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 1. ANALYIS
1. Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen:
Alles auf eine Seite
abc Formel: X₁₁2 = -b ± √b² - 4ac
2.a
Gleichungen mit x in j

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Mathe Zusammenfassung fürs Abi 21 ( Analysis & Geometrie)

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1. ANALYIS 1. Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen: Alles auf eine Seite abc Formel: X₁₁2 = -b ± √b² - 4ac 2.a Gleichungen mit x in jedem Summanden: Höchste Potenz von x ausklammern >Satz vom Nullprodukt Biquadratische Gleichungen: >Alles auf eine Seite Substitution: u=x² Gleichung lösen z.B. mit abc-Formel Resubstitution: x²=u Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist dann gleich Null, wenn mind. einer der Faktoren Null ist. Exponentialgleichungen: 1. Art: e3x+1 +2=4-e³x+1 2. e³x+1=2 e³x+1 = 1 e³x+1=e 3x+1=0 3x=-1 1:2 |-1 1:3 Gleichung lösen überprüfen ob Ergebnisse Sinn ergeben pq Formel: X₁₁2 = √ 2. Art: 4e³x = 2esx 2. Nullstellen bestimmen Schritt 1: setze f x 0 Schritt 2: Gleichung lösen Logarithmusgleichungen: Logarithmus isolieren: Term mit Logarithmus auf eine Seite bringen Gleichung exponentieren >Gleichung nach x auflösen Beispiel: Def(x) = R 4e³x = 2.e³x.e²x 4= 2e²x 2= e²x (n(2) = 2x Wurzelgleichungen: Wurzel isolieren Beide Seiten quadrieren (binomische Formeln beachten!) (n(2) X = 2 Term> 0 √√4x+16-x-1=0 Bruchgleichungen: Schritt 1: Multipliziere die Gleichung mit dem Hauptnenner durch Schritt2: Gleichung lösen £ ± (£)* ~- q x²-2x-15=0 Term> 0 3. Art: e²x +ex = 6 √4x+16=x+1 4x + 16 = (x+11² 4x + 16 = x²+2x+1 |x² (n (x²-8)=0 en (x²-8) = cº x²-8=1 u ·ex •u²+u = 6 → X= (n lu) = (n lex) →x=(n (2); x₂=(n=3){ →Logarithmus von net. Zahlen gibt es nicht! Substitution u= ex mit x(x+1) multiplizieren: → U₁.2 = 2₁-3 =>abc-Formel -> x₁ = -3; X₂=5 x-(x+1) X In ← expo exp(2x) = ²x + + überprüfen: Werte in Gl. → bei x₁=-3 4-04 nur x=5 ist Richtige Lösung X+1 xxxat XXX = x(x+1) => X+1+x= x (x+1) =>x²-x-1=0 3. Definitionsmenge bestimmen Die max Definitionsmenge De der Fkt. f ist die...

