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... 000 ... Ableitung einer Funktion ... Grafisches Differenzieren - Ableitungsfunktion In der Abbildung ist der Graph einer Funktion f gegeben. Im Koordinatensystem darunter wurde die Steigung des Graphen für zwei Punkte eingetragen. Tragen Sie in das untere Koordinatensystem mithilfe von tangentialen Steigungsdreiecken näherungsweise die Tangentensteigungen für weitere Punkte des Graphen ein. Verbindet man die Punkte im unteren Koordinatensystem miteinander, erhält man so ungefähr den Verlauf eines Graphen der Funktion x →→ f'(x). Dieser Graph ist der Graph der Ableitungsfunktion von f. ya 24 ya 34 B 5 5 steigt streng monoton. fällt streng monoton. hat eine waagerechte Tangente (relatives Maximum, relatives Minimum oder Sattelpunkt). Die Steigung des Graphen ist in diesem Punkt demnach O. hat einen Wendepunkt. 9 Elemente der Mathematik - Unterrichtsmaterialien Analysis 9 ... ... 10 Blaments der Mathemati EdM Ableitung - Ableitungsfunktion 10 Nennen Sie Zusammenhänge zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und dem Graphen der Ableitungsfunktion f'(x). Die Funktion f... Die Ableitungs funktion f... 11 11 E Graph von f 12 13 14 15% Graph der Ableitungsfunktion f 2 13 14 15x ist dort positiv (f'(x) > 0) ist dort negativ (f'(x) < 0) besitzt eine Nullstelle hat dort einen relativen Extrempunkt (Hochpunkt/Tiefpunkt) © 2012 Schroedel, Braunschweig Seite 12 Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv fix>0 -negativ fx<0 Extrema f'(x)=0 u -3 -2 -1 y 4 3 2 I 4 Graphisches ableiten 0 -1- -7 -6-5 1,5 -3 Schaubild von f 1 -2- 1,$ 3 3 os 234 f(x) X f'(x) Anleitung 1. Extrempunkt u. Sattelpunkt bestimmen Tangente dazu zeichnen 2. Tangente an die Wendepunkte 3. Steigungsdreieck 4. Punkte verbinden Ableiten ↳ kontrolieren 1. Extrempunkt u. Sattelpunkt bestimmen 2. Tangente an die Wendepunkte 3. Steigungsdreieck 4. Punkte verbinden -3 -2 -1 y 4 3- 2- 1 -1- Schaubild von f 1 : 2 * 3 X ma-1 Graphisches Ableiten Wird jeder Stelle xo die...

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dort vorliegende Steigung f'(xo) zugeordnet, so erhält man eine neue Funktion f', die sogenannte Ableitungsfunktion von f. Mit Hilfe eines tangentialen Steigungsdreiecks lassen sich angenähert Steigungen in jedem Punkt (xlf(x)) bestimmen. Anschließend kann die neue Funktion f' gezeichnet werden. m= ----2 K Steigung direkt ablesen X=-1 Steigung m=-2 y-Werte Steigungswerte P'(-1|-2) X Datum: 12 Allgemein gilt: Die Funktion f steigt streng monoton → f' ist dort positiv Die Funktion f fällt streng monoton → f' ist dort negativ (Hochpunkt bei einem Links-Rechts-Wendepunkt, Tiefpunkt bei einem Rechts-Links-Wendepunkt.) f'(x) > 0 , f'(x) < 0 Beim graphischen Ableiten sind zwei Arten von Punkten von Bedeutung: 1. Punkte mit waagerechter Tangente → An