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Aktualisiert Mar 30, 2026
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Kruh a Kružnica: Vlastnosti a Polohy
1 / 10
Kruh vs. Kružnica - Základné pojmy
Prvá vec, ktorú si musíš zapamätať: kružnica nie je to isté ako kruh! Kružnica je len čiara (obvod), zatiaľ čo kruh je celá plocha vrátane vnútra.
Kružnica je množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Kruh obsahuje aj všetky body vo vnútri tejto čiary. Predstav si to takto: drôt ohnutý do kruhu je kružnica, ale minca je kruh.
Kľúčové pojmy, ktoré budeš potrebovať: polomer (r) je vzdialenosť od stredu k okraju, priemer (d) je najdlhšia úsečka cez stred . Tetiva spája dva body na kružnici, oblúk je časť kružnice medzi dvoma bodmi.
💡 Tip: Nezamieňaj polomer a priemer! Priemer je vždy dvakrát väčší ako polomer.
Vzorce pre obvod a obsah
Dva najdôležitejšie vzorce, ktoré sa ti budú hodiť na testoch: obvod kružnice = 2πr a obsah kruhu = πr².
Pre výpočty používaj π ≈ 3,14 (ak nie je zadané inak). Pamätaj si jednotky - obvod meráš v cm alebo m, obsah v cm² alebo m².
Ak máš zadaný priemer namiesto polomeru, jednoducho ho vydeľ dvoma. Alebo použij vzorec o = πd pre obvod.
Príklad: Pri polomere 5 cm je obvod = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm a obsah = 3,14 × 5² = 78,5 cm².
💡 Skúška: Obsah je vždy v štvorcových jednotkách, obvod v lineárnych!
Priamka a kružnica - tri možnosti
Keď sa priamka stretne s kružnicou, môže sa stať jedna z troch vecí. Závisí to od vzdialenosti (v) stredu kružnice od priamky.
Sečnica (v < r): Priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch. Dotyčnica : Priamka sa dotýka kružnice len v jednom bode a je kolmá na polomer v tomto bode. Nesečnica (v > r): Priamka sa kružnice vôbec nedotýka.
Najdôležitejšie si zapamätaj: dotyčnica je vždy kolmá na polomer v bode dotyku! Toto ti pomôže pri riešení úloh s pravouhlými trojuholníkmi.
💡 Vizuálna pomôcka: Nakresli si obrázok - lepšie si to zapamätáš!
Uhly v kružnici
V kružnici rozlišujeme dva typy uhlov. Stredový uhol má vrchol v strede kružnice, obvodový uhol má vrchol na kružnici.
Tu je kľúčový vzťah: obvodový uhol je vždy polovičkou stredového uhla, ak prislúchajú k rovnakému oblúku. Takže α = ω/2.
Thalesova kružnica je špeciálny prípad - ak je obvodový uhol nad priemerom, je vždy 90°. Toto pravidlo sa ti bude hodiť pri konštrukciách.
Príklad: Stredový uhol 120° znamená obvodový uhol 60°.
💡 Pamätaj: Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú rovnaké!
Praktické tipy na testy
Pri riešení úloh si vždy najprv zapíš, čo vieš a čo hľadáš. Nezabudni na jednotky a skontroluj, či máš polomer alebo priemer.
Ak vidíš úlohu s dotyčnicou, hneď si nakreslí pravý uhol medzi dotyčnicou a polomerom. Pri uhloch v kružnici si označ, ktorý je stredový a ktorý obvodový.
Časté chyby: Zamieňanie polomeru s priemerom, nesprávne jednotky pri obsahu, zabúdanie na pravidlo o dotyčnici. Výsledok môžeš nechať aj s π, ak to zadanie nevyžaduje číselnú hodnotu.
💡 Kontrola: Obsah kruhu by mal byť väčší ako obsah štvorca s rovnakou stranou ako polomer!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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4.7/5
Google Play
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Kruh a Kružnica: Vlastnosti a Polohy
Kruh a kružnica sú všade okolo nás - od kolies bicyklov až po mince v peňaženke. Pochopenie týchto základných geometrických tvarov ti pomôže nielen v matematike, ale aj vo fyzike a technike.
