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Lernzettel zu Stochastik: - Grundbegriffe - Baumdiagramme - Vierfeldertafel - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Stochastische Unabhängigkeit - Satz von Bayes - Binomialverteilte Zufallsgrößen - Sigma-Regel - Hypothesentest

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Grundbegribbe Zufallsexperiment - Ergebnis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig oft wiederholt werden und muss min. zwei mögliche Ergebnisse besitzen Ergebnis (e)-möglicher Ausgang eines Zufall experiments Ergebnisraum (S2) - vereint alle möglichen Ergebnisse (:e₁jezi...) Ereignis (A)-Teilmenge der Ergebnismenge (Ereignis A-Gegenereignis Ā), -sicheres Ereignis A tritt immer ein schließt alle Ergebnisse der Ergebnismenge ein, die nicht zur Menge des Ereig- nis A gehören. Laplace-Experiment - alle Ergebnisse haben die selbe Wahrscheinlich- keit 121=n (Ergebnisraum: mit Elementen:n) 11 - P(E)= |E| = k = Anzahl der,günstigen " Ereignisse 1521 n Anzahl der möglichen " Ereignisse - unmögliches Ereignis dagegen nie - P(A) = P(Ā): 1-P(A) = Gwsk. Baumdiagramme Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mehr stufiger/zusammengesetzter Zufallsexperimente P(A) P(A) PA (B) PA (B) PA (B) Baumdiagramm-mehrmals durchgeführtes Zufallsexperiment (mehrstufi- ges Zufallsexperiment); dargestellt in Baumdiagrammen mit Pfäden und verästelungen - Produktregel: Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade werden multipliziert - Summen regel: Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse werden addiert Zufallsgrößen absolute Häufigkeit - wie oft das Ergebnis bei n versuchen vorkommt: H₁ (E) Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufall experiments eine reelle Zahl zu. relative Häufigkeit - Quotient aus abs. Häufigkeit und der Anzahl n der Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X gibt an, mit welchen Wahr- Durchführungen: H (A) = H₂(A) n PĀ (B) B=P (ANB) 1.Stufe: B=P(AB) 2. Stufe B=P(An B) B=P(ANB) umgekehrtes Baumdiagramm = A mit B vertauscht Vierfeldertafel Bestimmung von Wahrschein- lichkeiten der verknüpfungen zweier Ereignisse. Bedingte Wahrscheinlichkeit Binomialverteilte Zufallsgröße (Bernoulli - Formel) wenn bei einem Zufallsexperiment mit den möglichen Ereignissen A und B, Beintritt zufallsgröße...

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X, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Größe unter der vorraussetzung, dass A bereits eingetreten ist. (Länge) n mit Treffer wahrscheinlichkeit p und k Treffer Treffer Gegentreffe n-k P(X= k) = k) = ( k ) . (^-p) + ( 0≤ k ≤n) Binomial koeffizient :(n)= wahrscheinlichkeit scheinlichkeit n! k!·(n-k)! Reihenfolge Bernoulli-Experiment: Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen 25 Schüler n=25 11 Spieler k=11 egal Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das eintreten von A (Treffer und Niete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeich- keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B hat (gilt auch genau umgekehrt) net man mit p, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit g=1-p. Die n-fache unab- es gilt: P(ANB)=P(A) P(B) hängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments heißt Bernoulli-Kette dev Länge n. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. PA (B)=P(B) PB (A) = P(A) wird diese Bedingung nicht erfüllt sind A und B stochastisch abhängig ! P(AB)=P(A). P(B) Erwartungswert:μ = E(x) = n.p Standardabweichung: α =σ (X) = ` k · genau k Treffer : P(x=k) = (²) · p*· (1-p) ^-k höchstens k Treffer: P(x≤k) A Ā B P(An B) P(ANB) P(B) BP(ANB) P(AB) P(B) PCA) PLA) 1 P₁ (B) = |A|A| 0,05 0,15 0,2 0,05 0,75 0,8 0,1 0,9 1 = P(ANB) P (B) = Wahrscheinlichkeit von Bunter A P(A) Satz von Bayes Für zwei Ereignisse A und B gilt: PB (A) = P(ANB) P(B) Pn 0,5 P₂ 0,25 P₁ 0 0,05 = 0,2-0,1 0,05 0,02 stochastisch abhängig! ( P(ANB)-Wahrscheinlichkeit, dass A und Beintreten scheinlichkeiten P₁, P.,.,.Pn die Zufallsgröße mögliche Werte x₁,x2,... x n annimmt. Hypothesentest X; X₁ X₂ Xn P(X=X;)| P₁ P(x=x;) Histogramm STOCHASTIK P₂ (1) (2) X; pn [muss zusammen addiert,^"ergeben (Normierungsbedingung) 1 0 Xi 2 P(x=x;) 0,49 0,42 0,09 x₁ (0x6); x₂ (1x6); x3(2x6) - Anzahl der 6er bei 2x würfeln P(x=0) =0,7-0,7 -0,49 P(x=1)=(0,7-0,3)-2 = 0,42 M = 0·0,49 + 1-0,42+2-0,09 0,6 P(x-2)=0,3-0,3 = 0,09 ->gezinkter würfel (Augenzahl 6 wird mit einer wahrscheinlichkeit von 0,3 geworfen) Erwartungswert: M = E(x) = x₁ · P₁+ X₂ ·P ₂ + ... + x n Pn n varianz: Var (X)=(x₁-μ)² · p₁ + ... + (xn-M)² · pn = Σ (X; -μ)² · pi i=1 Standardabweichung: empirische Standard abweichung: √(x₁-x)² · h₁ + ... + (xn- x)² ·hn «-X)³ +ha+*+... * \X\ 1 wert arithmetisches Mittel relative Häufigkeit Sigma-Begeln (1) P(μ-0² X²M +0¹)* 68,3% Erwartungswert -2. Standardabweichung odev (2) Р(М-20EX= μ+2♂) ≈ 95,5%. (3) P(μ-30 ≤ x ≤M +30)≈ 99,7% = √n⋅p.(^-p) weniger als k Treffer: P(x <k) = P(X²k-1) mindestens k Treffer: P(x² k) = 1-P(X≤k-1) mehr als k Treffer: P(x>k) = P(x=k+1) = 1 -P(X²k) ·mindestens k₁, aber höchstens k₂ Treffer : P (k₁s X ≤k₂) = P(x≤k₂) - P(x²k₁-1) 400 M (25). 25! = 4,457,400 11! (25-11)! Möglichkeiten Signifikanztest - bei einem Hypothesentest wird eine Vermutung (Nullhypothese H₂) aufgestellt über eine wahrscheinlichkeit und diese wird anhand einer Stichprobe ge- testet das Ergebnis entscheidet darüber, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird (Gegenhypothese: H₁) x-Fehler Fehler 1. Art Ho wird irrtümlich abgelehnt , obwohl die Nullhypothese stimmt wird durch das signifikanzniveaux beschränkt (5%) B-Fehler Fehler 2. Art: Ho wird irrtümlich angenommen, obwohl was anderes gilt Annahmebereich behalten mit anderer Wahrscheinlichkeit p: Bcd (0,x,20,0,1) Но Bcd (0,x,20,0,4) Mathe lieben 10%. h=1000 M=1000-10=100 goo lieben Mathe von den 1000 H₁ x-Fehler (5%) 4000 Je größer n ist und je näher p bel 0,5 liegt, desto besser wird die Näherung. kumulierte Wahrscheinlichkeiten