der Stelle, an der der Graph von f eine waagerechte Tangente hat, besitzt der Graph von f' eine Nullstelle Relatives Maximum Sattelpunkt + f(x) 2. Punkte mit (relativ) maximal steiler Steigung der Tangente (Wendepunkte) → An der Stelle, an der der Graph von f einen Wendepunkt hat, ist die Steigung von f relativ Extremal Der Graph von f' besitzt an dieser Stelle einen_relativen Extrempunkt Relatives Minimum T f(x) R-L-WP L-R-WP ma-1 Höhere Ableitungsregeln vereinfacht:_(u.v)' = u'. v. Beispiel: Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. f(x) = u(x) · v(x) Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt die Formel: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) f(x) =(3+x) · (x + 1) Die Produktregel f'(x) = 1. (x + 1) + (3+x). I = 3+x = 4 + 2x Die Ableitung von k lautet: Ableitung der Verkettung k + u.v' 40 Beispiel: k(x) = (2x + 1)4 Die Kettenregel f und g seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar: u(x) = (3 + x) v(x) = (x + 1) vereinfacht: [f(g(x))] = f'(g(x))+ g(x) " k'(x) = 40 (2x +11³9.2 =80 (2x+1)39 k(x) = f(g(x)) k'(x) = f'(g(x)) · g'(x) Ableitung der äußeren Funktion f an der Stelle g(x) Datum: чо =X u'(x) = 1 v'(x) = 1 Ableitung der inneren Funktion f an der Stelle x f(x) g(x) = (2x + 1) f'(x) = 40x³⁹ ૩૧ g'(x) = 2 Regeln: Konstante Funktion: Für jede reelle konstante C gilt: C = O 2.B : f(x) = 1 f'(x) = 0 f'(x) = 0 Rechnerisch ableiten f(x)=-4 Potenzfunktion: Für jede natürliche Zahl n gilt: (x^) = n-x^-' 2. B.: fix)= x f'(x) = 1 f(x) = x² f'(x) = 2x konstantenregel: Sind die Funktion f und g auf dem Intervall differenzierbar, so ist auch ihre Summen formel f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x)) + g(x)' = f'(x) + g'(x) 2.B.: f(x)= x²+1 f'(x) = 2x f(x)=x²³+x_f'(x)= 3x + 1 Faktorregel: sei eine differenzierbare Funktion und a eine beliebige konstante dann gilt: (a. f(x))' = a. f'(x) 2.B.: f(x)= 3x f'(x)=3 f(x)=x² Produktregel: Die Funktion (sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt: (u.v)' = U² • v •u• v² 2.B f(x)= (3+x). (x+1) (u(x) = (3+x) Anderes f'(x) = 1. (x+1)+ (3 + x)· 1 (²₁x) = 0,5 u f(x)=√x (x²²) 2x 39 k'(x) = 40 (2x + 1) 39 = 80 (2x+1) keHenregel: fund 9 seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar gilt: [f(g(x))] = f'(g(x))+ g(x) ¹ 40 39 2.B k(x)= (2x+1) f'(x) = 40x² g'(x) = 2 40 (2)= √द्र (2) Kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)=x²-(4-3x)³ k'(x) = 2x - (4-3x)² + x² (-9)-(4-3×1² = 2x-(4-3x)²³-9x².(4-3x)² 3+x .2 v= (4-3x)² V(x)= (x+1) f(x)= x g(x) = (2x+1) u = 2x ? f(x) = \_(x*') f'(x) = u'(x) = 1 (-x-²) v'(x) = 1 Nebenrechnung V= (4-3x³ v's 3-(4-3x)²-(-3) =(-9)-(4-3x)² f(x)= x³ g(x) =(4-3x) f'(x) = 3 g'(x) = -3 ma-1 = f(x) = 4 ƒ'(x) O Die Konstantenregel Konstante Funktionen f(x) f'(x) = 0 Funktionen und Änderungsraten GK Mathe - Analysis = -2 Für jede reelle konstante C gilt: (C') = O Die Ableitungsregeln f(x) = x f'(x) = 1 Die Potenzregel Potenzfunktionen (x" ) = = n.x Datum: f(x) = x² f'(x) = 2x Für jede natürliche Zahln € IN gilt: n-l Höhere Ableitungsregel kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)= x²³².