Punkt auf der Gerade (Stützvektor) und u⃗\vec{u} zeigt die Richtung an. Du kannst aus zwei Punkten eine Gerade basteln: Nimm einen als Stützvektor und bilde den Richtungsvektor durch Subtraktion.

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du ihn in die Geradengleichung ein und schaust, ob du für alle drei Koordinaten denselben Parameter r bekommst. Wenn ja - Treffer! Wenn nein - der Punkt liegt woanders.

Lagebeziehungen zwischen Geraden sind wie Beziehungsstatus: Entweder sie sind parallel (gleiche Richtung), identisch (gleiche Gerade), schneiden sich in einem Punkt oder sind windschief (gehen komplett aneinander vorbei). Du checkst das, indem du die Richtungsvektoren vergleichst und ein Gleichungssystem aufstellst.

Prüfstrategie: Erst Richtungsvektoren checken (Vielfache?), dann Gleichungssystem lösen - so findest du schnell heraus, wie sich zwei Geraden verhalten!

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