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Abiturvorbereitung Analysis

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 Nullstellan
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse
Dabei gilt: f(x)=y=0
allgemeine Vorgehensweise:-Funktionsglei

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- Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte... - Grenzwerte, Monotonie, Stetigkeit... - Funktionsscharen - Logarithmusfunktionen, e-Funktionen, trigonometrische Funktionen... - Integralrechnung - Extremwertaufgaben

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Nullstellan Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse Dabei gilt: f(x)=y=0 allgemeine Vorgehensweise:-Funktionsgleichung 0 setzen: f(x)=0 nach x umstellen - Nullstellen ganzrationaler Funktionen Eine Funktion n-ten Grades besitzt höchstens n Null Stellen. Der Grad liner Funktion wird durch den höchsten Exponenten angegeben. 1. Grades (lineare Funktionen) Gleichung nach x auflösen durch Termumformungen Z.B. Nullstellen von f(x)= x-5 f(x)=0 0=X-5 1+5 x=5 2. Grades (quadratische Funktionen) - Auflösen durch die p-q Formel oder Mitternachts for mel auflösen durch Ausklammern (nur bei Funktionen der Form f(x) = ax²+bx) Z.B. Nullstellen von f(x) = x² + 4x +2 Nullstellen von f(x) = 6x² +9x f(x)=0 10 = x² + 4x +2 Analysis X112 = 1 + - £* (£) ² - 4 = -4/2/2 + 1 (27) ² - - 2 = -2±12²-2¹ =-2±12 x₁ =-2+√2¹ q x₂ = -2-12² 5x² +11x - (5x2 +5x) f(x)=0 ·0 =6x² +9x ·1:6. 0 = x² + ²³/2 x 0 = x (x + ²/2 ) / 3. Grades -auflösen durch Polynomdivision in Funktion 2. Grades 2. B. Nullstellen von f(x)= x³ +6x² +11x +6 x₁₂₁=-1. 6x +6 - (6x+6) ·0 X₁=0 f(x)=0 0 =(x³ +6x² + 11x +6) : (x + 1) = x² +5x +6 -(x³ + x²) 0 = Ausgangsfunktion (3. Grades) x+2=0 1-2 4₂2=-²/2² 70x45x46 X 1/2 = - = - +1 (3) ² - 6 ² x₂ = -3 = -2,5±14 = -2,5±0,5 x3 = = -1 ( f(x)= (x = x₁) = x₁) = g(x) Vorzeichenwechsel! 1. Nullstelle x₁ neue Funktion (2. Grades) 4. Grades oder höher nur gerade Exponenten 2.B. f(x) = ax + bx²+C Substitution -x...

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wird ersetzt: x²=Z 40=az²+z+c - umstellen nach 2,12 und die Lösungen mit gleichsetzen und nach x auflösen 4 z. B. Nullstellen von f(x) = x² - 19x² + 48 f(x)=0 4 0 = x ² - 19x² + 48 x² =z ersetzen: 0= Z² - 197 +48 2012 = 12/- +/-12) ² - = 9,5 ± √42,25 Z₁ Z₂ Rücksubstitution: 2-x² 16 =x² X^12²³ = ± 116' Ха = 4 x₂ ==4 ·1+M → 4 Nullstellen =9,5±6,5 = 16 = 3 -48. 3=x² 1+1 X314 = ±13¹ 13¹ X3 = X4 gemischte Exponenten Z.B. f(x) = ax ³ + bx4 + cx³ +dx² +ex tf • mehrfache Polynomdivision - erste Nullstelle durch ausprobieren oder Taschenrechner mehrfache Polynomdivision 2.B. Nullstellen von f(x)= -0,25x+2,25x² + x-3 f(x)=0. 