Kurvendiskussion + Kurvenschar

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einer Wendestelle ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Entweder wechselt er von einer Links- in eine Rechtkrümmung oder von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung. Wenn keine Wendestelle vorliegt, ist der Graph vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung rechtsgekrümmt oder vor und nach der Nullstelle der zweiten Ableitung linksgekrümmt. Wenn man Wendepunkte als Extremstellen der ersten Ableitung betrachtet, führt man die gleiche Untersuchung wie bei Extremstellen durch, nur eine Ableitung höher, weil die Ausgangsfunktion bei dieser Untersuchung ja bereits die erste Ableitung ist. Was ist eine Nullstelle? Eine Nullstelle x einer Funktion beschreibt einen x-Wert an dem der Funktionswert f(x) = 0 ist. Es handelt sich also um eine Stelle, an welcher der Graph die x-Achse schneidet, denn an dieser ist der Funktionswert f(x) = y = 0. Was ist eine Extremstelle? Extremstellen sind Punkte einer Funktion, an denen die Steigung vorübergehend 0 ist, also fallen sie davor zum Beispiel und danach steigen sie, der Punkt, an dem sich das ändert, ist ein Extrempunkt. Sie werden auch als Hochpunkte und Tiefpunkte bezeichnet. Was ist ein Wendepunkt? Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Was ist ein Sattelpunkt? Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Sattelpunkt um einen Wendepunkt mit waagrechter (Wende-)Tangente. Der Sattelpunkt ist also ein Spezialfall eines Wendepunktes. f(x) = x³ = x² - 2x (Verlauf) ƒ'(x) = x² - - x - 2 (Steigung) f'(x) = 2x − 1 (Krümmung) f""(x) = 2 Extremstellen Notwendige Bedingung: ƒ'(x) = 0 x²-x-2=0 ⇒ x₁ = −1, x₂ = 2 Hinreichende Bedingung: ƒ''(x) ‡ 0 f"(-1) = −3 <0 → RK ⇒ HP f"(2)=3> 0 →LK ⇒TP Verhalten im Unendlichen lim = x³ = +∞0 x →∞0 3 1 lim ¹x³ =18 x →→∞ 3 7 Einsetzen: = 0 −1+b⇒b 6 - Wendestellen Notwendige Bedingung: f'(x) = 0 2x − 1 = 0 ⇒ x = 2 Tangentengleichung: t(x) = x + 6 Hinreichende Bedingung: ƒ'''(x) = 0 ƒ''' (²-) = 2 > 0 → LK → TP⇒WP Tangentengleichung: an der Stelle x = -1 7 Bestimmung der y-koordinate: ƒ(−1) = (-1)³ − (−1)² – 2(−1) = Bestimmung der Steigung m: ƒ' (−1) = (−1)² − (−1) − 2 = 0 Symmetrie f(-x) = (-x)³ - (-x)² — 2(-x) 1 ²⁄3x³ − ²⁄² x² + 2x ± − f (x) ‡ ƒ (x) Es liegt keine Symmetrie vor. Bedingungen Eine Funktion 2. Grades: f(x) = ax² + bx + c Eine Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d Eine Funktion 4. Grades: f(x) = ax¹ + bx³ + cx² + dx + e Der Graph der Funktion ... geht durch den Punkt P(2/7) schneidet die y-Achse bei 5 ... schneidet die x-Achse bei 3 ... geht durch den Ursprung hat an der Stelle x = 4 einen Extrempunkt ... hat einen Extrempunkt auf der y-Achse ... hat im Punkt T(1/3) einen Tiefpunkt (Hochpunkt) ... berührt die x-Achse an der Stelle x = 2 . hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt hat einen Wendepunkt auf der y-Achse hat im Punkt S(2/4) einen Sattelpunkt hat an der Stelle x = m = 8 hat an der Stelle x = 4 eine waagerechte Tangente ... hat bei x = 2 eine Wendestelle, ihre Wendetangente hat die Steigung m = 4 ... hat eine Tangente in T(−3 / 0), welche parallel zur Geraden mit der Gleichung y: = 6x ist. . hat im Punkt P(1/4) eine Tangente, die parallel zur x- Achse verläuft und besitzt in W (0/2) einen Wendepunkt. 3 eine Tangente mit der Steigung . hat im Punkt P(1 / 4) eine Tangente, die parallel zur 1. Winkelhalbierenden verläuft und im Punkt P(2/0) eine Tangente, die parallel x-Achse ist. . hat im Ursprung einen Wendepunkt und die x-Achse als Wendetangente hat die Nullstellen X₁ ist punktsymmetrisch ist achsensymmetrisch Eventuelle Symmetrie Punktsymmetrie, Grad 3: f(x) = ax³ + cx Achsensymmetrie, Grad 4: f(x) = ax¹ + cx² + e = 2 und X2 = 3 Bedingung(en) f(2)= 7 f(0) = 5 f(3) = 0 f(0) = 0 f'(4) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 3 | ƒ'(1) = 0 ƒ(2) = 0 f'(2) = 0 ƒ"(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(2) = 4 f'(2) = 0 |ƒ"(2) = 0 f'(3) = 8 |f'(4) = 0 ƒ' (2) = 4 f" (2) = 0 f(-3) = 0 f'(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 0 f"(0) = 0 ƒ(1) = 4 ƒ'(1) = 1 f(0) = 0 ƒ'(0) = 0 ƒ"(0) = 0 f'(2) = 0 ƒ'(−3) = 6 f(0) = 2 f(2)= 0 f'(2) = 0 f'(3) = 0 |ƒ(−x) = −ƒ(x) ⇒ ƒ(−1) = -1 ƒ(−x) = f(x) ⇒ ƒ(−1) = 1 Funktionsschar Weisen Sie nach, dass alle Funktionen der Schar zwei gemeinsame Punkte haben. x3 3 Gegebene Funktionsschar: f(x) = -=x² + x t t Mit gleichsetzen: x3 2²222²2 x3 | | MIN + 3 X=- X 2 3 (-²/+²). ( − ³² + ²³ ) · x t t = + x = + mix ! 9 t t 3, N = -4t+9 = 0 2 -4t + 9 = 0 -4t = -9 ft(x) = 0 → t(x) t a ( ²1 − ²) · x ²³ = 0 a x² ((− ²³² + ²³ ) + ( ² − ²) · x) = 0 3 x = 0, (²-²) ·x = −(−²+²) ( + + ² + t x3 Mit TR: f(3) = ³²-³.3²+3=27_2 +: + 3 = 3 xalwa kw == = = 3 t 3 .2 -=x² + x a N Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter t bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) x3 t 2 3 t x² + x mit t = 0, x ER 3 t + x = 0 ⇒ x = 0, x = -4t+9 2 x3 O || t(x) = m x + b . -4·2+9=1 → ER -4·3+9 = = √√√-3 → R 4 28 -3x+2²992 27 ƒk(x) = x³ − x² − x + 1 - - f(x) = 3x² – 2x – 1 f'(x) = 6x - 2 t Für t < 2,25 hat die Schar 3 Nullstellen. t - Sei k = 1, bestimme die Gleichung der Wendetangente. Gegebene Funktionsschar: f(x) = (x² − 1) · (x − 1) → 1.2 1-9 |: (-4) 2 ƒú (²-) = 3 (²) ²³ – ² (²) − 1 → m = - |−x |−¤2² |+³x² a P(3|3) 413 X = 3 16 → 6x − 2 = 0, x = ½ → fƒk (²3) → ƒx (²) = (²) ³ − ( ² ) ² − ² + 1 = 1/→ w/ 27 -4t+9 2 16 4 12/27= − 1. + b¬b 1 3 3 28 b= = 2/9/2 27 Ortslinien der Extrem- und Wendestellen bestimmen. Gegebene Funktionsschar: f(x) = 2x4. ·x² + t t² (√10) und W₂ Extrempunkte: E₁ (012) und E2 Wendepunkte: W₁ W₁ (√ ·| 3t ¹²³/[^2 = x < (²-¹³ ^ ) ₁ 3t 8 9t² und y t Einsetzen in y-Koordinate: y 8 3t 8 9t² = und E3 8 9(-13³3x = (-√2/10) - ⇒ t = (26-12-2 8√3 27 8 W₂(-√--x--√undy ---- 8 t = 9t2 9t2 t Einsetzen in y-Koordinate: y 2 = √√3 -x² X 8√3 27 ²x² 1 → keine Ortskurven vorhanden X Zeigen Sie, dass die Funktion g(x) = −2x³ die Ortskurve aller Extrempunkte ist. Gegebene Funktionsschar: f(x) = x³ - 3a².x fa(x) = 3x² − 3a² → 3x² − 3a² = 0 → x = ±a fa' (x) = 6x → fő' (a) = 6a und fa' (-a) = −6a Für a ‡ 0 existieren Extrempunkte: E₁ (a| — 2a³) und E₂(−a|2a³) x = a in die y-Koordinate einsetzen: y = -2x³ x = −a ↔ a = -x in die y-Koordinate einsetzen: y = −2x³ Das bedeutet, dass alle Extremstellen auf der angegebenen Ortskurve liegen.