Binomialverteilungen

Die Binomialverteilung ist ein zentrales Konzept im Stochastik Abitur und bildet die Grundlage für viele Abitur Mathe lk Stochastik Aufgaben. Sie entsteht bei Bernoulli-Experimenten, die durch zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder kein Treffer) und die Unabhängigkeit der Versuchsdurchführungen gekennzeichnet sind.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment wird n-mal durchgeführt, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit p konstant bleibt. Dies wird als Bernoulli-Kette der Länge n bezeichnet.

Die Bernoulli-Formel wird eingeführt, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern zu berechnen:

Highlight: P(X = k) = (n k) · p^k · (1-p)^(n-k)

Dabei ist n die Anzahl der Versuchsdurchführungen, k die Trefferanzahl, p die Trefferwahrscheinlichkeit und X die Zufallsgröße für die Trefferanzahl.

Der Binomialkoeffizient (n k) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Objekte aus n Objekten auszuwählen. Er kann mit Hilfe des Pascal'schen Dreiecks oder der Formel (n k) = n! / (k! · (n-k)!) berechnet werden.

Example: Der Binomialkoeffizient (4 2) = 6 bedeutet, dass es 6 Möglichkeiten gibt, 2 Objekte aus 4 Objekten auszuwählen.

Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem Grafikrechner (GTR) werden verschiedene Funktionen vorgestellt, wie Bpd für einzelne Wahrscheinlichkeiten und Bcd für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

Die Kennwerte der Binomialverteilung werden erklärt:

• Erwartungswert: M = n · p
• Standardabweichung: σ = √(n · p · (1-p))

Histogramme werden als Säulendiagramme zur Darstellung von Binomialverteilungen eingeführt.

Vocabulary: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Histogramm ergibt immer 1.

Verschiedene Problemlösungsstrategien mit der Binomialverteilung werden vorgestellt, einschließlich der Verwendung des GTR für die Berechnung unbekannter Parameter wie p, k oder n.

Die kumulierte Binomialverteilung wird erklärt als die Wahrscheinlichkeit, eine Trefferanzahl innerhalb eines bestimmten Bereichs zu erzielen.

Example: P(a ≤ X ≤ b) = P(X=a) + P(X=a+1) + ... + P(X=b)

Abschließend wird der Einfluss der Parameter p und n auf die Form und Lage der Binomialverteilung diskutiert.