Extrem- und Wendepunkte

Alternativer Bildtext:

im Sommer" (15 Punkte) Aus drei Blechteilen soll eine Rutschbahn für das neue Schwimm- bad in Brilon entsprechend der Abbildung zusammengesetzt wer- den. Für das gebogene Stück (blau markiert), das ohne Knick an die ge- raden Teile anschließt, soll ein Konstruktionsplan erstellt werden. Antwortsatt c) Bestimmen Sie f (3) und erklären Sie die Bedeutung des Wertes im Sachzusammenhang. d) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welcher Uhrzeit der Andrang am Eingang am größten ist. Viel Go formuliere Vielen Dank 0 tha Bestimmen Sie die Gleichung einer Funktion 3. Grades, deren Graph passend geformt ist. Tipp: Wichtig ist, dass die Übergänge zu den geraden Teilen knickfrei sind! Überlegen Sie, was dies je- weils für die Steigung in den Punkten A und B bedeutet. Bitte stellen Sie Ihre Rechenwege und Lösungen strukturiert und verständlich dar! Ergebnisse ohne Rechnung, Zwi- schenschritte oder Kommentare können nicht bewertet werden. Benutzen Sie die im Unterricht verwendeten Schreib- weisen Endergebnisse sollen auf zwei Nachkommastellen gerundet werden! Während der Rechnung und vor der Angabe des gerundeten Endergebnisses sind die exakten Werte (wie z. B. Brüche, ...) zu nutzen und anzugeben. Teil 1: Hilfsmittelfreier Teil (Zeitvorgabe: maximal 25 Minuten) - 20 von 73 Punkten Aufgabe 1: Quadratische Gleichungen lösen (5 Punkte) 515 Berechnen Sie, an welchen Stellen der Graph der Funktion f mit f(x) = x³ - x² +5₁ die Steigung m = 3 hat. f'll) m = 3 3= x O=x²- 2y = 3 √(²) 72 Xx12 Ye 3₂² X ²₁² +5 x² -2x At य A + 2x 1-3 +√4 ५. (-1)-6 V 19 M3 an 3 14 XER den po-Formel 54 X₁5 4+2 Ansates fill= 3 m 1 + 2 XER Stellen X₂ X-3 ²y=mx+ stegung und x=-1 T 616 Aufgabe 2: Tangentengleichung (6 Punkte) Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = -x³ + 2x², x € R. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente t an dem Graphen von f im Punkt P(1/1). роли Ansatz: y&MK6 fon - + 2x² f'(x) = - 3x + 4x m = f'(1) ² - 3+1² y = X = l= +41 -3 + प 1 x b 1.1 +6 → Lineare Gleichung geg m = 1 №-1 YER P (AU) full x besser € (X) ges M Berechnung m = ² b = 2 (6=0 Berechnung von m 3=U) von b - Aufgabe 3: ,,Wanted" (9 Punkte) 8,5/9 Füllen Sie die Tabelle aus, indem Sie alle Bedingungen und, wenn möglich, Gleichungen notieren, die sich aus den Informationen ergeben. Informationen ? Tangente am Woodepunt Die Wendetangente im Punkt P(1|-2) hat die Steigung 4. 1 Wendepunkt Der Graph einer ganzrationalen Funktion enur gerade Exp. 4. Grades ist achsensymmetrisch, hat bei f(3) = 0 x = 3 einen Hochpunkt und schneidet die Gy-Wert unbekannt y-Achse bei 6. f(0) = 6 Eigenschaften: werde P(11-2) punkt 7²₁ x = 0 6 HP Bedingungen/ Gleichungen (wenn möglich) Y P(11-21 Steigung 4 PUI-21 1 m = 4 ful=-2✓ flor= 6: (1) -> f"(A) = 0 ✓ → keine Gleichungen mögli, da Grad full nicht bekannt ist f(x) = ax² + 5x² + ✓ f'un = 4ax³ + 2bx ✓ f" (x)= 12ax² +26 6-7 4✓ HPK = 3 - f(3) = 0 ✓ FoProte) P(016) f(31-08 4.a.3³ +2·b·3=0 + 66 = 0 27 270 (-0,50) a.04 + 6.0² + c = 6 <=6✓ - P(0)61 Punkte Teil 1: 19,5120 Du hast Strech net Aufgabe 4) f(x) f'um = f"( f"C f