Ableiten

Alternativer Bildtext:

x³ g(x) = 2x+1 f(x)=x" g(x)= 1-2x f(x) = x² g(x) = 4x-3 f(x) = 4x² g(x) = 3x³x² u' = 4x v'= 12x²³ u' = 2x v'= Ux v' = 2x + 1 u'=1 v' = 2x f'(x)= 3x² g'(x)=2 f'(x)=-4x³ g'(x) = -2 f'(x) = 5x" g'(x) = 4 f'(x) = 8x g'(x)= 9x² - 2x f'(x) = 4x (3x) + 12x²³(2x²) = 12x5 24x² = Datum: = f'(x) = 2x (2x + 5) + 4x (x² - 1) 4x²³² + 10x + 4x²³ - ux 8x²³ + 6x 36x² C'(x) = 6·(x²-x)(2x + 1) (5+6x) = 6x² + 6x + 10x + 12x² +5+bx = 18x²-22x+5 = f'(x) = x (1+x² ) + 2x ( x ) 1+x² + 2x² = f'(x)= 3. (2x+11². 2 6.(2x+1)² f'(x) = -4(1-2x)²³³. (-2) = 8-(1-2x1³ f'(x) = 5 (4x-314.4 = 20 (4x-3)" f'(x)= 8. (3x³ - x²). (9x²-2x) Regeln: Konstante Funktion: Für jede 2.B : ((x) = 1 Rechnerisch ableiten f(x)=-4 Polenzfunktion: Für jede natürliche Zahl n gilt ₁ (x") = n-x"-² 2.B. f(x)= x f'(x)=1 f(x)=x² f'(x) = 2x reelle konstante C gilt: C = O f'(x) = 0 f'(x) = 0 konstantenregel: Sind die Funktion f und g auf dem Intervall differenzierbar, so ist auch ihre Summen formel f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x) + g(x)' = ('(x) + g'(x) 2.B.: f(x)= x²+ f'(x) = 2x f(x)=x³+x_f(x) = 3x + 1 Faktorregel: sei eine differenzierbare Funktion und a eine beliebige konstante dann gilt: (a. f(x)) = a. Ç'(x) 2.B.: f(x)= 3x f(x)=x² Anderes Produktregel: Die Funktion (sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt (u.v)'=u² • v •u• v² 2.B C(x)= (3+x). (x+1) u(x) (3+x) f'(x)=1. (x+1)+(3+x). 1 = x + 1 f'(x)=3 (²₁x) = 0,5 = 4 2x + 3+x f(x)=√x (x²²) k'(x) = 40 (2x+1)³92 = 80 (2x+1)39 Kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)=x²-(4-3x) Kettenregel: fund 9 seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar gilt: [fig(x))] = f'ig = f'(g(x))+ g(x) 2.B k(x)= (2x +11 f(x)= x40 f'(x) = 40x39 g(x) = (2x+1) g'(x) = 2 f'(x)=√x (x^2-¹) k'(x) = 2x (4-3x)² + x² (-9)-(4-3x)² =2x-(4-3x)²³-9x².(4-3x)² V= (4-3x)³ V(x)= (x+1) u= 2x v' ? f(x) = = (x²) u'(x) = 1 f'(x)= v'(x)=1 Nebenrechnung V= (4-3x)²³ v's 3-(4-3x)²-(-3) =(-9)-(4-3x)² f(x)=x²³ g(x) =(4-3x) f'(x)=3 g'(x) = -3 Höhere Ableitungsregel kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)= x² (4-3x)³ k'(x)=2x-(4-3x)³ + x² (-9). (4-3x)² = 2x · (4-3x)³.qx².(4-3x)² = u= x² v=(4-3x)³ übungsaufgabe: k(x) = 2x²³. (x-214 k(x)= 6x²(x - 2)² + 2x³. 4 (x-21³ ( = 6x² · (x-2)ª + 8׳· (x-21³ ) darf man das? Nebenrechnung V= (4-3x) v's 3. (4-3x)². (-3) =(-9).(4-3x)² u = 2x³ v= (x-2)^ Nebenrechnung V= (x-2)^ v'= 4(x-21³.1 = 4(x-21²³ = u' = 2x v' = ? u'= 6x² v' = ? f(x)= x g(x)=4-3x 4 f(x)= x g(x)=x-2 f'(x)= 3x g'(x) = -3 f'(x) = 4x²³ g'(x) = 1 Ableitung einer Funktion ... Grafisches Differenzieren – Ableitungsfunktion In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f gegeben. Im Koordinatensystem darunter wurde die Steigung des Graphen für zwei Punkte eingetragen. Tragen Sie in das untere Koordinatensystem mithilfe von tangentialen Steigungsdreiecken näherungsweise die Tangentensteigungen für weitere Punkte des Graphen ein. Verbindet man die Punkte im unteren Koordinatensystem miteinander, erhält man so ungefähr den Verlauf eines Graphen der Funktion x→ f'(x). Dieser Graph ist der Graph der Ableitungsfunktion von f. ya 2 y 34 B 5 steigt streng monoton. fällt streng monoton. hat eine waagerechte Tangente (relatives Maximum, relatives Minimum oder Sattelpunkt). Die Steigung des Graphen ist in diesem Punkt demnach O. hat einen Wendepunkt. 