(4-3x)²³ k'(x)= 2x · (4-3x)1³ + x² (-9) · (4-3x)² = 2x (4-3x)³.qx².(4-3x)²2 übungsaufgabe: k(x) = 2x³. (x - 2)² k(x)= 6x² · (x - 2)² + 2x³. 4 (x-21³ ( = 6x² · (x-2)² + 8x³³. (x-2)²³ ) darf man das? 2 X v=(4-3x) ³ Nebenrechnung v= (4.3x)³ v'= 3.(4-3x)². (-3) =(-9)-(4-3x)² U = 2x³ V= (x - 2)² Nebenrechnung V=(x-2)^ v²= 4(x-2) ³.1 = 4(x-21²³ u' = 2x v' = ? u'= 6x² v' = ? f(x)= x³ g(x)=4-3x f(x)= x g(x)=x-2 f'(x)= 3x g'(x) = -3 f'(x) = 4x³ g'(x) = 1 ma-1 f(x) = x² + 1 f'(x) = 2x Die Summenregel Funktionen und Änderungsraten GK Mathe-Analysis f(x) = x³ + x 2 f'(x) = 3x + 1 Sind die Funktion f und g auf dem Intervall differenzierbar, so ist auch ihre Summen formel f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x) Zusammengesetzte Funktionen -5 -4 -3 f(x) - 3x f'(x) = 3 Die Faktorregel Datum: f(x) =x²-f = f'(x) = 0,5 x f sei eine differenzierbare Funktion und a eine beliebige Konstante dann gilt: (a- Ç(x)) = a · Ç'(x) 'f' ma-1 a) f(x) = (2x²). (3x4) b) f(x) = (x² 1) · (2x² + 5) c) f(x) = (5 + 6x) ⋅ (x² + x) d) f(x) = x (1 + x²) e) f(x) = (2x + 1)³ f) f(x)=(1-2x)4 g) f(x) = (4x - 3)5 h) f(x) = 4 (3x³ - x²)² a) f(x) = (2x²). (3x4) b) f(x) = (x²³1) · (2x²+5) Übungsaufgabe: Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Produkt- bzw. Kettenregel: c) ((x) = (5+6x) · (x²+, d) f(x)= x (1 + x² ) 3 e) f(x)= (2x +11³ gl f) f(x) = -(1-2x)" Höhere Ableitungsregeln f(x)= (4x-315 h) f(x) = 4(3x²³ - x², ² u= 2x² V= 3x4 u= x - 1 v= 2x².5 u= 5+6x v= x², U = x V= 1+x² 3 f(x)= x g(x) = 2x+1 u f(x)=x² g(x)= 1-2x f(x) = x² g(x) = 4x-3 f(x) = 4x² g(x) = 3x³x² u'= 4x v'= 12x³ u' = 2x v' = Ux u' = 6 v' = 2x + 1 u = 1 v' = 2x f'(x)= 3x² g'(x) = 2 f'(x)=-4x³ g'(x) = -2 f'(x) = 5x" g'(x) = 4 f'(x) = 8x g'(x)= 9x²-2x f'(x) = 4x (3x) + 12x³ (2x²) 12x5 24x² = = f'(x) = 2x (2x²+5) + 4x ( x² - 1) 4x²³² + 10x + 4x²³ - ux = Datum: 36 ра f'(x) = 6·1x² + x) + (2x + 1) (5+6x) = 6x² + 6x + 10x + 12x² +5+ box 8x²³ + 6x 8 = 18x22x+5 f'(x) = x (1+x²) + 2× ( x ) 1+x² + 2x² 1+ 3x² = f'(x)= 3. (2x+11². .2 = 6.(2x+11² f'(x) = -4 (1-2x)³³. (-2) = 8.(1-2x1³ f'(x) = 5 (4x-3)". 20(4x-3)" f'(x)= 8. (3x³ - x²). (9x²-2x)

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dort vorliegende Steigung f'(xo) zugeordnet, so erhält man eine neue Funktion f', die sogenannte Ableitungsfunktion von f. Mit Hilfe eines tangentialen Steigungsdreiecks lassen sich angenähert Steigungen in jedem Punkt (xlf(x)) bestimmen. Anschließend kann die neue Funktion f' gezeichnet werden. m= ----2 K Steigung direkt ablesen X=-1 Steigung m=-2 y-Werte Steigungswerte P'(-1|-2) X Datum: 12 Allgemein