f" (-3) = -6 f f(0) = 12 = 27 f(-3) - 쮸 €6-31= 276,75 flo) = 0 Betrachtung Randwerte: 4x4 3 = 6,75 f" (-1) = Erempunkte notwendige Bedingung f'cp=0 0= x³ +68² +Qx✓ GTR liefert mit paly Roots x₁ = -3 x₂ = 3 ov hinreichende Bedingung: f(- und f(x)/0 (Berechnung der & werks Funktionswerte mit GTR) f"(-3) =_ = -6 з насприлка ( → Hochpunkt (/ → Tiefpunkt (Berechnung mit f"(-3)=-6✓ =6✓ + 3x². 6x V hiareichende Bedingung GTR) f Berechnung der y- koordinaten: + 2 x ²³ x 9 x ² 9X + 12x + 9 ✓. +12✓ 2 -6 12 ✓ V. X3 -630 GTR liefert mit Poly Roots. V. X ₂ = -1 + <O Wendepunkte. notwendige Bedingung. f" (²0 0 = 3x² + 12x=9✓ TH₁ (-3 (6₁75) (1) 1 H₂ (-3) 6₁75) (1) XER T(010) ( ken bestimmtes Intervall, daher nicht möglich * xf² (-0 und f" (Yw) / 0 13/16 (-3P) 9.10.2020 2,5 13 3.5/115 Nicht notis Berechnung der (3) = 27 = 6.75 (V) f(-1) = 1/² = 2,75 ✓ W₁ (-3/6.75) W₂ (-11 2₁75) ✓ Aufgabe 5) fen GTR A. 15 f(3) X - koordinaten: 3 . 2 ^ f(n) = -15 + 26 15 ~ 1,73 2 5X S GTR liefert f(5) RA 1,87 100 = 187 1,75 100 173✓ Um 23 UMr beträgt die Anzahl der Diskothek Behu Besucher 187 Personen, Diskothek von um wird dic 1 Unr 173 Personen besucht, Y f(0) = = ✓ f₁ (4) = = = = /² √ √ 3 notwendige Bedingung: 2 0 = Ansatz: Extrempunts gesucht 4 15 + no Saltelpunkt 15 2 f'(x) = - = x ² + = ²/² K f₁(K) = - =²/²³ x + 1 = /² ✓ S 2 fi (x) = 4 1,87 (GTR) 2 + / 310 mit poly Roots V. STR nutzen! Erst degevers nudbrand auf Untext autem! flw=0 x₂=42 hinseichende Beding ung f'(x) = 0 and ("Wolfo (Berechnung mit GTR) = 20 Tiefpunts ✓ → Hochpunkt 50 TW Berechnung de ang der 4- koordinaten: ~ 1 f(0) = 3 0,07 27(010) 45 f(u) ² ²²² =2₁2 ✓ H (410) f (-ase) nachste Besucherzahl: Haphpunkt f(4)=2₁2 2,2 100= 220 maximale Besuchelanzane ist. und beträgt 220 Besucher. Ai Die erreicht (c) A: a f'(x) == // 3 f(3) = X A: x 2016 V 0.6 100 60 ✓ (60 Besucher) Besuchern f'(3) ergibt 0.6, was 60 entspricht. kontext Stunden dass nach die Zahl steigt. Ansatz: for f'(x) = SV f" (₁ = = ² x Y file CXI ² 를 notwendige - ASK ² 3r 3X 2 → X 21 f" (kw) = -² 6" (2)=-= xw=2 Im 3 der Wendepunkt Der 2 hochsten. 2 + + + Bedingung! 4 L hinreichende Bedingung! Besucher प 2 5 4 SX Y Andrang ist Stunden 2 + L nach bedeute (um um 60 bestimmen A 15 f" (kw) = 0 1-14/1/20 (: (-3) ouhr f" (kw) - 0 und 23 Uhr) v Randwerte detracylen (-20) 2/2 → größte Steigung bzw größter Andrang um Offnung f (xulto 22 Uhr, 5,5/5,5 14/15 Gut Tell T. 465/5 Supe weiter so! E Aufgabe 6) Ansatz Eigenschaften Bedingungen bzw. Gleichungen: f(-3) = 0 - 27a - → Lösen a = fc₁) = ax² + bx² + cx +d² f'cx1 = 3ax² + 2bx = c F" Cx1 = Gax f"Cx1 6a (= d = 0 Gleichung It T (=) f(0) = 2 = 3·a·0² ← L=2 3·a· (-31² +2·b· (-3)+c=0 2+a cad einsetzen 2-27a - ab 3 - 6 din. Gis Note. => (einsetson 3 b²5) 2 2 P(-31-2) P (010)✓ Steigung (030 / 2₁ → € ¹ (0) = 24 Steigung (²(-3)=0₁ mit 14 ✓ fl-3)= -2 == a · (²-3) ³ + b⋅ (²-3)² + c = (-3) + d = = ² E -27a - 96* - 3c+d² = -2 f (-1P.) 96 3C +d. + GTR 135~ 26 fcx1 f(0) = 0 a. 0 = →>> +2·b·0 = + b⋅0² + c +d=0 d = 0 = -2 1-27a-9b-6=-2|(~) 2 ta 66 +2=0 -6 b f(-3)=-2 flor=0 66 173 19 Punkte (sehr gut) -2 (2) +2=04 0,10 (2) 0,13( + c = 2 -0,1x²-0₁ 13x² + 2x +O (2)