Grundlagen der Stochastik

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Grundlegende Regeln für Zufallsexperimente.

• Laplace-Experiment: Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
• Formel: $P(A) = \frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$
• Komplementärregel: Gegenereignis berechnen über $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.

Pfadregeln & Unabhängigkeit

Regeln für mehrstufige Baumdiagramme.

• Pfadmultiplikation: Wahrscheinlichkeiten längs eines Pfades werden multipliziert.
• Pfadaddition: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade werden addiert.
• Stochastische Unabhängigkeit: Gilt, wenn $P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)$.

💡 Tipp: Wenn bei einer Prüfung "mit Zurücklegen" steht, bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe des Baumdiagramms gleich.

Verteilungen & Binomialverteilung

Zufallsgrößen & Erwartungswert

Die Kennzahlen von Zufallsexperimenten.

• Zufallsgröße $X$: Ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl zu (z. B. Gewinn).
• Erwartungswert $E(X)$: Der langfristige Mittelwert einer Zufallsgröße.
• Formel: $E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) + \dots + x_n \cdot P(X=x_n)$.

Bernoulli-Experimente

Zweistufige Prozesse und ihre Verteilung.

• Bernoulli-Kette: Experiment mit nur zwei Ausgängen (Erfolg/Misserfolg) und konstanter Wahrscheinlichkeit $p$.
• Bernoulli-Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ mit $q = 1-p$.
• Kumulierte Verteilung: Berechnet die Wahrscheinlichkeit für "höchstens $k$ Erfolge" als $P(X \le k)$.

Beispiel: Berechne $E(X)$ für einen Würfel mit den Gewinnen $10$ € ($p=0{,}1$) und $0$ € ($p=0{,}9$): $E(X) = 10 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}9 = 1$ €

💡 Tipp: Nutze für kumulierte Wahrscheinlichkeiten $P(X \le k)$ im GTR den Befehl binomCdf(n, p, 0, k).

Parameter bestimmen & Streumaße

Parameter $p$ und $n$ bestimmen

Problemlösung, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit oder Versuchsanzahl gesucht ist.

• Gesuchtes $n$: Wird oft durch systematisches Probieren (Tabellen) gelöst.
• Gesuchtes $p$: Kann über den GTR mittels Gleichungslöser bestimmt werden.

Varianz & Standardabweichung

Maße für die Streuung um den Erwartungswert.

• Varianz: Berechnet sich über $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$.
• Standardabweichung: Gibt die Streubreite an: $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

Beispiel: Suche $p$ für $n=50$, $k \ge 35$ bei mindestens $80\%$ Wahrscheinlichkeit: GTR: $\text{nSolve}(\text{binomCdf}(50, p, 35, 50)=0{,}80, p) \approx 74{,}01\%$

💡 Tipp: Eine Binomialverteilung ist bei $p = 0{,}5$ exakt symmetrisch und nähert sich mit steigendem $n$ immer weiter der Symmetrie an.

Analysis: Kurvendiskussion

Wendestellen & Krümmung

Punkte mit der extremsten Steigung eines Graphen.

• Rechtskrümmung: Liegt vor, wenn die zweite Ableitung negativ ist ($f''(x) < 0$).
• Linkskrümmung: Liegt vor, wenn die zweite Ableitung positiv ist ($f''(x) > 0$).
• Wendepunkt: Stelle mit Krümmungswechsel; Bedingung: $f''(x) = 0$ und $f'''(x) \neq 0$.

Ökonomische Anwendungen

Die Analyse von Kosten- und Gewinnfunktionen im Sachzusammenhang.

• Grenzkostenminimum: Der Tiefpunkt der ersten Ableitung der Kostenfunktion ($K''(x) = 0$).
• LPU & KPU: Langfristige (Minimum von $k(x)$) und kurzfristige Preisuntergrenze (Minimum von $k_v(x)$).

Beispiel: Wendestelle von $f(x) = x^3 - 6x^2$: $f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$ ist die mögliche Wendestelle.

💡 Tipp: Der Cournotsche Punkt liefert immer die gewinnmaximale Menge und den dazugehörigen Preis.

Steckbriefaufgaben & e-Funktion

Steckbriefaufgaben lösen

Aus gegebenen Eigenschaften eines Graphen Bedingungen aufstellen.