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Menge aller Zahlen x, die in den Funktionsterm f(x) eingesetzt werden können. Eingeschränkte Definitionsmengen: Funktionstyp f(x) = Zahlerterm g(x)=√Term h(x)=\n(Term) Nennerterm ↓ Einschränkung Nennerterm=0 = 4. Änderungsraten bestimmen mittlere/durchschnittliche Änderungsrate m für eine Fkt f in einem Intervall 1=[a;b] entspricht der Steigung der Sekante, welche durch die zwei Punkte A (alf (a)) und B(blf(b)) verläuft. 4. f(b) f(a) f'(a) = lim b-a momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzierungsquotienten. Der Punkt B rückt dabei immer näher an Punkt A heran, sodass die Sekante im Grenzwert den Graphen von f im Punkt A berührt und damit zur Tangente wird. Falls dieser Grenzwert existiert, gilt: f(b)-f(a) b-a y₁ f(a) a B 7. Potenzgesetzte > a³. aª= ab+c >a²:a²=ab-c¸ Steigung: TP: HP: m = lim 5. Ableitungsregeln Summenregel: f(x)= u(x)=V(X) f'(x)=u'(x)= V'(X) Kettenregel: f(x)= u (v (x)) - → f'(x)=u'(v (x))- V'(X) Produktregel: f(x) = u(x) • v (x). >ab.cb=(a c)b >ab:c² == (a/b > (ab)²=abc=a²²¹b = (a²jb 8. Extrempunkte bestimmen. 9. Monotonie Mit vorgegebener Steigung: Schritt 1: Abl. von f bestimmen f(b)-f(a) b-a b+g b-a H(XH|f(xH)) f(b)-f(a) 6. Tangentengleichung bestimmen allgemeine Tangentengleichung: y=m+x+c| m entspricht der Steigung (f'(x)=m); c entspricht dem y-Achenabschnitt der Geraden - Schritt 2: Gleichung f'xl-m. Liefert die x-Koordinate des Berührpunktes Schritt 3: Funtionswert bestimmen y-Wert Schritt4: Koordinaten in Tangentengleichung einsetzten. Das liefert c. > Nur bei Extrempunkten monoton steigend: f'(x) = 0 monoton fallend: f'(x) ≤ 0 = f'(a) > • f'(x)=u'(x) · V (x) + u (x) • V'(X) > 9√6=6²² b =a¹ >k=a-k - Graph monoton steigend Graph monoton fallend waagrechte Tangenten T(XT|F(XT)) An Extrempunkten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente und es ändert sich das Mono- tonieverhalten des Graphen! In(b.c)=\n(b)+ln(c) In(b:c)-In (b)-In (c) Steigung wächst fx 0 Steigung fällt f x 0 TIPP: Tangentensteigung = momentane Änderungsrate=Wert der 1. Abl. an dieser Stelle streng monoton steigend: f'(x) > 0 streng monoton fallend: f'(x) < 0 Spezialfälle: f(x)=\n(x). f(x)=e* f (x)=√x = x²_ • f'(x) = 1/ → f'(x)=e* → f'(x)= ² × ² = √2+² = 2√x Schritt 1: notwendige Bedingung aufstellen: f'(x)=0 Schritt 2: erste Abl. bestimmen f'(x) Schritt 3: Nullstelle berechnen (Gleichung lösen) Schritt 4: mit VZW: ein Wert vorher und einen nachher prüfen wenn von nach o, dann Hochpunkt wenn von nach , dann Tiefpunkt mit f"(x): zweite Abl. bestimmen und x-Werte einsetzen wenn f"(x)<0, dann Hochpunkt wenn f(x)>0, dann Tiefpunkt Schritt 5: x-Werte in f(x) einsetzen um y-Werte zu bekommen 10. Krümmungsverhalten Nur bei Wendepunkten f(x) >0 Rechtskurve-Linkskurve f"(x) <0=>Linkskurve-Rechtskurve sin. -sine COS 11. Wendepunkte bestimmen. -004 13. Verhalten