gilt: Die Funktion f steigt streng monoton → f' ist dort positiv Die Funktion f fällt streng monoton → f' ist dort negativ (Hochpunkt bei einem Links-Rechts-Wendepunkt, Tiefpunkt bei einem Rechts-Links-Wendepunkt.) f'(x) > 0 , f'(x) < 0 Beim graphischen Ableiten sind zwei Arten von Punkten von Bedeutung: 1. Punkte mit waagerechter Tangente → An der Stelle, an der der Graph von f eine waagerechte Tangente hat, besitzt der Graph von f' eine Nullstelle Relatives Maximum Sattelpunkt + f(x) 2. Punkte mit (relativ) maximal steiler Steigung der Tangente (Wendepunkte) → An der Stelle, an der der Graph von f einen Wendepunkt hat, ist die Steigung von f relativ Extremal Der Graph von f' besitzt an dieser Stelle einen_relativen Extrempunkt Relatives Minimum T f(x) R-L-WP L-R-WP ma-1 Höhere Ableitungsregeln vereinfacht:_(u.v)' = u'. v. Beispiel: Die Funktion f sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. f(x) = u(x) · v(x) Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt die Formel: f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x) f(x) =(3+x) · (x + 1) Die Produktregel f'(x) = 1. (x + 1) + (3+x). I = 3+x = 4 + 2x Die Ableitung von k lautet: Ableitung der Verkettung k + u.v' 40 Beispiel: k(x) = (2x + 1)4 Die Kettenregel f und g seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar: u(x) = (3 + x) v(x) = (x + 1) vereinfacht: [f(g(x))] = f'(g(x))+ g(x) " k'(x) = 40 (2x +11³9.2 =80 (2x+1)39 k(x) = f(g(x)) k'(x) = f'(g(x)) · g'(x) Ableitung der äußeren Funktion f an der Stelle g(x) Datum: чо =X u'(x) = 1 v'(x) = 1 Ableitung der inneren Funktion f an der Stelle x f(x) g(x) = (2x + 1) f'(x) = 40x³⁹ ૩૧ g'(x) = 2 Regeln: Konstante Funktion: Für jede reelle konstante C gilt: C = O 2.B : f(x) = 1 f'(x) = 0 f'(x) = 0 Rechnerisch ableiten f(x)=-4 Potenzfunktion: Für jede natürliche Zahl n gilt: (x^) = n-x^-' 2. B.: fix)= x f'(x) = 1 f(x) = x² f'(x) = 2x konstantenregel: Sind die Funktion f und g auf dem Intervall differenzierbar, so ist auch ihre Summen formel f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x)) + g(x)' = f'(x) + g'(x) 2.B.: f(x)= x²+1 f'(x) = 2x f(x)=x²³+x_f'(x)= 3x + 1 Faktorregel: sei eine differenzierbare Funktion und a eine beliebige konstante dann gilt: (a. f(x))' = a. f'(x) 2.B.: f(x)= 3x f'(x)=3 f(x)=x² Produktregel: Die Funktion (sei das Produkt der beiden differenzierbaren Faktoren u und v. Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und für die Ableitung f' gilt: (u.v)' = U² • v •u• v² 2.B f(x)= (3+x). (x+1) (u(x) = (3+x) Anderes f'(x) = 1. (x+1)+ (3 + x)· 1 (²₁x) = 0,5 u f(x)=√x (x²²) 2x 39 k'(x) = 40 (2x + 1) 39 = 80 (2x+1) keHenregel: fund 9 seien differenzierbare Funktionen. Dann ist auch die Verkettung differenzierbar gilt: [f(g(x))] = f'(g(x))+ g(x) ¹ 40 39 2.B k(x)= (2x+1) f'(x) = 40x² g'(x) = 2 40 (2)= √द्र (2) Kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)=x²-(4-3x)³ k'(x) = 2x - (4-3x)² + x² (-9)-(4-3×1² = 2x-(4-3x)²³-9x².