0= -0,25x+2,25x² + x-3 X₁=1 (-0,25x+2,25x²+x-3):(x-1)=-0,25x³-0,25x² + 2x +3 -(-0,25 x² +0,25x²³) -0,25x³+2,25x² -(-0,25x³ +0,25x²) 2x² + x - (2x² -2 x). 3x -3. -(3x-3) 0. neue Nullstelle Suchen: x₂ = -2 2 0=-0,25x²³-0,25x + 2x +3: (x+2) = − 0,25x² +0,25x +1,5 -(-0,25x²³-0,5x). 0,25x²+2x -(0,25x² +0,5x) 4,5x+3 -(15x+3) 0 Lösen der Gleichung: 0= -0,25x² +0,25x+1,5 1:-0,25 = x²-x-6 → 4 Nullstellen 0 X314 = 슬터(글)² +6 X314 = 0,5 ± 2,5 ×3 3 X4 = -2 Verschiebung parallel zur y-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur y-Achse verschoben, indem Zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder vom Funktionsterm eine Zahl subtrahiert wird. Bsp: verschiebung von Funktionsgraphen nach oben Bsp. VY V f(x) = x² f(x)=x²-1 Verschiebung parallel Zur x-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur x-Achse verschoben, indem Zu jeder x-variable eine Zahl addiert oder von jeder x-Variable eine Zahl subtrahiert wird. nach unten nach links f(x) = x² +1 nach rechts 平平 f(x) = x² f(x) = (x + 1)² X f(x) =(x-1)² Bei einer Funktion mit mehreren x-variablen, muss jedes einzelne x verändert werden Bsp: f(x)=x²³+4x²+x+5 soil um 2 Einheiten nach rechts verschoben werden → f(x) = (x-2) ³ + 4(x−2)² + (x+2)+5. = (x-2) ²³ +4(x-2)² + x +7 Differentialrechnung Eine Funktion f Sei auf dem Intervall I definiert. Die Ableitungsfunktion f'(x) der Funktion f ordnet jedem x den wert des Differential quotient an der Stelle x zu. Differenzenquotient von f im Intervall [a; 6] AX Der Differenzenquotient I die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigungm bzw. dem Anstieg der Sekante durch P(a) f(a)) und Q(blf(b)) Differential quotient/lokale Anderungsrate : m = lim X→→xo m=lim f(x)-f(x₂) х-хо x-xo → Der Differential quotient ist der Grenzwert des Differenzquotienten an der Stelle xo f(b)-f(a) mit a<b -a f'(x) → Ableitung der Funktion f an der Stelle xo n-1. Ableitungsregeln (Potenzregel: f(x) = x^ f'(x) = n. x (Konstantenregel: f(x) = K f'(x) = 0 Summenregel: f(x)=r(x) + S(x) f'(x) = r²(x) +S'(x) Faktorregel + f(x) = c· g(x) f'(x) = c. g'(x) f(b) X f(a). f(x)-f(x₂). ·xo 5-1 Bsp. f(x)=x5→→ f'(x) = 5₁ x ³-^= 5-x²4 f(x) = 3x² → f'(x) = 3.7 x ²7-1²-21x6 Bsp. f(x)=7 → f'(x) = 0 f(x) = 3x +4→→f¹(x) = 3·1x^²-^¹ +0 =3 Bsp. f(x) = 3x² + 7 x → f'(x) = 6 x +7 f(x) = ²x³+4x²+9x +3 5 → f'(x)=x+12ײ +9 4-1 Bsp. f(x) = 5.x">f'(x)=5.4 x² +(x) = 3x³ + 1⁄2 x ²¹+3 2-1 → f'(x) = 3·3x³-4 2.1 x ²³-₁ +0 + = 9x² + x = 20x³ Produktregel: f(x) = u(x).v(x) •Kettenregel: h(x) = f(g(x)) f'(x) = u²(x). V(x) + u(x).v²(x) h'(x) = f(g(x)) - g'(x) Ableiten der