9 10 Elemente der Mathematik - Unterrichtsmaterialien Analysis Ableitung - Ableitungsfunktion ... ... 11 10 11 e der EdM E 12 13 14 ACH Graph der Ableitungsfunktion f 12 Nennen Sie Zusammenhänge zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und dem Graphen der Ableitungsfunktion f'(x). Die Funktion f... Die Ableitungs funktion f... Graph von f 13 15x 14 15x ist dort positiv (f'(x) > 0) ist dort negativ (f'(x) < 0) besitzt eine Nullstelle ... hat dort einen relativen Extrempunkt (Hochpunkt/Tiefpunkt) © 2012 Schroedel, Braunschweig Seite 12 ma-1 Graphisches Ableiten Wird jeder Stelle xo die dort vorliegende Steigung f'(xo) zugeordnet, so erhält man eine neue Funktion f', die sogenannte Ableitungsfunktion von f. Mit Hilfe eines tangentialen Steigungsdreiecks lassen sich angenähert Steigungen in jedem Punkt (xlf(x)) bestimmen. Anschließend kann die neue Funktion f' gezeichnet werden. ----2 K Steigung direkt ablesen X=-1 Steigung m=-2 y-Werte Steigungswerte P'(-1|-2) X Datum: Allgemein gilt: Die Funktion f steigt streng monoton → f' ist dort positiv Die Funktion f fällt streng monoton → f' ist dort negativ , f'(x) > 0 f'(x) < 0 Beim graphischen Ableiten sind zwei Arten von Punkten von Bedeutung: 1. Punkte mit waagerechter Tangente → An der Stelle, an der der Graph von f eine waagerechte Tangente hat, besitzt der Graph von f' eine Nullstelle Extrempunkt (Hochpunkt bei einem Links-Rechts-Wendepunkt, Tiefpunkt bei einem Rechts-Links-Wendepunkt.) Relatives Maximum Sattelpunkt 2. Punkte mit (relativ) maximal steiler Steigung der Tangente (Wendepunkte) → An der Stelle, an der der Graph von f einen Wendepunkt hat, ist die Steigung von f relativ Extremal Der Graph von f' besitzt an dieser Stelle einen relativen . f(x) Relatives Minimum X R-L-WP f(x) L-R-WP X ma-1 f(x) = 4 f'(x) = Die Konstantenregel Konstante Funktionen f'(x) Funktionen und Änderungsraten GK Mathe-Analysis f(x) = -2 Für jede reelle konstante C gilt: (C') = O Die Ableitungsregeln f(x) f'(x) 1 Die Potenzregel = x Potenzfunktionen (x" ) = = n.x Datum: f(x) = x² f'(x) = 2x Für jede natürliche Zahl n¤ IN gilt: h-1 ma-1 Höhere Ableitungsregeln Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. f(x) = u(x) · v(x) Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt die Formel: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) vereinfacht: (u.v)' = u ₁.v. + U. Die Produktregel Beispiel: f(x) = (3+x). (x + 1) u.v' f'(x) = 1· (x + 1) + (3+x). 1 = x + 1 + 3+x = 4 + 2x Die Ableitung von k lautet: Ableitung der Verkettung k Beispiel: k(x) = (2x + 1) 40 Die Kettenregel f und g seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar: u(x) =(3+x) v(x) = (x + 1) vereinfacht: [f(g(x))]=²(g(x11. g(x) " k'(x) = 40 (2x +11³9.2 =80 (2x+1)39 k(x) = f(g(x)) k'(x) = f'(g(x)) · g'(x) Ableitung der äußeren Funktion f an der Stelle g(x) Datum: чо u'(x) = 1 v'(x) = 1 Ableitung der inneren Funktion f an der Stelle x f(x) = x g(x) = (2x + 1) f'(x) = 40x³9 g'(x) = 2