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Ableitungsregeln

Ableitungsregeln einfach erklärt

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2. Feb. 2021

•

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Graphisches Ableiten Übungen und Ableitung zeichnen: Deine Anleitung

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Celina K.

@celina.kcz

The document covers mathematical concepts related to derivatives and differentiation... Mehr anzeigen

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 2: Differentiation Rules and Examples

This page covers fundamental differentiation rules and provides examples for each.

The sum rule and factor rule are introduced:

  • Sum Rule: f(xf(x + gxx)' = f'xx + g'xx
  • Factor Rule: a⋅f(xa · f(x)' = a · f'xx

Definition: The sum rule states that the derivative of a sum is the sum of the derivatives.

Example: fxx = x³ + x, f'xx = 3x² + 1

Highlight: The factor rule allows for the differentiation of functions multiplied by constants.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 3: Practice Problems for Product and Chain Rules

This page presents a series of practice problems focusing on the product rule and chain rule for differentiation.

Students are asked to find the first derivative of various functions using these rules:

a) fxx = 2x22x² · 3x43x⁴ b) fxx = x2−1x² - 12x2+52x² + 5 c) fxx = 5+6x5 + 6x · x2+xx² + x d) fxx = x1+x21 + x² e) fxx = 2x+12x + 1³ f) fxx = 1−2x1 - 2x⁴ g) fxx = 4x−34x - 3⁵ h) fxx = 43x3−x23x³ - x²²

Example: For problem a), the solution is f'xx = 4x3x43x⁴ + 12x³2x22x² = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Highlight: These problems help reinforce the application of Ableitungsregeln differentiationrulesdifferentiation rules for more complex functions.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 4: Basic Differentiation Rules

This page provides a comprehensive overview of basic differentiation rules, including the constant function rule, power rule, sum rule, and factor rule.

Key rules covered:

  1. Constant Function Rule: cc' = 0
  2. Power Rule: xnx^n' = n · x^n−1n-1
  3. Sum Rule: f(xf(x + gxx)' = f'xx + g'xx
  4. Factor Rule: a⋅f(xa · f(x)' = a · f'xx

Definition: The power rule states that for any natural number n, the derivative of x^n is n · x^n−1n-1.

Example: fxx = x², f'xx = 2x

Highlight: These rules form the foundation for Ableitungsregeln differentiationrulesdifferentiation rules and are essential for solving more complex problems.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 5: Advanced Differentiation Rules

This page introduces more advanced differentiation rules, including the product rule, chain rule, and their combinations.

Key concepts covered:

  1. Product Rule: u⋅vu · v' = u' · v + u · v'
  2. Chain Rule: f(g(xf(g(x))' = f'g(xg(x) · g'xx
  3. Combination of Chain and Product Rules

Example: For kxx = 2x+12x + 1⁴⁰, k'xx = 402x+12x + 1³⁹ · 2 = 802x+12x + 1³⁹

Highlight: These advanced rules allow for the differentiation of more complex functions, including compositions and products of functions.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 6: Higher-Order Derivatives and Complex Examples

This page focuses on higher-order derivatives and provides complex examples combining various differentiation rules.

A detailed example is given for the function: kxx = x²4−3x4 - 3x³

The solution process involves:

  1. Applying the product rule
  2. Using the chain rule for the 4−3x4 - 3x³ term
  3. Simplifying the resulting expression

Example: k'xx = 2x · 4−3x4 - 3x³ + x² · −9-9 · 4−3x4 - 3x²

Highlight: This page demonstrates the application of höhere Ableitungen higher−orderderivativeshigher-order derivatives and the combination of multiple differentiation rules.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 7: Graphical Differentiation Technique

This page provides a detailed explanation of the graphical differentiation technique, illustrating how to construct the graph of a derivative function from the original function's graph.

Key steps in the process:

  1. Identify points on the original function graph
  2. Determine the slope at these points using tangential slope triangles
  3. Plot these slopes on a new coordinate system
  4. Connect the plotted points to approximate the derivative function's graph

Highlight: Graphical differentiation provides a visual understanding of the relationship between a function and its derivative.