im Unendlichen 12. Wendetangente bestimmen f(x)=mx+b Schritt 1: Wendepunkt berechnen Schritt 2: x-Wert in f'(x) einsetzen-m Schritt 3: gegebene Werte einsetzen in f(x)=m-x+b und nach b auflösen In (-1) { In 1014 W(xw|f(xw)) Lim x² = 00 X->+∞0 bei Parabeln etc. Lim Ln(x) = -a X-> O .e²* ›... ›e* Limesregeln: → +∞ 1 DOMINANZREIHENFOLGE: ADOOO f(x) = g(x)=h(x) f(x) = g(x)h(x) · ---Graph links gekrümmt ...... Graph rechts gekrümmt Lim Ln(x) = +00 X→ +00 (n(x) 14. Symmetrieverhalten f(-x.) X₁ >>√X > [n(x) ·lim f(x)=lim g(x)=lim h(x) ·lim f(x)=lim glx%:lim h(x) achsensymmetrisch zur y Achse f(xo) Bedingung: f(x)=f(-xo) Schritt 1: notwendige Bedingung aufstellen: f"(x)=0 Schritt 2: erste und zweite Abl. bestimmen f'(x); f"(x) Schritt 3: Nullstelle von f"(x) berechnen Gleichung lösen Schritt 4: mit VZW: wenn ein Wechsel der vorzeichen stattfindet, dann WP mit f (x): dritte Abl. bestimmen wenn f"(x0, dann Wendepunkt Schritt 5: x-Werte in f(x) einsetzten um y-Werte zu bekommen punkts. Lim x= -00 X->-∞ K bei ungeraden Potenzen keine Existenz! - Parabeln sind achsensymmetrisch Potenzen mit geraden Exponenten sind immer achsensymmetrisch! x4-2x²-achsensym. (kombinationen v. geraden Potenzen) >: dominiert achs. lim x= 00 X-→> +00 √o =0 Lim √√x = +00 X→ +00 √x lim ex = 0 X->-00 -f(-x) Lim = 0 X->-0 punktsymmetrisch zum Ursprung Keine Symmetrie, weil gemischt! f(x) Bedingung: f(x)=f(-xo) X lim ex = 00 X-> +00 Lim хо A x^; x ; x² ;.... Lim = lim = +00 X→>0+ X>0 lim x = 0 X→ +8 =lim + = -00 X-O- Potenzen mit ungeraden Exponenten sind immer Punktsymmetrisch! - 3x²+2x² → punktsym. (kombination v. ungeraden Potenzen) 15. Funktionsgraphen manipulieren strecken und stauchen: Veränderung bezüglich der y-Richtung: Veränderung bezüglich der x-Richtung: Verschiebung des Graphen: Auf der y-Achse: f(x) +b→Verschiebung von G um b nach oben f(x)-b-verschiebung von um b nach unten Auf der x-Achse: f(x+b)→verschiebung von G um b nach links f(x-b) verschiebung von G um b nach rechts Spiegeln: Spiegelt man Ge an der x-Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion -f(x) gehört. Spiegelt man G an der y-Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion f(-x) gehört. 16. Logarithmusregeln log(a - b) = log(a)+ log(b) log(a:b)= log(a)-log(b) log(a)=b log(a) 18. Integrationsregeln n+1 f(x)=x"F(x)=√²₁ ·x" f(x)=1-F(x)=x f (x) = ² ·x²¹²→→F(x)=x²¹=-4 f(x)= F(x)=Ln Ixl f(x)=e*→→→→→F(x)=e* Summenregel: f(x) = g(x)+h(x) · a.f(x), a>1→→→→→Streckung von Ge a-f(x), a<1 Stauchung von Ge f(a.x), a>1 Stauchung von Ge f(a.x), a>1 Streckung von Ge Ge Lineare Substitution: f(x)=g(m-x+c) F(x)=G(m.x+c) 17. Einführung Integration Funktion F ist eine Stammfunktion einer Fkt. f : F'(x)=f(x) Integrationskonstante: eine Fkt. hat nur eine Ableitungsfkt. aber unendlich viele Stammfkt., da der hintere Summand c beim ableiten verschwindet Beispiel: F(x)=x³ +C Zwischen