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約数と倍数、素数の基本

整数の性質は大学入試数学Aの超重要分野だよ!約数・倍数・素数の概念は、不定方程式などの他の分野を解く上での基礎になるから、ここでしっかり基本を固めておこう。共通テストでは思考力を問う問題が多いから、定義の正確な理解と応用力が勝負の分かれ目になる。

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# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

約数と倍数、素数の基本概念

君たちが普段何気なく使っている「割り切れる」という概念が、実は数学の重要な土台になってるんだ。整数bで整数aが割り切れるとき、つまりa=bkとなる整数kが存在するとき、bはaの約数aはbの倍数って呼ぶよ。

素数は1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数のこと。2, 3, 5, 7, 11...が代表例で、2は唯一の偶数の素数だから覚えておこう。逆に合成数は1より大きい自然数で素数じゃないもの。

ここで絶対に忘れちゃいけないのは、1は素数でも合成数でもないってこと!これは入試でよく引っかけ問題に使われるから要注意だ。

重要ポイント: どんな合成数も素因数分解の形はただ一通りに決まる(素因数の一意性)。この性質が後の計算の根拠になる。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

最大公約数と最小公倍数の定義

**最大公約数(GCD)**は2つ以上の整数に共通する約数のうち最も大きいもので、**最小公倍数(LCM)**は共通する正の倍数のうち最も小さいものだ。この2つの概念は入試問題で頻出だから、確実にマスターしよう。

2つの整数の最大公約数が1のとき、それらは互いに素って言う。例えば8と9は互いに素(両方が素数である必要はないよ)。

素因数分解を使ったGCDとLCMの求め方が基本中の基本。まず各数を素因数分解して、GCDは各素因数の指数の最小値LCMは各素因数の指数の最大値を取る。

暗記必須の公式: 2つの自然数a,bについて、ab = GCD × LCM が常に成り立つ。ただし3つ以上の数では一般に成り立たないから注意!

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

素因数分解による計算方法

実際の計算例で理解を深めよう。84と90のGCDとLCMを求める場合を見てみる。

まず素因数分解:84 = 2² × 3¹ × 7¹、90 = 2¹ × 3² × 5¹。GCDでは共通する素因数2と3について、指数の小さい方を選んで2¹ × 3¹ = 6。

LCMでは全ての素因数2,3,5,7について、指数の大きい方を選んで2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 1260になる。

この方法なら複雑な数でも確実に計算できるし、3つ以上の数でも同じルールが適用できる。どんな問題でもまず素因数分解から考える癖をつけよう。

計算のコツ: 指数を比較するとき、ない素因数は指数0として考える。84には5⁰ = 1があると考えて、5¹と比較する。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

ユークリッドの互除法

数が大きくて素因数分解が困難な場合の救世主がユークリッドの互除法だ。この方法は不定方程式の基礎にもなるから絶対マスターしておこう。

原理はシンプル:gcd(a,b) = gcd(b, aをbで割った余り)が成り立つことを利用する。大きい方を小さい方で割って、その余りで次の計算を続け、余りが0になるまで繰り返す。

例:gcd(272,119)の場合、272÷119=2余り34、119÷34=3余り17、34÷17=2余り0。余りが0になったときの直前の余り17が答えだ。

この手順は機械的にできるから、計算ミスが起こりにくい。大きい数の問題では素因数分解より圧倒的に早いよ。

応用への橋渡し: ユークリッドの互除法の計算過程は、不定方程式ax+by=cの特殊解を求めるのに直接使える貴重な情報になる。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

実践問題での解法パターン

3つの数54, 72, 180のGCDとLCMを求める問題で実践してみよう。まず素因数分解:54 = 2¹ × 3³、72 = 2³ × 3²、180 = 2² × 3² × 5¹。

GCDは共通する素因数2と3について最小の指数:min(1,3,2)=1、min(3,2,2)=2だから2¹ × 3² = 18。LCMは全ての素因数について最大の指数:max(1,3,2)=3、max(3,2,2)=3、max(0,0,1)=1だから2³ × 3³ × 5¹ = 1080。

「nと24のLCMが360になるnをすべて求めよ」のような逆算問題では、nを n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... の形で置いて、LCMの定義に従って各指数の条件を求める。

逆算問題のコツ: 求める数の素因数分解の形を文字で置いて、与えられた条件から各指数の値を特定する。系統的にやれば取りこぼしがない。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
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入試で狙われる重要ポイント

入試でよく引っかかるポイントを整理しておこう。1は素数ではないのは定義の問題で、これを忘れると失点する。互いに素は「共通の約数が1のみ」という意味で、両方が素数である必要はない(4と9は互いに素)。

GCDとLCMを求めるとき、GCDは指数の小さい方LCMは指数の大きい方を取る。この逆をやってしまうミスが本当に多いから要注意だ。

ab = GCD × LCM の公式は2つの数のときだけ成り立つ。3つ以上では一般に成り立たないから、安易に使わないこと。

「平方数になる」という条件は、素因数分解したときの全ての指数が偶数になる、という条件に言い換えられる。この変換ができると問題が一気に解きやすくなるよ。

最終確認: 素因数分解→GCD/LCM→公式の活用という流れを身につければ、どんな問題でも対応できる。基本を確実にして応用問題に挑もう!