Example: The page includes two coordinate systems: one showing the original function fxx, and another below it for plotting f'xx.

Vocabulary: Tangential slope triangles tangentialeSteigungsdreiecketangentiale Steigungsdreiecke are used to approximate the slope at specific points on the graph.

This technique reinforces concepts such as increasing and decreasing functions, relative extrema, and inflection points, making it an valuable tool for understanding graphisches Ableiten graphicaldifferentiationgraphical differentiation.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Graphisches Differenzieren – Ableitungsfunktion

Die letzte Seite kehrt zum Konzept des graphischen Differenzierens zurück. Es wird erklärt, wie man aus dem Graphen einer Funktion f den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f' konstruieren kann. Dies geschieht durch das Eintragen von Tangentensteigungen an verschiedenen Punkten des Graphen von f.

Vocabulary: Tangentiale Steigungsdreiecke - Dreiecke, die zur Bestimmung der Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen verwendet werden.

Highlight: Das graphische Differenzieren ermöglicht ein intuitives Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 8: Product Rule Introduction

Introduces the product rule with detailed explanation and examples.

Definition: For fxx = uxx·vxx, f'xx = u'xx·vxx + uxx·v'xx

Example: fxx = 3+x3+xx+1x+1 → f'xx = 4 + 2x

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

Page 1: Introduction to Graphical Differentiation

This page introduces the concept of graphisches Ableiten graphicaldifferentiationgraphical differentiation and outlines the key steps involved in the process.

The main steps for graphical differentiation are:

  1. Identify extrema and saddle points, then draw tangent lines
  2. Draw tangent lines at inflection points
  3. Construct slope triangles
  4. Connect points to form the derivative graph
  5. Verify results

Definition: Graphical differentiation is a method of determining the derivative function by analyzing the graph of the original function.

Highlight: The process focuses on key points such as extrema, inflection points, and areas of positive or negative slope.

Example: The page includes a graph showing the original function fxx and its derivative f'xx, illustrating how the slope of fxx corresponds to the y-values of f'xx.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

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4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Ableitungsregeln einfach erklärt

 

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The document covers mathematical concepts related to derivatives and differentiation rules. Here's the structured summary:

Core Concepts of Derivatives and Differentiation

  • Comprehensive guide covering graphisches Ableiten übungen and differentiation rules
  • Details methods for graphical and analytical derivative calculations
  • Includes key... Mehr anzeigen

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 2: Differentiation Rules and Examples

This page covers fundamental differentiation rules and provides examples for each.

The sum rule and factor rule are introduced:

  • Sum Rule: f(xf(x + gxx)' = f'xx + g'xx
  • Factor Rule: a⋅f(xa · f(x)' = a · f'xx

Definition: The sum rule states that the derivative of a sum is the sum of the derivatives.

Example: fxx = x³ + x, f'xx = 3x² + 1

Highlight: The factor rule allows for the differentiation of functions multiplied by constants.

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Page 3: Practice Problems for Product and Chain Rules

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Students are asked to find the first derivative of various functions using these rules:

a) fxx = 2x22x² · 3x43x⁴ b) fxx = x2−1x² - 12x2+52x² + 5 c) fxx = 5+6x5 + 6x · x2+xx² + x d) fxx = x1+x21 + x² e) fxx = 2x+12x + 1³ f) fxx = 1−2x1 - 2x⁴ g) fxx = 4x−34x - 3⁵ h) fxx = 43x3−x23x³ - x²²

Example: For problem a), the solution is f'xx = 4x3x43x⁴ + 12x³2x22x² = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Highlight: These problems help reinforce the application of Ableitungsregeln differentiationrulesdifferentiation rules for more complex functions.

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Page 4: Basic Differentiation Rules

This page provides a comprehensive overview of basic differentiation rules, including the constant function rule, power rule, sum rule, and factor rule.