zwei Schaubildern: A= S(f(x)-g(x)) dx 19. Flächeninhalt bestimmen Zwischen Schaubild und x-Achse: Fläche oberhalb der x-Achse: A- [[ (x) dx = [F(x] = T(b)-F(a) Fläche unterhalb der x-Achse: Unterschied: A = -f(x) dx Zusammengesetzte Fläche: Schritt 1: Nullstellen bestimmen Schritt 2: Flächeninhalte bestimmen 20. Mittelwert In Aufgaben oft Durchschnitt Kettenregel: f(x)=(x)"F(x)=(x)^^ ! f(x)= F(x)=Ln(x). f (x)-en F(x)=e". ¹ f(x)=sin(x)→F(x)=-COS (X). (x¹) • Sf (x) dx = F(x)=G(x) + H(X) Sg(x)+h(x) dx = g(x) dx + Jh (x) dx = Zusammengesetzte Fläche: Schritt 1: Schnittstellen bestimmen: f(x) = g(x) Schritt 2: Teilflächeninhalte bestimmen Schritt 3: Gesamtflächeninhalt bestimmen (addieren) Schritt 3: Gesamtflächeninhalt bestimmen (addieren) m-[f(x) dx Bemerkung: > bei Berechnung der mittleren/durchschnittlichen Steigung: a! ·ff'(x) dx Gg | Gf & ** -COS Gh -Sin sin. G₂ Y₂-Y₁ = : f(b)-f(a) X₂-X₁ (alternativ über Sekantensteigung: b-a > bei Berechnung der mittleren/durchschnittlichen Abweichung zw. y-Werten zweier Fkt.: f(x)-g(x) dx Cos Merkregel: rechte Grenze A= (Term) dx Linke Grenze Merkregel: rechle Gr. A= (oberer Term-unterer Term) dx linke Gr. 21. Uneigentliche Integrale Integral, das eigentlich nicht funktionieren sollte, es aber trotzdem geht Meist bei e Funktionen, da diese nicht die Achse schneiden, sich immer näher annähern Beispiel: f(x)=e*x 1. Unbekannte Grenze mit z bezeichnen, damit Flächeninhalt A(z) bestimmen A(z)= Sª{e^*)dx=[e¨´Ï*ª--eª-(-eº)=-eª-(-1)=-e²+1 2. A(z) untersuchen, wenn z gegen+ ∞ strebt (z→+∞) (z. B. z= 1000: A (1000) = -e- 10000 + 1 ≈ 0+1 = 1; „ Nebenrechnung") Z→+00: A(Z) =-e² +10+1=1 →→Flächeninhalt strebt gegen 1 cm² 22. Extremwertaufgaben Meist maximale Fläche unter einem Schaubild (Dreieck, Rechteck) Schritt 1: Skizze des Sachverhalts und relevante Punkte angeben (Punkt, der, irgendwo im Schaubild'liegt, besitzt Koordinaten (ulf(u)).) Schritt 2: Allgemeine Zielfunktion bestimmen: z.B. Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A=2·a·b Schritt 3: benötigte Strecken für allg. Zielfunktion in Skizze einzeichnen Schritt 4: Konkrete Zielfunktion bestimmen. Streckenlänge durch Koordinaten der Pkt aus 1 ausdrücken: beachten: waagr. Streckenlänge: Xecents - Xüinks senkr. Streckenlänge: Yoben-Yunken Funktionsterm aus Aufgabenstellung einsetzten Schritt 5: Schaubild der konkreten Zielfkt. auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt untersuchen Schritt 6: Randwertuntersuchung Grenzen des Definitionsbereiches für u in konkrete Zielfkt einsetzen. Erhaltene y-Werte mit dem y-Wert des HP bzw. TP vergleichen. Schritt 7: Antwortsatz 23. Volumen von Rotationskörpern Wenn ein Graph einer Funktion f im Intervall [a, b] um die x-Achse rotiert, entsteht ein Rotationskörper. V=TT. {"(f(x)² dx 0=0·a+0.b+ c 0=6.a+2·b 24. Steckbriefaufgaben Am Beispiel: Bestimme Term einer ganzrationalen Fkt 