Mathe /

Kurvendiskussion + Kurvenschar

Kurvendiskussion + Kurvenschar

X

Xenia

16 Followers
 

Mathe

 

11/12/13

Lernzettel

Kurvendiskussion + Kurvenschar

 Mathe 12.1
Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen:
Extremstellen:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
1. Vorzei

Kommentare (1)

Teilen

Speichern

23

- Bedingungen & Erläuterungen für Extrem- & Wendestellen + Beispielaufgabe (mit Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Tangentengleichung) -Beispiele für Bedingungen einer Funktion - Beispielaufgaben zu Funktionsscharen

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mathe 12.1 Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen: Extremstellen: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 Hinreichende Bedingung: 1. Vorzeichenwechselkriterium in der ersten Ableitung: 2. f"(x) = 0 ƒ"(x) < 0 f"(x) > 0 Wendestelle: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 Hinreichende Bedingung: 1. Vorzeichenwechselkriterium in der zweiten Ableitung: 2. f'(x) = 0 Alle Hoch- und Tiefpunkte besitzen die Eigenschaft, dass dort die Steigung null ist. Da es Sattelpunkte gibt, in denen die Steigung ebenfalls null ist, benötigen wir ein weiteres Kriterium. In einem Tiefpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten vom Fallen ins Steigen. In einem Hochpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten vom Steigen ins Fallen. In einem Sattelpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten nicht! Hier steigt der Graph vor und nach dem Sattelpunkt oder er fällt vor und nach dem Sattelpunkt. Alle Tiefpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Linkskrümmung vorliegt. Alle Hochpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Rechtskrümmung vorliegt. In einem Sattelpunkt, der ja ein Wendepunkt ist, wechselt der Graph sein Krümmungsverhalten. Dort muss die zweite Ableitung null sein. Der Graph ist dann rechtsgekrümmt. Der Graph ist dann linksgekrümmt. In einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung. Eine Wendestelle ist eine Extremstelle der ersten Ableitung. Sie ist somit die Stelle, am dem der Graph (lokal) am stärksten steigt oder fällt. Nur an den Stellen, wo die Krümmung null ist, kann das Krümmungsverhalten geändert werden. In...

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Alternativer Bildtext:

einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Wenn keine Wendestelle vorliegt, ist der Graph vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung rechtsgekrümmt oder vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung linksgekrümmt. Wenn man Wendepunkte als Extremstellen der ersten Ableitung betrachtet, führt man die gleiche Untersuchung wie bei Extremstellen durch, nur eine Ableitung höher, weil die Ausgangsfunktion bei dieser Untersuchung ja bereits die erste Ableitung ist. Was ist eine Nullstelle? Eine Nullstelle x einer Funktion beschreibt einen x-Wert an dem der Funktionswert f(x) = 0 ist. Es handelt sich also um eine Stelle, an welcher der Graph die x-Achse schneidet, denn an dieser ist der Funktionswert f(x) = y = 0. Was ist eine Extremstelle? Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach steigen sie, der Punkt, an dem sich das ändert, ist ein Extrempunkt. Sie werden auch als Hochpunkte und Tiefpunkte bezeichnet. Was ist ein Wendepunkt? Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Was ist ein Sattelpunkt? Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Sattelpunkt um einen Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente. Der Sattelpunkt ist also ein Spezialfall eines Wendepunktes. f(x) = x³ = x² - 2x (Verlauf) ƒ'(x) = x² - - x - 2 (Steigung) f'(x) = 2x − 1 (Krümmung) f""(x) = 2 Extremstellen Notwendige Bedingung: ƒ'(x) = 0 x²-x-2=0 ⇒ x₁ = −1, x₂ = 2 Hinreichende Bedingung: ƒ''(x) ‡ 0 f"(-1) = −3 <0 → RK ⇒ HP f"(2)=3> 0 →LK ⇒TP Verhalten im Unendlichen lim = x³ = +∞0 x →∞0 3 1 lim ¹x³ =18 x →→∞ 3 7 Einsetzen: = 0 −1+b⇒b 6 - Wendestellen Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2x − 1 = 0 ⇒ x = 2 Tangentengleichung: t(x) = x + 6 Hinreichende Bedingung: ƒ'''(x) = 0 ƒ''' (²-) = 2 > 0 → LK → TP⇒WP Tangentengleichung: an der Stelle x = -1 7 Bestimmung der y-koordinate: ƒ(−1) = (-1)³ − (−1)² – 2(−1) = Bestimmung der Steigung m: ƒ' (−1) = (−1)² − (−1) − 2 = 0 Symmetrie f(-x) = (-x)³ - (-x)² — 2(-x) 1 ²⁄3x³ − ²⁄² x² + 2x ± − f (x) ‡ ƒ (x) Es liegt keine Symmetrie vor. Bedingungen Eine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c Eine Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d Eine Funktion 4. Grades: f(x) = ax¹ + bx³ + cx² + dx + e Der Graph der Funktion ... geht durch den Punkt P(2/7) schneidet die y-Achse bei 5 ... schneidet die x-Achse bei 3 ... geht durch den Ursprung hat an der Stelle x = 4 einen Extrempunkt ... hat einen Extrempunkt auf der y-Achse ... hat im Punkt T(1/3) einen Tiefpunkt (Hochpunkt) ... berührt die x-Achse an der Stelle x = 2 . hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt hat einen Wendepunkt auf der y-Achse hat im Punkt S(2/4) einen Sattelpunkt hat an der Stelle x = m = 8 hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte Tangente ... hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung m = 4 ... hat eine Tangente in T(−3 / 0), welche parallel zur Geraden mit der Gleichung y: = 6x ist. . hat im Punkt P(1/4) eine Tangente, die parallel zur x- Achse verläuft und besitzt in W (0/2) einen Wendepunkt. 3 eine Tangente mit der Steigung . hat im Punkt P(1 / 4) eine Tangente, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft und im Punkt P(2/0) eine Tangente, die parallel x-Achse ist. . hat im Ursprung einen Wendepunkt und die x-Achse als Wendetangente hat die Nullstellen X₁ ist punktsymmetrisch ist achsensymmetrisch Eventuelle Symmetrie Punktsymmetrie, Grad 3: f(x) = ax³ + cx Achsensymmetrie, Grad 4: f(x) = ax¹ + cx² + e = 2 und X2 = 3 Bedingung(en) f(2)= 7 f(0) = 5 f(3) = 0 f(0) = 0 f'(4) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 3 | ƒ'(1) = 0 ƒ(2) = 0 f'(2) = 0 ƒ"(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(2) = 4 f'(2) = 0 |ƒ"(2) = 0 f'(3) = 8 |f'(4) = 0 ƒ' (2) = 4 f" (2) = 0 f(-3) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 1 f(0) = 0 ƒ'(0) = 0 ƒ"(0) = 0 f'(2) = 0 ƒ'(−3) = 6 f(0) = 2 f(2)= 0 f'(2) = 0 f'(3) = 0 |ƒ(−x) = −ƒ(x) ⇒ ƒ(−1) = -1 ƒ(−x) = f(x) ⇒ ƒ(−1) = 1 Funktionsschar Weisen Sie nach, dass alle Funktionen der Schar zwei gemeinsame Punkte haben. x3 3 Gegebene Funktionsschar: f(x) = -=x² + x t t Mit gleichsetzen: x3 2²222²2 x3 | | MIN + 3 X=- X 2 3 (-²/+²). ( − ³² + ²³ ) · x t t = + x = + mix ! 9 t t 3, N = -4t+9 = 0 2 -4t + 9 = 0 -4t = -9 ft(x) = 0 → t(x) t a ( ²1 − ²) · x ²³ = 0 a x² ((− ²³² + ²³ ) + ( ² − ²) · x) = 0 3 x = 0, (²-²) ·x = −(−²+²) ( + + ² + t x3 Mit TR: f(3) = ³²-³.3²+3=27_2 +: + 3 = 3 xalwa kw == = = 3 t 3 .2 -=x² + x a N Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter t bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) x3 t 2 3 t x² + x mit t = 0, x ER 3 t + x = 0 ⇒ x = 0, x = -4t+9 2 x3 O || t(x) = m x + b . -4·2+9=1 → ER -4·3+9 = = √√√-3 → R 4 28 -3x+2²992 27 ƒk(x) = x³ − x² − x + 1 - - f(x) = 3x² – 2x – 1 f'(x) = 6x - 2 t Für t < 2,25 hat die Schar 3 Nullstellen. t - Sei k = 1, bestimme die Gleichung der Wendetangente. Gegebene Funktionsschar: f(x) = (x² − 1) · (x − 1) → 1.2 1-9 |: (-4) 2 ƒú (²-) = 3 (²) ²³ – ² (²) − 1 → m = - |−x |−¤2² |+³x² a P(3|3) 413 X = 3 16 → 6x − 2 = 0, x = ½ → fƒk (²3) → ƒx (²) = (²) ³ − ( ² ) ² − ² + 1 = 1/→ w/ 27 -4t+9 2 16 4 12/27= − 1. + b¬b 1 3 3 28 b= = 2/9/2 27 Ortslinien der Extrem- und Wendestellen bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) = 2x4. ·x² + t t² (√10) und W₂ Extrempunkte: E₁ (012) und E2 Wendepunkte: W₁ W₁ (√ ·| 3t ¹²³/[^2 = x < (²-¹³ ^ ) ₁ 3t 8 9t² und y t Einsetzen in y-Koordinate: y 8 3t 8 9t² = und E3 8 9(-13³3x = (-√2/10) - ⇒ t = (26-12-2 8√3 27 8 W₂(-√--x--√undy ---- 8 t = 9t2 9t2 t Einsetzen in y-Koordinate: y 2 = √√3 -x² X 8√3 27 ²x² 1 → keine Ortskurven vorhanden X Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) = −2x³ die Ortskurve aller Extrempunkte ist. Gegebene Funktionsschar: f(x) = x³ - 3a².x fa(x) = 3x² − 3a² → 3x² − 3a² = 0 → x = ±a fa' (x) = 6x → fő' (a) = 6a und fa' (-a) = −6a Für a ‡ 0 existieren Extrempunkte: E₁ (a| — 2a³) und E₂(−a|2a³) x = a in die y-Koordinate einsetzen: y = -2x³ x = −a ↔ a = -x in die y-Koordinate einsetzen: y = −2x³ Das bedeutet, dass alle Extremstellen auf der angegebenen Ortskurve liegen.

Mathe /

Kurvendiskussion + Kurvenschar

Kurvendiskussion + Kurvenschar

X

Xenia

16 Followers
 

Mathe

 

11/12/13

Lernzettel

Kurvendiskussion + Kurvenschar

Dieser Inhalt ist nur in der Knowunity App verfügbar.

 Mathe 12.1
Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen:
Extremstellen:
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
Hinreichende Bedingung:
1. Vorzei

App öffnen

Teilen

Speichern

23

Kommentare (1)

H

Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

- Bedingungen & Erläuterungen für Extrem- & Wendestellen + Beispielaufgabe (mit Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Tangentengleichung) -Beispiele für Bedingungen einer Funktion - Beispielaufgaben zu Funktionsscharen

Ähnliche Knows

11

Kurvenanpassung (ganzrationale Funktionen)

Know Kurvenanpassung (ganzrationale Funktionen) thumbnail

30

 

13

Wendestellen berechnen

Know Wendestellen berechnen  thumbnail

56

 

11/12/13

35

Lernzettel Mathe Abi‘22

Know Lernzettel Mathe Abi‘22  thumbnail

977

 

11/12/13

Mathe Abitur Zusammenfassung 2022

Know Mathe Abitur Zusammenfassung 2022 thumbnail

105

 

11/12

Mehr

Mathe 12.1 Bedingungen für Extremstellen und Wendestellen: Extremstellen: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 Hinreichende Bedingung: 1. Vorzeichenwechselkriterium in der ersten Ableitung: 2. f"(x) = 0 ƒ"(x) < 0 f"(x) > 0 Wendestelle: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 Hinreichende Bedingung: 1. Vorzeichenwechselkriterium in der zweiten Ableitung: 2. f'(x) = 0 Alle Hoch- und Tiefpunkte besitzen die Eigenschaft, dass dort die Steigung null ist. Da es Sattelpunkte gibt, in denen die Steigung ebenfalls null ist, benötigen wir ein weiteres Kriterium. In einem Tiefpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten vom Fallen ins Steigen. In einem Hochpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten vom Steigen ins Fallen. In einem Sattelpunkt wechselt ein Graph sein Steigungs- verhalten nicht! Hier steigt der Graph vor und nach dem Sattelpunkt oder er fällt vor und nach dem Sattelpunkt. Alle Tiefpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Linkskrümmung vorliegt. Alle Hochpunkte haben die Eigenschaft, dass dort eine Rechtskrümmung vorliegt. In einem Sattelpunkt, der ja ein Wendepunkt ist, wechselt der Graph sein Krümmungsverhalten. Dort muss die zweite Ableitung null sein. Der Graph ist dann rechtsgekrümmt. Der Graph ist dann linksgekrümmt. In einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung. Eine Wendestelle ist eine Extremstelle der ersten Ableitung. Sie ist somit die Stelle, am dem der Graph (lokal) am stärksten steigt oder fällt. Nur an den Stellen, wo die Krümmung null ist, kann das Krümmungsverhalten geändert werden. In...

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Mit uns zu mehr Spaß am Lernen

Hilfe bei den Hausaufgaben

Mit dem Fragen-Feature hast du die Möglichkeit, jederzeit Fragen zu stellen und Antworten von anderen Schüler:innen zu erhalten.

Gemeinsam lernen

Mit Knowunity erhältest du Lerninhalte von anderen Schüler:innen auf eine moderne und gewohnte Art und Weise, um bestmöglich zu lernen. Schüler:innen teilen ihr Wissen, tauschen sich aus und helfen sich gegenseitig.

Sicher und geprüft

Ob Zusammenfassungen, Übungen oder Lernzettel - Knowunity kuratiert alle Inhalte und schafft eine sichere Lernumgebung zu der Ihr Kind jederzeit Zugang hat.

App herunterladen

Knowunity

Schule. Endlich Einfach.

App öffnen

Alternativer Bildtext:

einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Wenn keine Wendestelle vorliegt, ist der Graph vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung rechtsgekrümmt oder vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung linksgekrümmt. Wenn man Wendepunkte als Extremstellen der ersten Ableitung betrachtet, führt man die gleiche Untersuchung wie bei Extremstellen durch, nur eine Ableitung höher, weil die Ausgangsfunktion bei dieser Untersuchung ja bereits die erste Ableitung ist. Was ist eine Nullstelle? Eine Nullstelle x einer Funktion beschreibt einen x-Wert an dem der Funktionswert f(x) = 0 ist. Es handelt sich also um eine Stelle, an welcher der Graph die x-Achse schneidet, denn an dieser ist der Funktionswert f(x) = y = 0. Was ist eine Extremstelle? Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach steigen sie, der Punkt, an dem sich das ändert, ist ein Extrempunkt. Sie werden auch als Hochpunkte und Tiefpunkte bezeichnet. Was ist ein Wendepunkt? Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Was ist ein Sattelpunkt? Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Sattelpunkt um einen Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente. Der Sattelpunkt ist also ein Spezialfall eines Wendepunktes. f(x) = x³ = x² - 2x (Verlauf) ƒ'(x) = x² - - x - 2 (Steigung) f'(x) = 2x − 1 (Krümmung) f""(x) = 2 Extremstellen Notwendige Bedingung: ƒ'(x) = 0 x²-x-2=0 ⇒ x₁ = −1, x₂ = 2 Hinreichende Bedingung: ƒ''(x) ‡ 0 f"(-1) = −3 <0 → RK ⇒ HP f"(2)=3> 0 →LK ⇒TP Verhalten im Unendlichen lim = x³ = +∞0 x →∞0 3 1 lim ¹x³ =18 x →→∞ 3 7 Einsetzen: = 0 −1+b⇒b 6 - Wendestellen Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2x − 1 = 0 ⇒ x = 2 Tangentengleichung: t(x) = x + 6 Hinreichende Bedingung: ƒ'''(x) = 0 ƒ''' (²-) = 2 > 0 → LK → TP⇒WP Tangentengleichung: an der Stelle x = -1 7 Bestimmung der y-koordinate: ƒ(−1) = (-1)³ − (−1)² – 2(−1) = Bestimmung der Steigung m: ƒ' (−1) = (−1)² − (−1) − 2 = 0 Symmetrie f(-x) = (-x)³ - (-x)² — 2(-x) 1 ²⁄3x³ − ²⁄² x² + 2x ± − f (x) ‡ ƒ (x) Es liegt keine Symmetrie vor. Bedingungen Eine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c Eine Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d Eine Funktion 4. Grades: f(x) = ax¹ + bx³ + cx² + dx + e Der Graph der Funktion ... geht durch den Punkt P(2/7) schneidet die y-Achse bei 5 ... schneidet die x-Achse bei 3 ... geht durch den Ursprung hat an der Stelle x = 4 einen Extrempunkt ... hat einen Extrempunkt auf der y-Achse ... hat im Punkt T(1/3) einen Tiefpunkt (Hochpunkt) ... berührt die x-Achse an der Stelle x = 2 . hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt hat einen Wendepunkt auf der y-Achse hat im Punkt S(2/4) einen Sattelpunkt hat an der Stelle x = m = 8 hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte Tangente ... hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung m = 4 ... hat eine Tangente in T(−3 / 0), welche parallel zur Geraden mit der Gleichung y: = 6x ist. . hat im Punkt P(1/4) eine Tangente, die parallel zur x- Achse verläuft und besitzt in W (0/2) einen Wendepunkt. 