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11.10.2021
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LINEARE FUNKTION Lernzettel Mathe-Klausur Eine lineare Funktion ist eine Gerade, also eine Funktion 1. Grades y=mx+c → f(x) = m.x+c m = Steigung Der Steigungswinkel ist der gemessene Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse c = Schnittstelle mit der y-Achse Die Nullstelle von einer linearen Funktion wird bestimmt, indem die Gleichung f(x) = 0 nach x umgestellt wird Eine Lineare Funktion besitzt maximal eine Nullstelle, außer es handelt sich um eine konstante Funktion. (Gerade ist 11 zur x-Achse) Beispiel: f(x)=y=2x-6 Lösungsweg: f(x)=0 0=2x-6 1+6 6 = 2x 1:2 =>3=x Damit ist x-3 die Nullstelle. Für den Nullpunkt folgt: P(310) Beispiel Gerade 1: y = 2x + 3 Gerade 2 = -x +9 um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man dessen X-Koordinate in die Gleichung der Geraden ein. Stimmt der errechnete SCHNITTPUNKT ZWEIER GRADEN BERECHNEN wenn zwei Geraden sich schneiden, so gehen sie durch den selben Punkt. Der Schnittpunkt liegt bei S(217) y-Wert mit der gegebenen y-Koordinate überein, liegt der Runkt auf der Geraden. Beide Y werden gleichgesetzt: →yey 2x+3 = -x +9 Jetzt wird nach x umgeformt: 2x+3x+9 1+* 3x+3=9 3x 1-3 1:3 X in eine von beiden Formeln einsetzen: y= 2x+3 y=2·2+3 = 7 =y SC₂₁) m= Ay (x₁15₂) Beispiel: A A m X STEIGUNG Ankathete a) f(x) = 3x-1 tanx =m tank=3 |+an-1 *~71,6⁰ um die Steigung einer Linearen Formel zu berechnen, verwendet man die Formel: (x₂14₂) Gegen- kathete Gegenkathete Ankathete 71.6° |y₁₂₁₂-3₁ = m x2-x1 tan ∞ = Ankathele STEIGUNGSWINKEL Gegenkathete Tanxx wird mit dem Taschenrechner bestimmt. Dazu benötigt man die Umbehr funktion des Tangens. Dafür wendet man die Taste tan an b) f(x) = -2x +3 •tonk=-2 Itan α=-63,4° →α=...
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180-63,4° = 16,6⁰ = K Beispiel: Hier wird der Ergänzungswinkel zu 180° gebildet: 180°-α=180°-63,4° = P (₁1) Q (+1) 1@ P↳ Steigungsdraled X2-X1 m=-2 m= 116,6⁰ -63,4% A 2-4 4-1 -- y=m₁x+c y=x+c (x1y) einsetzen 2 = 3 · 4 + C + 2 = 1 + 1 - 13 = f(x)=√x+ QUADRATISCHE FUNKTION Lernzettel Mathe-Klausur unter einer Quadratischen Funktion. versteht man eine Funktion, die als höchsten Exponenten die Zahl 2 hat. Die allgemeine Funktionsgleichung sieht so aus: f(x) = ax² + bx+c Dann gibt es noch die direkt abgewandelle Scheitelpunktformel: f(x) = a (x-x₂) + Ys S(x₂19₂) Die y-werte heißen auch "FunkHonswert"! 1. Verschieben (Rechts/Links): ⇒y= (x-irgendwas) Verschiebung um "irgendwas "nach rechts) y = (x+irgendwas) ² Verschiebung um "irgendwas" nach links" Die Normalparabel ist die Funktion Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist: y = уеха A F 2. Verschieben (Hoch/Runter): ⇒ y = x ² + irgendwas verschiebung um "irgendwas" nach oben y=x²-irgendwas Verschiebung wm "irgendwas " nach unten um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man dessen X-Koordinate in die Gleichung der Geraden ein. Stimmt der errechnete y-Wert mit der gegebenen Y-Koordinate überein, liegt der Runkt auf der Geraden. W W V V V 3. Parabeln (Steiler/Flacher): y = irgendwas. **2 Parabel um "irgendwas" steiler/flacher machen V Die Binomischen Formeln braucht man bei der Quadratischen Funktion, um die Scheitelpunkt form in die allgemeine Formel umzustellen. Beispiel: f(x) = -2(x-1)² +0 S(110) f(x) = -2 ⋅ (x² - 2x + 1²) f(x) = -4x² + 4x-2 d(x) = -0,5 (x+3)²+1 S(311) d(x) = -0,5 (6x +9) +1 d(x) = -0,5x²-3x -4,5+ d(x) = -0,5x²-3x -3,5 |x 1/2 = b ± √/b²-4ac 29 Beispiel: f(x) = 3x² +9x+6 ↓ 1 1 a b = werke in die Formel setzen k(x) = (x + 1)²-5 S(11-5) = (x+1). (x+1)-5 NULLSTELLEN BERECHNEN mit der ABC Formel Die ABC - Formel verwendet man für die Berechnung der Nullstellen einer Quadratischen Funktion ABC-Formel = x² +1x +1x +1 -5 = x²+2x+1-5 = x² + 2x +4 BINOMISCHE FORMELN Die Zahlen unter x₁₁2 = -9 ± (9²-4·3·6) der Wurzel werden 2.3 berechnet, ohne die Wurzel zu ziehen! Diskriminante 1. (a+b)² = a² + 2ab +6² Bsp: (x+4)=x² + 8x + 16 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² Bsp: (x-3)=x-x-x-(-3)2+(-3).(-3) = x² - 6x +9₁ Dabei werden die Werke von A,Bu.C aus der Funktion f(x) = ax²+bx+c erlesen und in die ABC-Formel gesetzt. Eine Quadratische Funktion hat entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. Wieviele Nullstellen es sind, zeigt die Diskriminante. = -9 £³ Ⓒ und Ⓒ rechnen! 3. (a-b): (a+b) = a²-b² D<0 keine Nullstelle D=0 D >O eine zwei Nullstelle Nullstellen - 3+³ = -1 = x₁ J₁. -gt√√9 die Diskriminante ist größer als Null, 6 es gibt also 2 Nullstellen! Jetzt erst wird die Wurzel gezogen. - 9-³ = -2=X₂ -{-1;-2}