3. Grades, deren Graph G₁am Ursprung einen EP und einen WP in W(111) hat. Schritt 1: allgemeine Funktionsgleichung ihre Ableitungen aufschreiben f(x) = ax³ + bx²+ cx + d f'(x)=3ax²+2bx+ C f"(x) = 6ax+ 2b Schritt 2: Schreibe alle Infos in Formelschreibweise: G₂ geht durch Ursprung- > f(0) =0 G₂ hat EP am Ursprung. • f'(0) = 0 G hat WP in W (1/1) →f" (1) = 0 G geht durch W(1/1). → f(1) = 1 Schritt 3:setzte die Gleichungen in die allg. Funktionsgleichung ein: 0=0·a+0.b+0.c+d 1 ||| 1 || ||| IV 1= a+ b + c+d IV Schritt 4: löse das entstehende AGS: c-0; d-0; a--; b= ²3 Schritt 5: einsetzten. Gesuchte Funktionsgleichung: Gemeinsame Punkte/Schnittstellen: ex 25. Funktionenscharen Gruppe von Funktionen, die in Beziehung zueinander stehen. Beim Ableiten Parameter oft wie normale Zahl behandeln! Schritt 1: 2 beliebige Werte für + in f(x) einsetzen Schritt 2: Terme mit eingesetzten Werten gleichsetzten Gf Ortskurve: Schritt 1: Koordinaten des TP HP bestimmen Schritt 2: Bestimme die Gleichung der Ortskurve. x-und y-Werte aufschreiben. x-Gleichung nach + umstellen und diesen Wert für + in die y-Gleichung einsetzen. Und auflösen Schritt 3: Definitionsbereich der Ort rve bestimm mithilfe des Definitionsbereichs vont und der x-Gleichung Schritt 3: Gleichung nach x auflösen Schritt 4: x-Wert und Parameter + in Funktion f und y-Wert berechnen-Schnittpunkt Go

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2.a
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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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Menge aller Zahlen x, die in den Funktionsterm f(x) eingesetzt werden können. Eingeschränkte Definitionsmengen: Funktionstyp f(x) = Zahlerterm g(x)=√Term h(x)=\n(Term) Nennerterm ↓ Einschränkung Nennerterm=0 = 4. Änderungsraten bestimmen mittlere/durchschnittliche Änderungsrate m für eine Fkt f in einem Intervall 1=[a;b] entspricht der Steigung der Sekante, welche durch die zwei Punkte A (alf (a)) und B(blf(b)) verläuft. 4. f(b) f(a) f'(a) = lim b-a momentane Änderungsrate ist der Grenzwert des Differenzierungsquotienten. Der Punkt B rückt dabei immer näher an Punkt A heran, sodass die Sekante im Grenzwert den Graphen von f im Punkt A berührt und damit zur Tangente wird. Falls dieser Grenzwert existiert, gilt: f(b)-f(a) b-a y₁ f(a) a B 7. Potenzgesetzte > a³. aª= ab+c >a²:a²=ab-c¸ Steigung: TP: HP: m = lim 5. Ableitungsregeln Summenregel: f(x)= u(x)=V(X) f'(x)=u'(x)= V'(X) Kettenregel: f(x)= u (v (x)) - → f'(x)=u'(v (x))- V'(X) Produktregel: f(x) = u(x) • v (x). >ab.cb=(a c)b >ab:c² == (a/b > (ab)²=abc=a²²¹b = (a²jb 8. Extrempunkte bestimmen. 9. Monotonie Mit vorgegebener Steigung: Schritt 1: Abl. von f bestimmen f(b)-f(a) b-a b+g b-a H(XH|f(xH)) f(b)-f(a) 6. Tangentengleichung bestimmen allgemeine Tangentengleichung: y=m+x+c| m entspricht der Steigung (f'(x)=m); c entspricht dem y-Achenabschnitt der Geraden - Schritt 2: Gleichung f'xl-m. Liefert die x-Koordinate des Berührpunktes Schritt 3: Funtionswert bestimmen y-Wert Schritt4: Koordinaten in Tangentengleichung einsetzten. Das liefert c. > Nur bei Extrempunkten monoton steigend: f'(x) = 0 monoton fallend: f'(x) ≤ 0 = f'(a) > • f'(x)=u'(x) · V (x) + u (x) • V'(X) > 9√6=6²² b =a¹ >k=a-k - Graph monoton steigend Graph monoton fallend waagrechte Tangenten T(XT|F(XT)) An Extrempunkten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente und es ändert sich das Mono- tonieverhalten des Graphen! In(b.c)=\n(b)+ln(c) In(b:c)-In (b)-In (c) Steigung wächst fx 0 Steigung fällt f x 0 TIPP: Tangentensteigung = momentane Änderungsrate=Wert der 1. Abl. an dieser Stelle streng monoton steigend: f'(x) > 0 streng monoton fallend: f'(x) < 0 Spezialfälle: f(x)=\n(x). f(x)=e* f (x)=√x = x²_ • f'(x) = 1/ → f'(x)=e* → f'(x)= ² × ² = √2+² = 2√x Schritt 1: notwendige Bedingung aufstellen: f'(x)=0 Schritt 2: erste Abl. bestimmen f'(x) Schritt 3: Nullstelle berechnen (Gleichung lösen) Schritt 4: mit VZW: ein Wert vorher und einen nachher prüfen wenn von nach o, dann Hochpunkt wenn von nach , dann Tiefpunkt mit f"(x): zweite Abl. bestimmen und x-Werte einsetzen wenn f"(x)<0, dann Hochpunkt wenn f(x)>0, dann Tiefpunkt Schritt 5: x-Werte in f(x) einsetzen um y-Werte zu bekommen 10. Krümmungsverhalten Nur bei Wendepunkten f(x) >0 Rechtskurve-Linkskurve f"(x) <0=>Linkskurve-Rechtskurve sin. -sine COS 11. Wendepunkte bestimmen. -004 13. Verhalten im Unendlichen 12. Wendetangente bestimmen f(x)=mx+b Schritt 1: Wendepunkt berechnen Schritt 2: x-Wert in f'(x) einsetzen-m Schritt 3: gegebene Werte einsetzen in f(x)=m-x+b und nach b auflösen In (-1) { In 1014 W(xw|f(xw)) Lim x² = 00 X->+∞0 bei Parabeln etc. Lim Ln(x) = -a X-> O .e²* ›... ›e* Limesregeln: → +∞ 1 DOMINANZREIHENFOLGE: ADOOO f(x) = g(x)=h(x) f(x) = g(x)h(x) · ---Graph links gekrümmt ...... Graph rechts gekrümmt Lim Ln(x) = +00 X→ +00 (n(x) 14. Symmetrieverhalten f(-x.) X₁ >>√X > [n(x) ·lim f(x)=lim g(x)=lim h(x) ·lim f(x)=lim glx%:lim h(x) achsensymmetrisch zur y Achse f(xo) Bedingung: f(x)=f(-xo) Schritt 1: notwendige Bedingung aufstellen: f"(x)=0 Schritt 2: erste und zweite Abl. bestimmen f'(x); f"(x) Schritt 3: Nullstelle von f"(x) berechnen Gleichung lösen Schritt 4: mit VZW: wenn ein Wechsel der vorzeichen stattfindet, dann WP mit f (x): dritte Abl. bestimmen wenn f"(x0, dann Wendepunkt Schritt 5: x-Werte in f(x) einsetzten um y-Werte zu bekommen punkts. Lim x= -00 X->-∞ K bei ungeraden Potenzen keine Existenz! - Parabeln sind achsensymmetrisch Potenzen mit geraden Exponenten sind immer achsensymmetrisch! x4-2x²-achsensym. (kombinationen v. geraden Potenzen) >: dominiert achs. lim x= 00 X-→> +00 √o =0 Lim √√x = +00 X→ +00 √x lim ex = 0 X->-00 -f(-x) Lim = 0 X->-0 punktsymmetrisch zum Ursprung Keine Symmetrie, weil