Kruh vs. Kružnica - Základné pojmy
Prvá vec, ktorú si musíš zapamätať: kružnica nie je to isté ako kruh! Kružnica je len čiara (obvod), zatiaľ čo kruh je celá plocha vrátane vnútra.
Kružnica je množina všetkých bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od stredu. Kruh obsahuje aj všetky body vo vnútri tejto čiary. Predstav si to takto: drôt ohnutý do kruhu je kružnica, ale minca je kruh.
Kľúčové pojmy, ktoré budeš potrebovať: polomer (r) je vzdialenosť od stredu k okraju, priemer (d) je najdlhšia úsečka cez stred . Tetiva spája dva body na kružnici, oblúk je časť kružnice medzi dvoma bodmi.
💡 Tip: Nezamieňaj polomer a priemer! Priemer je vždy dvakrát väčší ako polomer.
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Vzorce pre obvod a obsah
Dva najdôležitejšie vzorce, ktoré sa ti budú hodiť na testoch: obvod kružnice = 2πr a obsah kruhu = πr².
Pre výpočty používaj π ≈ 3,14 (ak nie je zadané inak). Pamätaj si jednotky - obvod meráš v cm alebo m, obsah v cm² alebo m².
Ak máš zadaný priemer namiesto polomeru, jednoducho ho vydeľ dvoma. Alebo použij vzorec o = πd pre obvod.
Príklad: Pri polomere 5 cm je obvod = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm a obsah = 3,14 × 5² = 78,5 cm².
💡 Skúška: Obsah je vždy v štvorcových jednotkách, obvod v lineárnych!
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Priamka a kružnica - tri možnosti
Keď sa priamka stretne s kružnicou, môže sa stať jedna z troch vecí. Závisí to od vzdialenosti (v) stredu kružnice od priamky.
Sečnica (v < r): Priamka pretína kružnicu v dvoch bodoch. Dotyčnica : Priamka sa dotýka kružnice len v jednom bode a je kolmá na polomer v tomto bode. Nesečnica (v > r): Priamka sa kružnice vôbec nedotýka.
Najdôležitejšie si zapamätaj: dotyčnica je vždy kolmá na polomer v bode dotyku! Toto ti pomôže pri riešení úloh s pravouhlými trojuholníkmi.
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Uhly v kružnici
V kružnici rozlišujeme dva typy uhlov. Stredový uhol má vrchol v strede kružnice, obvodový uhol má vrchol na kružnici.
Tu je kľúčový vzťah: obvodový uhol je vždy polovičkou stredového uhla, ak prislúchajú k rovnakému oblúku. Takže α = ω/2.
Thalesova kružnica je špeciálny prípad - ak je obvodový uhol nad priemerom, je vždy 90°. Toto pravidlo sa ti bude hodiť pri konštrukciách.
Príklad: Stredový uhol 120° znamená obvodový uhol 60°.
💡 Pamätaj: Všetky obvodové uhly nad tým istým oblúkom sú rovnaké!
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Praktické tipy na testy
Pri riešení úloh si vždy najprv zapíš, čo vieš a čo hľadáš. Nezabudni na jednotky a skontroluj, či máš polomer alebo priemer.
Ak vidíš úlohu s dotyčnicou, hneď si nakreslí pravý uhol medzi dotyčnicou a polomerom. Pri uhloch v kružnici si označ, ktorý je stredový a ktorý obvodový.
Časté chyby: Zamieňanie polomeru s priemerom, nesprávne jednotky pri obsahu, zabúdanie na pravidlo o dotyčnici. Výsledok môžeš nechať aj s π, ak to zadanie nevyžaduje číselnú hodnotu.
💡 Kontrola: Obsah kruhu by mal byť väčší ako obsah štvorca s rovnakou stranou ako polomer!
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
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