Grundfunktionen. Potenzregel: f(x) = x^ äußere innere Ableitung Ableitung wenn hat. Logarithmusfunktion: f(x) = \n(x) f'(x) = 1/1/² ex f'(x) = n. x^-^ Sinus und kosinus : f(x) = = Sin (x). f'(x) = cos (x) Exponential funktionen: f(x) = ex f'(x) = ex f(x) = cos(x) f'(x) = -Sin (x) u(x) verketet ist f(x) = e f'(x) = e u(x). Bsp. f(x)=(x-1) (x + 1) ü'(x) f'(x) = u(x).v(x) + V'(x). U (x) (X) + V²(x) = 1 ⋅ (x + 1) + 1. (· X-1). = x + 1 + x-1 = 2x Bsp. f(x) = integrieren (x+2)² äußere Ableitung: f'(x) = 2(x+2) innere Ableitung: g'(x) = ₁ → h'(x) = f'(x). g'(x) = 2(x+2).1 = 2x+4 Bsp. f(x) = x³ →→ f'(x) = 5₁ x ³-^= 5₁x²4 f(x) = 3x² → f'(x) = 3-7x² =^= 21x6 Bsp. f(x) = In (6x) → f(x)=x²-1 f'(x) = 2x f'(x) = 6·4²₂² = 4 . 6x Sin (x) cos(x) -Sin (x) - - Cos (x) Sin (x) : Bsp. ableiten f(x)= 2.sin(3x) f'(x)= 3·2-(os (3x) = 6·cos (3x) f(x)=3-e³x+2 f'(x) = 3. e³x+².3 = 9.e³x+2 -X f(x) = 2x.e f'(x)=2.ex+2x.ex. (-_^) -X = 2ex-2xe-* =(2-2x)-e-x f"(x) = -2·e¯x + (-1) ·e¯x (2-2x) = -2e+(2+2x) e¯x = 6-2-2 +2x) e¯* =(-4+2x).e-x

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wird ersetzt: x²=Z 40=az²+z+c - umstellen nach 2,12 und die Lösungen mit gleichsetzen und nach x auflösen 4 z. B. Nullstellen von f(x) = x² - 19x² + 48 f(x)=0 4 0 = x ² - 19x² + 48 x² =z ersetzen: 0= Z² - 197 +48 2012 = 12/- +/-12) ² - = 9,5 ± √42,25 Z₁ Z₂ Rücksubstitution: 2-x² 16 =x² X^12²³ = ± 116' Ха = 4 x₂ ==4 ·1+M → 4 Nullstellen =9,5±6,5 = 16 = 3 -48. 3=x² 1+1 X314 = ±13¹ 13¹ X3 = X4 gemischte Exponenten Z.B. f(x) = ax ³ + bx4 + cx³ +dx² +ex tf • mehrfache Polynomdivision - erste Nullstelle durch ausprobieren oder Taschenrechner mehrfache Polynomdivision 2.B. Nullstellen von f(x)= -0,25x+2,25x² + x-3 f(x)=0. 0= -0,25x+2,25x² + x-3 X₁=1 (-0,25x+2,25x²+x-3):(x-1)=-0,25x³-0,25x² + 2x +3 -(-0,25 x² +0,25x²³) -0,25x³+2,25x² -(-0,25x³ +0,25x²) 2x² + x - (2x² -2 x). 3x -3. -(3x-3) 0. neue Nullstelle Suchen: x₂ = -2 2 0=-0,25x²³-0,25x + 2x +3: (x+2) = − 0,25x² +0,25x +1,5 -(-0,25x²³-0,5x). 0,25x²+2x -(0,25x² +0,5x) 4,5x+3 -(15x+3) 0 Lösen der Gleichung: 0= -0,25x² +0,25x+1,5 1:-0,25 = x²-x-6 → 4 Nullstellen 0 X314 = 슬터(글)² +6 X314 = 0,5 ± 2,5 ×3 3 X4 = -2 Verschiebung parallel zur y-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur y-Achse verschoben, indem Zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder vom Funktionsterm eine Zahl subtrahiert wird. Bsp: verschiebung von Funktionsgraphen nach oben Bsp. VY V f(x) = x² f(x)=x²-1 Verschiebung parallel Zur x-Achse Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur x-Achse verschoben, indem Zu jeder x-variable eine Zahl addiert oder von jeder x-Variable eine Zahl subtrahiert wird. nach