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Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁

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Grundbegribbe Zufallsexperiment - Ergebnis ist nicht vorhersehbar, kann beliebig oft wiederholt werden und muss min. zwei mögliche Ergebnisse besitzen Ergebnis (e)-möglicher Ausgang eines Zufall experiments Ergebnisraum (S2) - vereint alle möglichen Ergebnisse (:e₁jezi...) Ereignis (A)-Teilmenge der Ergebnismenge (Ereignis A-Gegenereignis Ā), -sicheres Ereignis A tritt immer ein schließt alle Ergebnisse der Ergebnismenge ein, die nicht zur Menge des Ereig- nis A gehören. Laplace-Experiment - alle Ergebnisse haben die selbe Wahrscheinlich- keit 121=n (Ergebnisraum: mit Elementen:n) 11 - P(E)= |E| = k = Anzahl der,günstigen " Ereignisse 1521 n Anzahl der möglichen " Ereignisse - unmögliches Ereignis dagegen nie - P(A) = P(Ā): 1-P(A) = Gwsk. Baumdiagramme Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mehr stufiger/zusammengesetzter Zufallsexperimente P(A) P(A) PA (B) PA (B) PA (B) Baumdiagramm-mehrmals durchgeführtes Zufallsexperiment (mehrstufi- ges Zufallsexperiment); dargestellt in Baumdiagrammen mit Pfäden und verästelungen - Produktregel: Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade werden multipliziert - Summen regel: Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse werden addiert Zufallsgrößen absolute Häufigkeit - wie oft das Ergebnis bei n versuchen vorkommt: H₁ (E) Zufallsgröße ordnet jedem Ergebnis eines Zufall experiments eine reelle Zahl zu. relative Häufigkeit - Quotient aus abs. Häufigkeit und der Anzahl n der Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X gibt an, mit welchen Wahr- Durchführungen: H (A) = H₂(A) n PĀ (B) B=P (ANB) 1.Stufe: B=P(AB) 2. Stufe B=P(An B) B=P(ANB) umgekehrtes Baumdiagramm = A mit B vertauscht Vierfeldertafel Bestimmung von Wahrschein- lichkeiten der verknüpfungen zweier Ereignisse. Bedingte Wahrscheinlichkeit Binomialverteilte Zufallsgröße (Bernoulli - Formel) wenn bei einem Zufallsexperiment mit den möglichen Ereignissen A und B, Beintritt zufallsgröße...