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Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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約数と倍数、素数の基本

整数の性質は大学入試数学Aの超重要分野だよ!約数・倍数・素数の概念は、不定方程式などの他の分野を解く上での基礎になるから、ここでしっかり基本を固めておこう。共通テストでは思考力を問う問題が多いから、定義の正確な理解と応用力が勝負の分かれ目になる。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
力を問う問題が出やすいから、

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約数と倍数、素数の基本概念

君たちが普段何気なく使っている「割り切れる」という概念が、実は数学の重要な土台になってるんだ。整数bで整数aが割り切れるとき、つまりa=bkとなる整数kが存在するとき、bはaの約数aはbの倍数って呼ぶよ。

素数は1とその数自身以外に正の約数を持たない、1より大きい自然数のこと。2, 3, 5, 7, 11...が代表例で、2は唯一の偶数の素数だから覚えておこう。逆に合成数は1より大きい自然数で素数じゃないもの。

ここで絶対に忘れちゃいけないのは、1は素数でも合成数でもないってこと!これは入試でよく引っかけ問題に使われるから要注意だ。

重要ポイント: どんな合成数も素因数分解の形はただ一通りに決まる(素因数の一意性)。この性質が後の計算の根拠になる。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
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最大公約数と最小公倍数の定義

**最大公約数(GCD)**は2つ以上の整数に共通する約数のうち最も大きいもので、**最小公倍数(LCM)**は共通する正の倍数のうち最も小さいものだ。この2つの概念は入試問題で頻出だから、確実にマスターしよう。

2つの整数の最大公約数が1のとき、それらは互いに素って言う。例えば8と9は互いに素(両方が素数である必要はないよ)。

素因数分解を使ったGCDとLCMの求め方が基本中の基本。まず各数を素因数分解して、GCDは各素因数の指数の最小値LCMは各素因数の指数の最大値を取る。

暗記必須の公式: 2つの自然数a,bについて、ab = GCD × LCM が常に成り立つ。ただし3つ以上の数では一般に成り立たないから注意!

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
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素因数分解による計算方法

実際の計算例で理解を深めよう。84と90のGCDとLCMを求める場合を見てみる。

まず素因数分解:84 = 2² × 3¹ × 7¹、90 = 2¹ × 3² × 5¹。GCDでは共通する素因数2と3について、指数の小さい方を選んで2¹ × 3¹ = 6。

LCMでは全ての素因数2,3,5,7について、指数の大きい方を選んで2² × 3² × 5¹ × 7¹ = 1260になる。

この方法なら複雑な数でも確実に計算できるし、3つ以上の数でも同じルールが適用できる。どんな問題でもまず素因数分解から考える癖をつけよう。

計算のコツ: 指数を比較するとき、ない素因数は指数0として考える。84には5⁰ = 1があると考えて、5¹と比較する。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
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ユークリッドの互除法

数が大きくて素因数分解が困難な場合の救世主がユークリッドの互除法だ。この方法は不定方程式の基礎にもなるから絶対マスターしておこう。

原理はシンプル:gcd(a,b) = gcd(b, aをbで割った余り)が成り立つことを利用する。大きい方を小さい方で割って、その余りで次の計算を続け、余りが0になるまで繰り返す。

例:gcd(272,119)の場合、272÷119=2余り34、119÷34=3余り17、34÷17=2余り0。余りが0になったときの直前の余り17が答えだ。

この手順は機械的にできるから、計算ミスが起こりにくい。大きい数の問題では素因数分解より圧倒的に早いよ。

応用への橋渡し: ユークリッドの互除法の計算過程は、不定方程式ax+by=cの特殊解を求めるのに直接使える貴重な情報になる。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
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実践問題での解法パターン

3つの数54, 72, 180のGCDとLCMを求める問題で実践してみよう。まず素因数分解:54 = 2¹ × 3³、72 = 2³ × 3²、180 = 2² × 3² × 5¹。

GCDは共通する素因数2と3について最小の指数:min(1,3,2)=1、min(3,2,2)=2だから2¹ × 3² = 18。LCMは全ての素因数について最大の指数:max(1,3,2)=3、max(3,2,2)=3、max(0,0,1)=1だから2³ × 3³ × 5¹ = 1080。

「nと24のLCMが360になるnをすべて求めよ」のような逆算問題では、nを n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × ... の形で置いて、LCMの定義に従って各指数の条件を求める。

逆算問題のコツ: 求める数の素因数分解の形を文字で置いて、与えられた条件から各指数の値を特定する。系統的にやれば取りこぼしがない。

# 約数と倍数、素数

概要

整数の性質は、大学入試の数学Aで頻出の分野。特に約数、倍数、素数の概念
は、他の分野(例えば不定方程式など)を解く上での基礎になる。ここで確実に
得点できるように、基本をしっかり固めておく必要がある。共通試験では、思考
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入試で狙われる重要ポイント

入試でよく引っかかるポイントを整理しておこう。1は素数ではないのは定義の問題で、これを忘れると失点する。互いに素は「共通の約数が1のみ」という意味で、両方が素数である必要はない(4と9は互いに素)。

GCDとLCMを求めるとき、GCDは指数の小さい方LCMは指数の大きい方を取る。この逆をやってしまうミスが本当に多いから要注意だ。

ab = GCD × LCM の公式は2つの数のときだけ成り立つ。3つ以上では一般に成り立たないから、安易に使わないこと。

「平方数になる」という条件は、素因数分解したときの全ての指数が偶数になる、という条件に言い換えられる。この変換ができると問題が一気に解きやすくなるよ。

最終確認: 素因数分解→GCD/LCM→公式の活用という流れを身につければ、どんな問題でも対応できる。基本を確実にして応用問題に挑もう!

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

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Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Sudenaz Ocak

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Paul T

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Stefan S

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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

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Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer