Extremstellen:
Notwendige Bedingung:
f'(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
- Vorzeichenwechselkriterium in der ersten Ableitung
- f"(x) = 0
- f"(x) < 0
- f"(x) > 0
Wendestellen:
Notwendige Bedingung:
f'(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
- Vorzeichenwechselkriterium in der zweiten Ableitung
- f'(x) = 0
- Alle Hoch- und Tiefpunkte haben die Eigenschaft, dass dort die Steigung null ist.
Sattelpunkte und Krümmungsverhalten
Da es Sattelpunkte gibt, in denen die Steigung ebenfalls null ist, benötigen wir ein weiteres Kriterium.
- In einem Tiefpunkt wechselt ein Graph sein Steigungsverhalten vom Fallen ins Steigen.
- In einem Hochpunkt wechselt ein Graph sein Steigungsverhalten vom Steigen ins Fallen.
- In einem Sattelpunkt wechselt ein Graph sein Steigungsverhalten nicht! Hier steigt der Graph vor und nach dem Sattelpunkt oder er fällt vor und nach dem Sattelpunkt.
Alle Tiefpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Linkskrümmung vorliegt. Alle Hochpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Rechtskrümmung vorliegt.
In einem Sattelpunkt, der ja ein Wendepunkt ist, wechselt der Graph sein Krümmungsverhalten. Dort muss die zweite Ableitung null sein. Wenn die zweite Ableitung null ist, dann ist der Graph entweder rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt.
Wendestellen als Extremstellen der ersten Ableitung
In einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung.
Nur an den Stellen, wo die Krümmung null ist, kann das Krümmungsverhalten geändert werden.
Wenn keine Wendestelle vorliegt, ist der Graph vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung rechtsgekrümmt oder vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung linksgekrümmt.
Definitionen und Beispiele
- Eine Nullstelle xo einer Funktion beschreibt einen x-Wert an dem der Funktionswert f(x) = 0 ist.
- Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach steigen sie, der Punkt, an dem sich das ändert, ist ein Extrempunkt. Sie werden auch als Hochpunkte und Tiefpunkte bezeichnet.
- Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
- Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen Spezialfall eines Wendepunktes.
Beispiel für Extremstellen und Wendepunkte
Gegeben folgende Funktion:
f(x)=x³x² - 2x (Verlauf)
Berechnung der Extremstellen:
- Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
- Hinreichende Bedingung:
- f''(-1) = -3 < 0 ⇒ Rechtskrümmung - Hochpunkt (RK HP)
- f''(2) = 3 > 0 ⇒ Linkskrümmung - Tiefpunkt (LK TP)
Berechnung der Wendestellen:
- Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
- Hinreichende Bedingung:
- f''''(1) = 2 > 0 ⇒ Linkskrümmung - Tiefpunkt ⇒ Wendepunkt (LK TP WP)
Weitere Bedingungen, Symmetrie und Tangentengleichung
Eine Funktion mit verschiedenem Grad hat unterschiedliche Bedingungen.
Beispiel für Symmetrie und Tangentengleichungen:
- Eine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c
- Eine Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
- Eine Funktion 4. Grades: f(x) = ax + bx³ + cx² + dx + e
Einige Zusatzinformationen über den Funktionsverlauf:
- Der Graph der Funktion geht durch den Punkt P(2/7)
- Die Funktion schneidet die y-Achse bei 5
- Die Funktion schneidet die x-Achse bei 3
- Der Graph geht durch den Ursprung
- Er hat an der Stelle x = 4 einen Extrempunkt
- An der Stelle x = 1 hat die Funktion einen Wendepunkt
- Der Graph hat im Punkt S(2/4) einen Sattelpunkt
In der Kurvendiskussion und -analyse spielen diese Bedingungen eine wichtige Rolle, um den Verlauf und die Charakteristiken von Funktionen zu verstehen und zu analysieren.