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X, die die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Größe unter der vorraussetzung, dass A bereits eingetreten ist. (Länge) n mit Treffer wahrscheinlichkeit p und k Treffer Treffer Gegentreffe n-k P(X= k) = k) = ( k ) . (^-p) + ( 0≤ k ≤n) Binomial koeffizient :(n)= wahrscheinlichkeit scheinlichkeit n! k!·(n-k)! Reihenfolge Bernoulli-Experiment: Ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen 25 Schüler n=25 11 Spieler k=11 egal Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das eintreten von A (Treffer und Niete) heißt Bernoulli-Experiment. Die Trefferwahrscheinlichkeit bezeich- keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von B hat (gilt auch genau umgekehrt) net man mit p, die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit g=1-p. Die n-fache unab- es gilt: P(ANB)=P(A) P(B) hängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments heißt Bernoulli-Kette dev Länge n. Die Trefferwahrscheinlichkeit p bleibt dabei konstant. PA (B)=P(B) PB (A) = P(A) wird diese Bedingung nicht erfüllt sind A und B stochastisch abhängig ! P(AB)=P(A). P(B) Erwartungswert:μ = E(x) = n.p Standardabweichung: α =σ (X) = ` k · genau k Treffer : P(x=k) = (²) · p*· (1-p) ^-k höchstens k Treffer: P(x≤k) A Ā B P(An B) P(ANB) P(B) BP(ANB) P(AB) P(B) PCA) PLA) 1 P₁ (B) = |A|A| 0,05 0,15 0,2 0,05 0,75 0,8 0,1 0,9 1 = P(ANB) P (B) = Wahrscheinlichkeit von Bunter A P(A) Satz von Bayes Für zwei Ereignisse A und B gilt: PB (A) = P(ANB) P(B) Pn 0,5 P₂ 0,25 P₁ 0 0,05 = 0,2-0,1 0,05 0,02 stochastisch abhängig! ( P(ANB)-Wahrscheinlichkeit, dass A und Beintreten scheinlichkeiten P₁, P.,.,.Pn die Zufallsgröße mögliche Werte x₁,x2,... x n annimmt. Hypothesentest X; X₁ X₂ Xn P(X=X;)| P₁ P(x=x;) Histogramm STOCHASTIK P₂ (1) (2) X; pn [muss zusammen addiert,^"ergeben (Normierungsbedingung) 1 0 Xi 2 P(x=x;) 0,49 0,42 0,09 x₁ (0x6); x₂ (1x6); x3(2x6) - Anzahl der 6er bei 2x würfeln P(x=0) =0,7-0,7 -0,49 P(x=1)=(0,7-0,3)-2 = 0,42 M = 0·0,49 + 1-0,42+2-0,09 0,6 P(x-2)=0,3-0,3 = 0,09 ->gezinkter würfel (Augenzahl 6 wird mit einer wahrscheinlichkeit von 0,3 geworfen) Erwartungswert: M = E(x) = x₁ · P₁+ X₂ ·P ₂ + ... + x n Pn n varianz: Var (X)=(x₁-μ)² · p₁ + ... + (xn-M)² · pn = Σ (X; -μ)² · pi i=1 Standardabweichung: empirische Standard abweichung: √(x₁-x)² · h₁ + ... + (xn- x)² ·hn «-X)³ +ha+*+... * \X\ 1 wert arithmetisches Mittel relative Häufigkeit Sigma-Begeln (1) P(μ-0² X²M +0¹)* 68,3% Erwartungswert -2. Standardabweichung odev (2) Р(М-20EX= μ+2♂) ≈ 95,5%. (3) P(μ-30 ≤ x ≤M +30)≈ 99,7% = √n⋅p.(^-p) weniger als k Treffer: P(x <k) = P(X²k-1) mindestens k Treffer: P(x² k) = 1-P(X≤k-1) mehr als k Treffer: P(x>k) = P(x=k+1) = 1 -P(X²k) ·mindestens k₁, aber höchstens k₂ Treffer : P (k₁s X ≤k₂) = P(x≤k₂) - P(x²k₁-1) 400 M (25). 25! = 4,457,400 11! (25-11)! Möglichkeiten Signifikanztest - bei einem Hypothesentest wird eine Vermutung (Nullhypothese H₂) aufgestellt über eine wahrscheinlichkeit und diese wird anhand einer Stichprobe ge- testet das Ergebnis entscheidet darüber, ob die Nullhypothese angenommen oder abgelehnt wird (Gegenhypothese: H₁) x-Fehler Fehler 1. Art Ho wird irrtümlich abgelehnt , obwohl die Nullhypothese stimmt wird durch das signifikanzniveaux beschränkt (5%) B-Fehler Fehler 2. Art: Ho wird irrtümlich angenommen, obwohl was anderes gilt Annahmebereich behalten mit anderer Wahrscheinlichkeit p: Bcd (0,x,20,0,1) Но Bcd (0,x,20,0,4) Mathe lieben 10%. h=1000 M=1000-10=100 goo lieben Mathe von den 1000 H₁ x-Fehler (5%) 4000 Je größer n ist und je näher p bel 0,5 liegt, desto besser wird die Näherung. kumulierte Wahrscheinlichkeiten