unten nach links f(x) = x² +1 nach rechts 平平 f(x) = x² f(x) = (x + 1)² X f(x) =(x-1)² Bei einer Funktion mit mehreren x-variablen, muss jedes einzelne x verändert werden Bsp: f(x)=x²³+4x²+x+5 soil um 2 Einheiten nach rechts verschoben werden → f(x) = (x-2) ³ + 4(x−2)² + (x+2)+5. = (x-2) ²³ +4(x-2)² + x +7 Differentialrechnung Eine Funktion f Sei auf dem Intervall I definiert. Die Ableitungsfunktion f'(x) der Funktion f ordnet jedem x den wert des Differential quotient an der Stelle x zu. Differenzenquotient von f im Intervall [a; 6] AX Der Differenzenquotient I die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigungm bzw. dem Anstieg der Sekante durch P(a) f(a)) und Q(blf(b)) Differential quotient/lokale Anderungsrate : m = lim X→→xo m=lim f(x)-f(x₂) х-хо x-xo → Der Differential quotient ist der Grenzwert des Differenzquotienten an der Stelle xo f(b)-f(a) mit a<b -a f'(x) → Ableitung der Funktion f an der Stelle xo n-1. Ableitungsregeln (Potenzregel: f(x) = x^ f'(x) = n. x (Konstantenregel: f(x) = K f'(x) = 0 Summenregel: f(x)=r(x) + S(x) f'(x) = r²(x) +S'(x) Faktorregel + f(x) = c· g(x) f'(x) = c. g'(x) f(b) X f(a). f(x)-f(x₂). ·xo 5-1 Bsp. f(x)=x5→→ f'(x) = 5₁ x ³-^= 5-x²4 f(x) = 3x² → f'(x) = 3.7 x ²7-1²-21x6 Bsp. f(x)=7 → f'(x) = 0 f(x) = 3x +4→→f¹(x) = 3·1x^²-^¹ +0 =3 Bsp. f(x) = 3x² + 7 x → f'(x) = 6 x +7 f(x) = ²x³+4x²+9x +3 5 → f'(x)=x+12ײ +9 4-1 Bsp. f(x) = 5.x">f'(x)=5.4 x² +(x) = 3x³ + 1⁄2 x ²¹+3 2-1 → f'(x) = 3·3x³-4 2.1 x ²³-₁ +0 + = 9x² + x = 20x³ Produktregel: f(x) = u(x).v(x) •Kettenregel: h(x) = f(g(x)) f'(x) = u²(x). V(x) + u(x).v²(x) h'(x) = f(g(x)) - g'(x) Ableiten der Grundfunktionen. Potenzregel: f(x) = x^ äußere innere Ableitung Ableitung wenn hat. Logarithmusfunktion: f(x) = \n(x) f'(x) = 1/1/² ex f'(x) = n. x^-^ Sinus und kosinus : f(x) = = Sin (x). f'(x) = cos (x) Exponential funktionen: f(x) = ex f'(x) = ex f(x) = cos(x) f'(x) = -Sin (x) u(x) verketet ist f(x) = e f'(x) = e u(x). Bsp. f(x)=(x-1) (x + 1) ü'(x) f'(x) = u(x).v(x) + V'(x). U (x) (X) + V²(x) = 1 ⋅ (x + 1) + 1. (· X-1). = x + 1 + x-1 = 2x Bsp. f(x) = integrieren (x+2)² äußere Ableitung: f'(x) = 2(x+2) innere Ableitung: g'(x) = ₁ → h'(x) = f'(x). g'(x) = 2(x+2).1 = 2x+4 Bsp. f(x) = x³ →→ f'(x) = 5₁ x ³-^= 5₁x²4 f(x) = 3x² → f'(x) = 3-7x² =^= 21x6 Bsp. f(x) = In (6x) → f(x)=x²-1 f'(x) = 2x f'(x) = 6·4²₂² = 4 . 6x Sin (x) cos(x) -Sin (x) - - Cos (x) Sin (x) : Bsp. ableiten f(x)= 2.sin(3x) f'(x)= 3·2-(os (3x) = 6·cos (3x) f(x)=3-e³x+2 f'(x) = 3. e³x+².3 = 9.e³x+2 -X f(x) = 2x.e f'(x)=2.ex+2x.ex. (-_^) -X = 2ex-2xe-* =(2-2x)-e-x f"(x) = -2·e¯x + (-1) ·e¯x (2-2x) = -2e+(2+2x) e¯x = 6-2-2 +2x) e¯* =(-4+2x).e-x