Ableitung der Kubikfunktion und Potenzregel

Diese Seite erklärt die Ableitung einer Funktion, insbesondere der Kubikfunktion, und stellt die Potenzregel für ganzzahlige Exponenten vor.

H-Methode zur Berechnung der Ableitung

Die Seite beginnt mit der Erklärung der H-Methode, einer grundlegenden Technik zur Berechnung von Ableitungen. Diese Methode wird Schritt für Schritt anhand der kubischen Funktion f(x) = x³ demonstriert.

Definition: Die H-Methode ist ein Verfahren zur Berechnung der Ableitung, bei dem der Grenzwert des Differenzenquotienten gebildet wird.

Der Prozess wird detailliert dargestellt, beginnend mit der Formel:

m = lim[h→0] (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Für die Kubikfunktion f(x) = x³ wird dies zu:

m = lim[h→0] ((x₀+h)³ - x₀³) / h

Example: Die Auflösung dieser Formel führt zur Ableitung f'(x) = 3x².

Anwendung der Ableitung

Die Seite zeigt auch praktische Anwendungen der berechneten Ableitung:

• f'(-1) = 3·(-1)² = 3
• f'(5) = 3·5² = 75

Highlight: Diese Beispiele verdeutlichen, wie die Ableitung an verschiedenen Stellen der Funktion berechnet werden kann.

Potenzregel für ganzzahlige Exponenten

Am Ende der Seite wird die allgemeine Potenzregel für ganzzahlige Exponenten vorgestellt:

Vocabulary: Die Potenzregel besagt, dass für eine Funktion f(x) = xⁿ, wobei n eine ganze Zahl ist, die Ableitung f'(x) = n · xⁿ⁻¹ lautet.

Diese Regel wird mit einem Beispiel illustriert:

Example: Für f(x) = x⁷ ist die Ableitung f'(x) = 7 · x⁶.

Die Seite bietet somit eine umfassende Einführung in die Ableitungsregeln und deren Anwendung, insbesondere für kubische Funktionen und Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.