3 eine Tangente mit der Steigung . hat im Punkt P(1 / 4) eine Tangente, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft und im Punkt P(2/0) eine Tangente, die parallel x-Achse ist. . hat im Ursprung einen Wendepunkt und die x-Achse als Wendetangente hat die Nullstellen X₁ ist punktsymmetrisch ist achsensymmetrisch Eventuelle Symmetrie Punktsymmetrie, Grad 3: f(x) = ax³ + cx Achsensymmetrie, Grad 4: f(x) = ax¹ + cx² + e = 2 und X2 = 3 Bedingung(en) f(2)= 7 f(0) = 5 f(3) = 0 f(0) = 0 f'(4) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 3 | ƒ'(1) = 0 ƒ(2) = 0 f'(2) = 0 ƒ"(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(2) = 4 f'(2) = 0 |ƒ"(2) = 0 f'(3) = 8 |f'(4) = 0 ƒ' (2) = 4 f" (2) = 0 f(-3) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 1 f(0) = 0 ƒ'(0) = 0 ƒ"(0) = 0 f'(2) = 0 ƒ'(−3) = 6 f(0) = 2 f(2)= 0 f'(2) = 0 f'(3) = 0 |ƒ(−x) = −ƒ(x) ⇒ ƒ(−1) = -1 ƒ(−x) = f(x) ⇒ ƒ(−1) = 1 Funktionsschar Weisen Sie nach, dass alle Funktionen der Schar zwei gemeinsame Punkte haben. x3 3 Gegebene Funktionsschar: f(x) = -=x² + x t t Mit gleichsetzen: x3 2²222²2 x3 | | MIN + 3 X=- X 2 3 (-²/+²). ( − ³² + ²³ ) · x t t = + x = + mix ! 9 t t 3, N = -4t+9 = 0 2 -4t + 9 = 0 -4t = -9 ft(x) = 0 → t(x) t a ( ²1 − ²) · x ²³ = 0 a x² ((− ²³² + ²³ ) + ( ² − ²) · x) = 0 3 x = 0, (²-²) ·x = −(−²+²) ( + + ² + t x3 Mit TR: f(3) = ³²-³.3²+3=27_2 +: + 3 = 3 xalwa kw == = = 3 t 3 .2 -=x² + x a N Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter t bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) x3 t 2 3 t x² + x mit t = 0, x ER 3 t + x = 0 ⇒ x = 0, x = -4t+9 2 x3 O || t(x) = m x + b . -4·2+9=1 → ER -4·3+9 = = √√√-3 → R 4 28 -3x+2²992 27 ƒk(x) = x³ − x² − x + 1 - - f(x) = 3x² – 2x – 1 f'(x) = 6x - 2 t Für t < 2,25 hat die Schar 3 Nullstellen. t - Sei k = 1, bestimme die Gleichung der Wendetangente. Gegebene Funktionsschar: f(x) = (x² − 1) · (x − 1) → 1.2 1-9 |: (-4) 2 ƒú (²-) = 3 (²) ²³ – ² (²) − 1 → m = - |−x |−¤2² |+³x² a P(3|3) 413 X = 3 16 → 6x − 2 = 0, x = ½ → fƒk (²3) → ƒx (²) = (²) ³ − ( ² ) ² − ² + 1 = 1/→ w/ 27 -4t+9 2 16 4 12/27= − 1. + b¬b 1 3 3 28 b= = 2/9/2 27 Ortslinien der Extrem- und Wendestellen bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) = 2x4. ·x² + t t² (√10) und W₂ Extrempunkte: E₁ (012) und E2 Wendepunkte: W₁ W₁ (√ ·| 3t ¹²³/[^2 = x < (²-¹³ ^ ) ₁ 3t 8 9t² und y t Einsetzen in y-Koordinate: y 8 3t 8 9t² = und E3 8 9(-13³3x = (-√2/10) - ⇒ t = (26-12-2 8√3 27 8 W₂(-√--x--√undy ---- 8 t = 9t2 9t2 t Einsetzen in y-Koordinate: y 2 = √√3 -x² X 8√3 27 ²x² 1 → keine Ortskurven vorhanden X Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) = −2x³ die Ortskurve aller Extrempunkte ist. Gegebene Funktionsschar: f(x) = x³ - 3a².x fa(x) = 3x² − 3a² → 3x² − 3a² = 0 → x = ±a fa' (x) = 6x → fő' (a) = 6a und fa' (-a) = −6a Für a ‡ 0 existieren Extrempunkte: E₁ (a| — 2a³) und E₂(−a|2a³) x = a in die y-Koordinate einsetzen: y = -2x³ x = −a ↔ a = -x in die y-Koordinate einsetzen: y = −2x³ Das bedeutet, dass alle Extremstellen auf der angegebenen Ortskurve liegen.