(4-3x)² 3+x .2 v= (4-3x)² V(x)= (x+1) f(x)= x g(x) = (2x+1) u = 2x ? f(x) = \_(x*') f'(x) = u'(x) = 1 (-x-²) v'(x) = 1 Nebenrechnung V= (4-3x³ v's 3-(4-3x)²-(-3) =(-9)-(4-3x)² f(x)= x³ g(x) =(4-3x) f'(x) = 3 g'(x) = -3 ma-1 = f(x) = 4 ƒ'(x) O Die Konstantenregel Konstante Funktionen f(x) f'(x) = 0 Funktionen und Änderungsraten GK Mathe - Analysis = -2 Für jede reelle konstante C gilt: (C') = O Die Ableitungsregeln f(x) = x f'(x) = 1 Die Potenzregel Potenzfunktionen (x" ) = = n.x Datum: f(x) = x² f'(x) = 2x Für jede natürliche Zahln € IN gilt: n-l Höhere Ableitungsregel kombination aus Ketten- und Produktregel k(x)= x²³².(4-3x)²³ k'(x)= 2x · (4-3x)1³ + x² (-9) · (4-3x)² = 2x (4-3x)³.qx².(4-3x)²2 übungsaufgabe: k(x) = 2x³. (x - 2)² k(x)= 6x² · (x - 2)² + 2x³. 4 (x-21³ ( = 6x² · (x-2)² + 8x³³. (x-2)²³ ) darf man das? 2 X v=(4-3x) ³ Nebenrechnung v= (4.3x)³ v'= 3.(4-3x)². (-3) =(-9)-(4-3x)² U = 2x³ V= (x - 2)² Nebenrechnung V=(x-2)^ v²= 4(x-2) ³.1 = 4(x-21²³ u' = 2x v' = ? u'= 6x² v' = ? f(x)= x³ g(x)=4-3x f(x)= x g(x)=x-2 f'(x)= 3x g'(x) = -3 f'(x) = 4x³ g'(x) = 1 ma-1 f(x) = x² + 1 f'(x) = 2x Die Summenregel Funktionen und Änderungsraten GK Mathe-Analysis f(x) = x³ + x 2 f'(x) = 3x + 1 Sind die Funktion f und g auf dem Intervall differenzierbar, so ist auch ihre Summen formel f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x) Zusammengesetzte Funktionen -5 -4 -3 f(x) - 3x f'(x) = 3 Die Faktorregel Datum: f(x) =x²-f = f'(x) = 0,5 x f sei eine differenzierbare Funktion und a eine beliebige Konstante dann gilt: (a- Ç(x)) = a · Ç'(x) 'f' ma-1 a) f(x) = (2x²). (3x4) b) f(x) = (x² 1) · (2x² + 5) c) f(x) = (5 + 6x) ⋅ (x² + x) d) f(x) = x (1 + x²) e) f(x) = (2x + 1)³ f) f(x)=(1-2x)4 g) f(x) = (4x - 3)5 h) f(x) = 4 (3x³ - x²)² a) f(x) = (2x²). (3x4) b) f(x) = (x²³1) · (2x²+5) Übungsaufgabe: Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Produkt- bzw. Kettenregel: c) ((x) = (5+6x) · (x²+, d) f(x)= x (1 + x² ) 3 e) f(x)= (2x +11³ gl f) f(x) = -(1-2x)" Höhere Ableitungsregeln f(x)= (4x-315 h) f(x) = 4(3x²³ - x², ² u= 2x² V= 3x4 u= x - 1 v= 2x².5 u= 5+6x v= x², U = x V= 1+x² 3 f(x)= x g(x) = 2x+1 u f(x)=x² g(x)= 1-2x f(x) = x² g(x) = 4x-3 f(x) = 4x² g(x) = 3x³x² u'= 4x v'= 12x³ u' = 2x v' = Ux u' = 6 v' = 2x + 1 u = 1 v' = 2x f'(x)= 3x² g'(x) = 2 f'(x)=-4x³ g'(x) = -2 f'(x) = 5x" g'(x) = 4 f'(x) = 8x g'(x)= 9x²-2x f'(x) = 4x (3x) + 12x³ (2x²) 12x5 24x² = = f'(x) = 2x (2x²+5) + 4x ( x² - 1) 4x²³² + 10x + 4x²³ - ux = Datum: 36 ра f'(x) = 6·1x² + x) + (2x + 1) (5+6x) = 6x² + 6x + 10x + 12x² +5+ box 8x²³ + 6x 8 = 18x22x+5 f'(x) = x (1+x²) + 2× ( x ) 1+x² + 2x² 1+ 3x² = f'(x)= 3. (2x+11². .2 = 6.(2x+11² f'(x) = -4 (1-2x)³³. (-2) = 8.(1-2x1³ f'(x) = 5 (4x-3)". 20(4x-3)" f'(x)= 8. (3x³ - x²). (9x²-2x)