• Punkt: Graph geht durch $(a|b) \Rightarrow f(a) = b$.
• Extrempunkt: Hoch- oder Tiefpunkt bei $x=a \Rightarrow f'(a) = 0$.
• Wendepunkt: Krümmungswechsel bei $x=a \Rightarrow f''(a) = 0$.

Natürliche Exponentialfunktion

Eigenschaften der Funktion zur Basis $e \approx 2{,}718$.

• Ableitung: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung: $(e^x)' = e^x$.
• Kettenregel: Für verkettete e-Funktionen gilt $(e^{g(x)})' = g'(x) \cdot e^{g(x)}$.
• Produktregel: Für Produkte gilt $f'(x) = u(x)v'(x) + u'(x)v(x)$.

Beispiel: Bilde die Ableitung von $f(x) = e^{-2x}$: $f'(x) = -2 \cdot e^{-2x}$ durch Anwendung der Kettenregel.

💡 Tipp: Ein Sattelpunkt erfüllt gleich zwei Bedingungen für die Ableitungen: $f'(a) = 0$ und $f''(a) = 0$.

Integralrechnung & Rekonstruktion

Stammfunktionen & Integrale

Die Umkehrung des Ableitens zur Flächenberechnung.

• Stammfunktion: $F(x)$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$, wenn $F'(x) = f(x)$.
• Potenzregel: Stammfunktion von $f(x) = a \cdot x^n$ ist $F(x) = \frac{a}{n+1}x^{n+1}$.
• Hauptsatz: Bestimmtes Integral berechnen via $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$.

Konsumenten- & Produzentenrente

Ökonomische Wohlfahrtsmaße im Marktgleichgewicht $(x_g | p_g)$.

• Konsumentenrente: Fläche unter der Nachfragekurve: $KR = \int_0^{x_g} (P_n(x) - p_g) \, dx$.
• Produzentenrente: Fläche über der Angebotskurve: $PR = \int_0^{x_g} (p_g - P_a(x)) \, dx$.

Beispiel: Stammfunktion von $f(x) = 3x^2$ bestimmen: $F(x) = \frac{3}{2+1}x^{2+1} = x^3$

💡 Tipp: Das bestimmte Integral liefert die orientierte Fläche – Flächen unter der x-Achse zählen negativ.

Lineare Algebra: Matrizen

Grundlagen von Matrizen

Rechnen mit Tabellen und Vektoren.

• Format: Eine Matrix $A_{m \times n}$ hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten ("Zeile zuerst").
• Vektor: Eine Matrix, die nur aus einer Zeile oder einer Spalte besteht.
• Multiplikation: Matrizen $A$ und $B$ sind multiplizierbar, wenn die Spaltenanzahl von $A$ gleich der Zeilenanzahl von $B$ ist.

Materialverflechtung

Ökonomische Anwendungen im Produktionsprozess.

• Gozintograph: Stellt die Verflechtung von Rohstoffen (R), Zwischenprodukten (Z) und Endprodukten (E) dar.
• Berechnung: Der Gesamtbedarf ergibt sich durch die Multiplikation der Bedarfsmatrizen.

💡 Tipp: Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt im Allgemeinen gilt $A \cdot B \neq B \cdot A$.

Lineare Gleichungssysteme & Inverse

Lösbarkeit von LGS

Analyse von Gleichungssystemen im Matrix-Format.

• Eindeutig lösbar: Jede Variable hat genau einen Wert (voller Rang).
• Mehrdeutig lösbar: Es existieren unendlich viele Lösungen (Nullzeile ohne Widerspruch).
• Nicht lösbar: Es entsteht ein Widerspruch in einer Zeile (z. B. $0 = 5$).

Inverse Matrix

Die "Kehrwert"-Matrix zur Lösung von Matrixgleichungen.

• Definition: Für die Inverse $A^{-1}$ gilt $A \cdot A^{-1} = E$ (Einheitsmatrix).
• Lösung von LGS: Ist $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ eindeutig lösbar, gilt $\vec{x} = A^{-1} \cdot \vec{b}$.

💡 Tipp: Eine quadratische Matrix ist nur dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat – andernfalls nennt man sie singulär.