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Graphisches Ableiten Übungen und Ableitung zeichnen: Deine Anleitung

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Graphisches Ableiten Übungen und Ableitung zeichnen: Deine Anleitung
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Celina K.

@celina.kcz

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The document covers mathematical concepts related to derivatives and differentiation rules. Here's the structured summary:

Core Concepts of Derivatives and Differentiation

  • Comprehensive guide covering graphisches Ableiten übungen and differentiation rules
  • Details methods for graphical and analytical derivative calculations
  • Includes key rules like constant rule, power rule, product rule, and chain rule
  • Features practical exercises with Ableitungsregeln Übungen

Key Learning Points:

  • Understanding derivative functions and their graphical representations
  • Mastering differentiation rules and their applications
  • Practicing with complex derivative problems
  • Working with higher-order derivatives (höhere Ableitungen)

2.2.2021

780

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 2: Differentiation Rules and Examples

This page covers fundamental differentiation rules and provides examples for each.

The sum rule and factor rule are introduced:

  • Sum Rule: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Factor Rule: (a · f(x))' = a · f'(x)

Definition: The sum rule states that the derivative of a sum is the sum of the derivatives.

Example: f(x) = x³ + x, f'(x) = 3x² + 1

Highlight: The factor rule allows for the differentiation of functions multiplied by constants.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 3: Practice Problems for Product and Chain Rules

This page presents a series of practice problems focusing on the product rule and chain rule for differentiation.

Students are asked to find the first derivative of various functions using these rules:

a) f(x) = (2x²) · (3x⁴) b) f(x) = (x² - 1)(2x² + 5) c) f(x) = (5 + 6x) · (x² + x) d) f(x) = x(1 + x²) e) f(x) = (2x + 1)³ f) f(x) = (1 - 2x)⁴ g) f(x) = (4x - 3)⁵ h) f(x) = 4(3x³ - x²)²

Example: For problem a), the solution is f'(x) = 4x(3x⁴) + 12x³(2x²) = 12x⁵ + 24x⁵ = 36x⁵

Highlight: These problems help reinforce the application of Ableitungsregeln (differentiation rules) for more complex functions.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 4: Basic Differentiation Rules

This page provides a comprehensive overview of basic differentiation rules, including the constant function rule, power rule, sum rule, and factor rule.

Key rules covered:

  1. Constant Function Rule: (c)' = 0
  2. Power Rule: (x^n)' = n · x^(n-1)
  3. Sum Rule: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  4. Factor Rule: (a · f(x))' = a · f'(x)

Definition: The power rule states that for any natural number n, the derivative of x^n is n · x^(n-1).

Example: f(x) = x², f'(x) = 2x

Highlight: These rules form the foundation for Ableitungsregeln (differentiation rules) and are essential for solving more complex problems.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 5: Advanced Differentiation Rules

This page introduces more advanced differentiation rules, including the product rule, chain rule, and their combinations.

Key concepts covered:

  1. Product Rule: (u · v)' = u' · v + u · v'
  2. Chain Rule: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
  3. Combination of Chain and Product Rules

Example: For k(x) = (2x + 1)⁴⁰, k'(x) = 40(2x + 1)³⁹ · 2 = 80(2x + 1)³⁹

Highlight: These advanced rules allow for the differentiation of more complex functions, including compositions and products of functions.

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Page 6: Higher-Order Derivatives and Complex Examples

This page focuses on higher-order derivatives and provides complex examples combining various differentiation rules.

A detailed example is given for the function: k(x) = x²(4 - 3x)³

The solution process involves:

  1. Applying the product rule
  2. Using the chain rule for the (4 - 3x)³ term
  3. Simplifying the resulting expression

Example: k'(x) = 2x · (4 - 3x)³ + x² · (-9) · (4 - 3x)²

Highlight: This page demonstrates the application of höhere Ableitungen (higher-order derivatives) and the combination of multiple differentiation rules.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 7: Graphical Differentiation Technique

This page provides a detailed explanation of the graphical differentiation technique, illustrating how to construct the graph of a derivative function from the original function's graph.

Key steps in the process:

  1. Identify points on the original function graph
  2. Determine the slope at these points using tangential slope triangles
  3. Plot these slopes on a new coordinate system
  4. Connect the plotted points to approximate the derivative function's graph

Highlight: Graphical differentiation provides a visual understanding of the relationship between a function and its derivative.