Key rules covered:

  1. Constant Function Rule: cc' = 0
  2. Power Rule: xnx^n' = n · x^n−1n-1
  3. Sum Rule: f(xf(x + gxx)' = f'xx + g'xx
  4. Factor Rule: a⋅f(xa · f(x)' = a · f'xx

Definition: The power rule states that for any natural number n, the derivative of x^n is n · x^n−1n-1.

Example: fxx = x², f'xx = 2x

Highlight: These rules form the foundation for Ableitungsregeln differentiationrulesdifferentiation rules and are essential for solving more complex problems.

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Page 5: Advanced Differentiation Rules

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Key concepts covered:

  1. Product Rule: u⋅vu · v' = u' · v + u · v'
  2. Chain Rule: f(g(xf(g(x))' = f'g(xg(x) · g'xx
  3. Combination of Chain and Product Rules

Example: For kxx = 2x+12x + 1⁴⁰, k'xx = 402x+12x + 1³⁹ · 2 = 802x+12x + 1³⁹

Highlight: These advanced rules allow for the differentiation of more complex functions, including compositions and products of functions.

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A detailed example is given for the function: kxx = x²4−3x4 - 3x³

The solution process involves:

  1. Applying the product rule
  2. Using the chain rule for the 4−3x4 - 3x³ term
  3. Simplifying the resulting expression

Example: k'xx = 2x · 4−3x4 - 3x³ + x² · −9-9 · 4−3x4 - 3x²

Highlight: This page demonstrates the application of höhere Ableitungen higher−orderderivativeshigher-order derivatives and the combination of multiple differentiation rules.

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Page 7: Graphical Differentiation Technique

This page provides a detailed explanation of the graphical differentiation technique, illustrating how to construct the graph of a derivative function from the original function's graph.

Key steps in the process:

  1. Identify points on the original function graph
  2. Determine the slope at these points using tangential slope triangles
  3. Plot these slopes on a new coordinate system
  4. Connect the plotted points to approximate the derivative function's graph

Highlight: Graphical differentiation provides a visual understanding of the relationship between a function and its derivative.

Example: The page includes two coordinate systems: one showing the original function fxx, and another below it for plotting f'xx.

Vocabulary: Tangential slope triangles tangentialeSteigungsdreiecketangentiale Steigungsdreiecke are used to approximate the slope at specific points on the graph.

This technique reinforces concepts such as increasing and decreasing functions, relative extrema, and inflection points, making it an valuable tool for understanding graphisches Ableiten graphicaldifferentiationgraphical differentiation.

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Graphisches Differenzieren – Ableitungsfunktion

Die letzte Seite kehrt zum Konzept des graphischen Differenzierens zurück. Es wird erklärt, wie man aus dem Graphen einer Funktion f den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f' konstruieren kann. Dies geschieht durch das Eintragen von Tangentensteigungen an verschiedenen Punkten des Graphen von f.

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Page 8: Product Rule Introduction

Introduces the product rule with detailed explanation and examples.

Definition: For fxx = uxx·vxx, f'xx = u'xx·vxx + uxx·v'xx

Example: fxx = 3+x3+xx+1x+1 → f'xx = 4 + 2x

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Page 1: Introduction to Graphical Differentiation

This page introduces the concept of graphisches Ableiten graphicaldifferentiationgraphical differentiation and outlines the key steps involved in the process.

The main steps for graphical differentiation are:

  1. Identify extrema and saddle points, then draw tangent lines
  2. Draw tangent lines at inflection points
  3. Construct slope triangles
  4. Connect points to form the derivative graph
  5. Verify results

Definition: Graphical differentiation is a method of determining the derivative function by analyzing the graph of the original function.

Highlight: The process focuses on key points such as extrema, inflection points, and areas of positive or negative slope.

Example: The page includes a graph showing the original function fxx and its derivative f'xx, illustrating how the slope of fxx corresponds to the y-values of f'xx.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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