gemischt! f(x) Bedingung: f(x)=f(-xo) X lim ex = 00 X-> +00 Lim хо A x^; x ; x² ;.... Lim = lim = +00 X→>0+ X>0 lim x = 0 X→ +8 =lim + = -00 X-O- Potenzen mit ungeraden Exponenten sind immer Punktsymmetrisch! - 3x²+2x² → punktsym. (kombination v. ungeraden Potenzen) 15. Funktionsgraphen manipulieren strecken und stauchen: Veränderung bezüglich der y-Richtung: Veränderung bezüglich der x-Richtung: Verschiebung des Graphen: Auf der y-Achse: f(x) +b→Verschiebung von G um b nach oben f(x)-b-verschiebung von um b nach unten Auf der x-Achse: f(x+b)→verschiebung von G um b nach links f(x-b) verschiebung von G um b nach rechts Spiegeln: Spiegelt man Ge an der x-Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion -f(x) gehört. Spiegelt man G an der y-Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion f(-x) gehört. 16. Logarithmusregeln log(a - b) = log(a)+ log(b) log(a:b)= log(a)-log(b) log(a)=b log(a) 18. Integrationsregeln n+1 f(x)=x"F(x)=√²₁ ·x" f(x)=1-F(x)=x f (x) = ² ·x²¹²→→F(x)=x²¹=-4 f(x)= F(x)=Ln Ixl f(x)=e*→→→→→F(x)=e* Summenregel: f(x) = g(x)+h(x) · a.f(x), a>1→→→→→Streckung von Ge a-f(x), a<1 Stauchung von Ge f(a.x), a>1 Stauchung von Ge f(a.x), a>1 Streckung von Ge Ge Lineare Substitution: f(x)=g(m-x+c) F(x)=G(m.x+c) 17. Einführung Integration Funktion F ist eine Stammfunktion einer Fkt. f : F'(x)=f(x) Integrationskonstante: eine Fkt. hat nur eine Ableitungsfkt. aber unendlich viele Stammfkt., da der hintere Summand c beim ableiten verschwindet Beispiel: F(x)=x³ +C Zwischen zwei Schaubildern: A= S(f(x)-g(x)) dx 19. Flächeninhalt bestimmen Zwischen Schaubild und x-Achse: Fläche oberhalb der x-Achse: A- [[ (x) dx = [F(x] = T(b)-F(a) Fläche unterhalb der x-Achse: Unterschied: A = -f(x) dx Zusammengesetzte Fläche: Schritt 1: Nullstellen bestimmen Schritt 2: Flächeninhalte bestimmen 20. Mittelwert In Aufgaben oft Durchschnitt Kettenregel: f(x)=(x)"F(x)=(x)^^ ! f(x)= F(x)=Ln(x). f (x)-en F(x)=e". ¹ f(x)=sin(x)→F(x)=-COS (X). (x¹) • Sf (x) dx = F(x)=G(x) + H(X) Sg(x)+h(x) dx = g(x) dx + Jh (x) dx = Zusammengesetzte Fläche: Schritt 1: Schnittstellen bestimmen: f(x) = g(x) Schritt 2: Teilflächeninhalte bestimmen Schritt 3: Gesamtflächeninhalt bestimmen (addieren) Schritt 3: Gesamtflächeninhalt bestimmen (addieren) m-[f(x) dx Bemerkung: > bei Berechnung der mittleren/durchschnittlichen Steigung: a! ·ff'(x) dx Gg | Gf & ** -COS Gh -Sin sin. G₂ Y₂-Y₁ = : f(b)-f(a) X₂-X₁ (alternativ über Sekantensteigung: b-a > bei Berechnung der mittleren/durchschnittlichen Abweichung zw. y-Werten zweier Fkt.: f(x)-g(x) dx Cos Merkregel: rechte Grenze A= (Term) dx Linke Grenze Merkregel: rechle Gr. A= (oberer Term-unterer Term) dx linke Gr. 21. Uneigentliche Integrale Integral, das eigentlich nicht funktionieren sollte, es aber trotzdem geht Meist bei e Funktionen, da diese nicht die Achse schneiden, sich immer näher annähern Beispiel: f(x)=e*x 1. Unbekannte Grenze mit z bezeichnen, damit Flächeninhalt A(z) bestimmen A(z)= Sª{e^*)dx=[e¨´Ï*ª--eª-(-eº)=-eª-(-1)=-e²+1 2. A(z) untersuchen, wenn z gegen+ ∞ strebt (z→+∞) (z. B. z= 1000: A (1000) = -e- 10000 + 1 ≈ 0+1 = 1; „ Nebenrechnung") Z→+00: A(Z) =-e² +10+1=1 →→Flächeninhalt strebt gegen 1 cm² 22. Extremwertaufgaben Meist maximale Fläche unter einem Schaubild (Dreieck, Rechteck) Schritt 1: Skizze des Sachverhalts und relevante Punkte angeben (Punkt, der, irgendwo im Schaubild'liegt, besitzt Koordinaten (ulf(u)).) Schritt 2: Allgemeine Zielfunktion bestimmen: z.B. Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck: A=2·a·b Schritt 3: benötigte Strecken für allg. Zielfunktion in Skizze einzeichnen Schritt 4: Konkrete Zielfunktion bestimmen. Streckenlänge durch Koordinaten der Pkt aus 1 ausdrücken: beachten: waagr. Streckenlänge: Xecents - Xüinks senkr. Streckenlänge: Yoben-Yunken Funktionsterm aus Aufgabenstellung einsetzten Schritt 5: Schaubild der konkreten Zielfkt. auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt untersuchen Schritt 6: Randwertuntersuchung Grenzen des Definitionsbereiches für u in konkrete Zielfkt einsetzen. Erhaltene y-Werte mit dem y-Wert des HP bzw. TP vergleichen. Schritt 7: Antwortsatz 23. Volumen von Rotationskörpern Wenn ein Graph einer Funktion f im Intervall [a, b] um die x-Achse rotiert, entsteht ein Rotationskörper. V=TT. {"(f(x)² dx 0=0·a+0.b+ c 0=6.a+2·b 24. Steckbriefaufgaben Am Beispiel: Bestimme Term einer ganzrationalen Fkt 3. Grades, deren Graph G₁am Ursprung einen EP und einen WP in W(111) hat. Schritt 1: allgemeine Funktionsgleichung ihre Ableitungen aufschreiben f(x) = ax³ + bx²+ cx + d f'(x)=3ax²+2bx+ C f"(x) = 6ax+ 2b Schritt 2: Schreibe alle Infos in Formelschreibweise: G₂ geht durch Ursprung- > f(0) =0 G₂ hat EP am Ursprung. • f'(0) = 0 G hat WP in W (1/1) →f" (1) = 0 G geht durch W(1/1). → f(1) = 1 Schritt 3:setzte die Gleichungen in die allg. Funktionsgleichung ein: 0=0·a+0.b+0.c+d 1 ||| 1 || ||| IV 1= a+ b + c+d IV Schritt 4: löse das entstehende AGS: c-0; d-0; a--; b= ²3 Schritt 5: einsetzten. Gesuchte Funktionsgleichung: Gemeinsame Punkte/Schnittstellen: ex 25. Funktionenscharen Gruppe von Funktionen, die in Beziehung zueinander stehen. Beim Ableiten Parameter oft wie normale Zahl behandeln! Schritt 1: 2 beliebige Werte für + in f(x) einsetzen Schritt 2: Terme mit eingesetzten Werten gleichsetzten Gf Ortskurve: Schritt 1: Koordinaten des TP HP bestimmen Schritt 2: Bestimme die Gleichung der Ortskurve. x-und y-Werte aufschreiben. x-Gleichung nach + umstellen und diesen Wert für + in die y-Gleichung einsetzen. Und auflösen Schritt 3: Definitionsbereich der Ort rve bestimm mithilfe des Definitionsbereichs vont und der x-Gleichung Schritt 3: Gleichung nach x auflösen Schritt 4: x-Wert und Parameter + in Funktion f und y-Wert berechnen-Schnittpunkt Go