Example: The page includes two coordinate systems: one showing the original function f(x), and another below it for plotting f'(x).

Vocabulary: Tangential slope triangles (tangentiale Steigungsdreiecke) are used to approximate the slope at specific points on the graph.

This technique reinforces concepts such as increasing and decreasing functions, relative extrema, and inflection points, making it an valuable tool for understanding graphisches Ableiten (graphical differentiation).

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Graphisches Differenzieren – Ableitungsfunktion

Die letzte Seite kehrt zum Konzept des graphischen Differenzierens zurück. Es wird erklärt, wie man aus dem Graphen einer Funktion f den Graphen ihrer Ableitungsfunktion f' konstruieren kann. Dies geschieht durch das Eintragen von Tangentensteigungen an verschiedenen Punkten des Graphen von f.

Vocabulary: Tangentiale Steigungsdreiecke - Dreiecke, die zur Bestimmung der Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen verwendet werden.

Highlight: Das graphische Differenzieren ermöglicht ein intuitives Verständnis des Zusammenhangs zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung.

Graph der Ableitungsfunktion herleiten f(x) f(x) graphisch ableiten Steigung -positiv f'(x) > 0 -negativ f'(x) <0 Extrema f'(x) = 0 u I -3 y

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Page 8: Product Rule Introduction

Introduces the product rule with detailed explanation and examples.

Definition: For f(x) = u(x)·v(x), f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)

Example: f(x) = (3+x)(x+1) → f'(x) = 4 + 2x

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Page 1: Introduction to Graphical Differentiation

This page introduces the concept of graphisches Ableiten (graphical differentiation) and outlines the key steps involved in the process.

The main steps for graphical differentiation are:

  1. Identify extrema and saddle points, then draw tangent lines
  2. Draw tangent lines at inflection points
  3. Construct slope triangles
  4. Connect points to form the derivative graph
  5. Verify results

Definition: Graphical differentiation is a method of determining the derivative function by analyzing the graph of the original function.

Highlight: The process focuses on key points such as extrema, inflection points, and areas of positive or negative slope.

Example: The page includes a graph showing the original function f(x) and its derivative f'(x), illustrating how the slope of f(x) corresponds to the y-values of f'(x).

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The sum rule and factor rule are introduced:

  • Sum Rule: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
  • Factor Rule: (a · f(x))' = a · f'(x)

Definition: The sum rule states that the derivative of a sum is the sum of the derivatives.

Example: f(x) = x³ + x, f'(x) = 3x² + 1

Highlight: The factor rule allows for the differentiation of functions multiplied by constants.

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a) f(x) = (2x²) · (3x⁴) b) f(x) = (x² - 1)(2x² + 5) c) f(x) = (5 + 6x) · (x² + x) d) f(x) = x(1 + x²) e) f(x) = (2x + 1)³ f) f(x) = (1 - 2x)⁴ g) f(x) = (4x - 3)⁵ h) f(x) = 4(3x³ - x²)²

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Key concepts covered:

  1. Product Rule: (u · v)' = u' · v + u · v'
  2. Chain Rule: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)
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The solution process involves:

  1. Applying the product rule
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Example: k'(x) = 2x · (4 - 3x)³ + x² · (-9) · (4 - 3x)²

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  1. Identify points on the original function graph
  2. Determine the slope at these points using tangential slope triangles
  3. Plot these slopes on a new coordinate system
  4. Connect the plotted points to approximate the derivative function's graph

Highlight: Graphical differentiation provides a visual understanding of the relationship between a function and its derivative.

Example: The page includes two coordinate systems: one showing the original function f(x), and another below it for plotting f'(x).

Vocabulary: Tangential slope triangles (tangentiale Steigungsdreiecke) are used to approximate the slope at specific points on the graph.

This technique reinforces concepts such as increasing and decreasing functions, relative extrema, and inflection points, making it an valuable tool for understanding graphisches Ableiten (graphical differentiation).

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Example: f(x) = (3+x)(x+1) → f'(x) = 4 + 2x

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The main steps for graphical differentiation are:

  1. Identify extrema and saddle points, then draw tangent lines
  2. Draw tangent lines at inflection points
  3. Construct slope triangles
  4. Connect points to form the derivative graph
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Definition: Graphical differentiation is a method of determining the derivative function by analyzing the graph of the original function.

Highlight: The process focuses on key points such as extrema, inflection points, and areas of positive or negative slope.

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