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Lernzettel Mathe Klausur
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QUADRATISCHE FUNKTION Lernzettel Mathe-Klausur unter einer Quadratischen Funktion versteht man eine Funktion, die als höchsten Exponenten die Zahl 2 hat. Die allgemeine Funktionsgleichung sieht so aus: f(x) = ax² + bx+c Dann gibt es noch die direkt abgewandelle. Scheitelpunktformel: f(x)= a (x-x₂)² + y₂ S (x₂ 193) Die y-werte heißen auch "Funktionswert"! 1. Verschieben (Rechts/Links): ⇒y=(x- irgendwas) Verschiebung um "irgendwas "nach rechts) y = (x+irgendwas) 2 Verschiebung um "irgendwas" nach links F Die Normalparabel ist die Funktion y=x² Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist: y = = x² ➜>> 2. Verschieben (Hoch/Runter): ⇒y=x² + irgendwas verschiebung um "irgendwas" nach oben y=x²- irgendwas Verschiebung um "irgendwas" nach unten um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man dessen X-Koordinate in die Gleichung der Geraden ein. Stimmt der errechnete y-Wert mit der gegebenen y-Koordinate überein, liegt der Punkt auf der Geraden. W U 3. Parabeln (Steiler/Flacher): y = irgendwas x² Parabel um "irgendwas" steiler/flacher machen V W Die Binomischen Formeln braucht man bei der Quadratischen Funktion, um die Scheitelpunkt form in die allgemeine Formel umzustellen. Beispiel: f(x) = -2(x-1)² +0 S(110) f(x) = -2.(x²-2x+1²) f(x)=-4x+4x-2 d(x) = -0,5 (x+3)²+1 S(311) d(x) = -0,5 (x+6x+8) +1 d(x) = -0,5x²-3x -4,5+ d(x) = -0,5x²-3x -3,5 x 1/2= Beispiel: fcx) = 3x² +9x+6 7 werke - b ± √b²-4ac 29 X1,2 = 11 ↓ b с -gt√g- 6 -913 6 NULLSTELLEN BERECHNEN mit der ABC formel Die ABC-Formel verwendet man für die Berechnung der Nullstellen einer Quadratischen Funktion. ABC-Formel in die Formel setzen k(x) = (x+1)³²-5 S(11-5) = (x+1). (x+1)-5 Die Zahlen unter = -9±19-4-3.6 der Wurzel werden berednnet, ohne die...
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Wurzel 2.3 zu ziehen! Diskriminante *+1x+x+1-5 = x²+2x+1-5 = x²+2x+4 BINOMISCHE FORMELN die Diskriminante ist größer als Null, es gibt also 2 Nullstellen! Jetzt erst wird die Wurzel gezogen. 1. (a+b)² = = a + 2ab + b' Bsp: (x+4)² = x² + 8x + 16 Ⓒ und rechnen! 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² Bsp: (x-3)² = x-x-x-(-3)-2+(-3)-(-3) Dabei werden die Werle von A,BU.C aus der Funktion f(x) = ax²+bx+c erlesen und in die ABC-Formel gesetzt. Eine Quadratische Funktion hat entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. Wieviele Nullsteller es sind, zeigt die Diskriminante. 3. (a−b) · (a+b) = a ² =x²-6x+9 D<0 keine Nullstelle -9-3 D=0 eine Nullstelle - 3+³=-1= x₁ 6 -=-2=X₂ D>O zwei Nullstellen L = {-1₁-2} LINEARE FUNKTION Lernzettel Mathe-Klausur Eine lineare Funktion ist eine Gerade, also eine Funktion 1. Grades y=mx+c →→ f(x)=m.x+c Steigung m= Der Steigungswinkel ist der gemessene Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse C = Schnittstelle mit der y-Achse. Die Nullstelle von einer linearen Funktion wird bestimmt, indem die Gleichung f(x) = 0 nach x umgestellt wird Eine Lineare Funktion besitzt maximal eine Nullstelle, außer es handelt sich um eine konstante Funktion. (Gerade ist 11 zur x-Achse) Beispiel: f(x)=y=2x-6 Lösungsweg: f(x)=0 ↳0=2x-6 1+6 6 = 2x 1:2 =>3=x Damit ist x-3 die Nullstelle. Für den Nullpunkt foigt: P(310) Beispiel: Gerade 1: y = 2x + 3 Gerade 2: = -x + 9 SCHNIT TPUNKT ZWEIER GRADEN BERECHNEN wenn zwei Geraden sich schneiden, so gehen sie durch den selben Punkt. Schnittpunkt um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt man dessen X-Koordinate in die Gleichung der Geraden ein. Stimmt der errechnete Der Schnittpunkt liegt bei •S(217) y-Wert mit der gegebenen y-Koordinate überein, liegt der Punkt auf der Geraden. Beide Y werden gleichgesetzt: ५०५. 2x+3=-x+9 Jetzt wird nach x umgeformt: 2x+3= -x +9 1+x. 3x+3= 9 3x 1-3 1:3 .. X in eine von beiden Formeln einsetzen: y= 2x+3 y=2·2+3 = 7 =y SC₂1) V t m= m Ax y (x₁15₂) X Beispiel: a STEIGUNG Ankathe a) f(x)=3x-1 tanx=m tank=3 |tan=1 *~71,6 um die Steigung einer Linearen Formel zu berechnen, verwendet man die Formel: (x219₂) Gegen- kathete Gegenkathete Ankathete m=3 71,6° Y₂ - Y₁ x2-x1 =m tan x = Gegenkathete = Ankathete b) f(x)=-2x+3 ton&=-2 | tan" -4 x=-63,4° STEIGUNGSWINKEL Tank wird mit dem Taschenrechner bestimmt. Dazu benötigt man die Umbehr funktion des Tangens. Dafür wendet man die Taste tan an →α=180-63,4° = 116,6° = K Beispiel: Hier wird der Ergänzungswinkel zu 180° gebildet: 180°-α = 180°-63,4° = α P (115) Q (412) 1Q ↳ Steigungsdreieck 9₂-9₁ . m = -2 ma 116,6° -63,49 =m AX=2-4-44 .4-1 Ax 1 3 _y=m₁x+C_y= √√x+c (x1y) einsetzen 2= 3·4+ C + 2 = 3 + C | - 1/125 ==²(x)=√x + 1/3