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Luisa Denkert
@luisadenkert_gozq
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Dieser Lernzettel bietet einen umfassenden Überblick über ganzrationale Funktionen und wichtige Konzepte der Analysis für Schüler:
23.5.2023
8953
Dieser letzte Abschnitt behandelt e-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln.
Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.
Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:
Der Lernzettel erklärt auch spezielle Ableitungsregeln:
Beispiel: Für f(x) = x² · (3x² + 2x) ergibt die Produktregel: f'(x) = 2x · (3x² + 2x) + x² · (6x + 2) = 5x⁴ + 4x³
Beispiel: Für f(x) = (3x² - 4)² ergibt die Kettenregel: f'(x) = 2(3x² - 4) · 6x = 12x(3x² - 4)
Diese Regeln sind besonders nützlich bei komplexeren Funktionen und zusammengesetzten Funktionen.
Vocabulary: Die Kettenregel wird bei zusammengesetzten Funktionen angewendet, während die Produktregel bei Produkten von Funktionen zum Einsatz kommt.
Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.
Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:
Beispiel: Für f(x) = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x(x-3) = 0.
Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:
Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:
Highlight: In Anwendungsaufgaben deuten Wörter wie "minimal", "maximal", "am wenigsten" oder "am meisten" oft auf Extremstellen hin, während "stärkste Steigung" auf Wendepunkte hinweisen kann.
Dieser Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate und Integrale.
Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Beispiel: Für f(x) = x² und die Punkte P1(2,4) und P2(3,9) ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = (9-4) / (3-2) = 5
Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:
Händische Berechnung:
Berechnung mit dem Taschenrechner
Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen muss die Differenz der Integrale gebildet werden: A = ∫(f(x) - g(x))dx
Der Lernzettel weist auch darauf hin, dass bei gemischten Flächen (positiv und negativ) die Bilanz berechnet wird, indem positive und negative Flächen verrechnet werden.
Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen ganzrationaler Funktionen ein und erläutert wichtige Konzepte der Funktionsanalyse.
Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + ... + a1x + a0, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten reelle Zahlen sind.
Der Lernzettel behandelt verschiedene Typen ganzrationaler Funktionen:
Lineare Funktionen (1. Grad): y = mx + n
Quadratische Funktionen (2. Grad): f(x) = ax² + bx + c
Kubische Funktionen (3. Grad): f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Beispiel: Eine quadratische Funktion f(x) = 2x² + 3x + 1 hat die Form f(x) = ax² + bx + c mit a=2, b=3 und c=1.
Der Lernzettel führt auch wichtige Begriffe zur Funktionsanalyse ein:
Highlight: Die Symmetrie einer Funktion kann wichtige Hinweise auf ihr Verhalten geben. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f(-x) = f(x), während Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben ist, wenn f(-x) = -f(x).
Dieser Abschnitt behandelt die Monotonie von Funktionen und die Berechnung von Nullstellen.
Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) < f(x2). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) > f(x2).
Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:
Beispiel: Die Funktion f(x) = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f(x) = 0 setzt.
Beispiel: Für f(x) = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.
Der Lernzettel erklärt auch verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen:
Highlight: Die Nullstellen einer Funktion sind oft wichtige Punkte für die Analyse des Funktionsverhaltens und können auf Extremstellen hinweisen.
43
1126
10
0-Stellen, quadratische Fkt., lineare Fkt., Ganzrationale Fkt.
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270
11/9
S. 67 no. 1) + 3) + 4) Lambacher Schweizer Einführungsphase bzw 10
Das Dokument umfasst S. 67 no. 1) i) bis g) + 3) c) bis d) + 4). Das Thema: Ableitungen. Beim Buch handelt es sich um das Lambacher Schweizer für die Einführungsphase bzw. 10. Klasse auf dem Gymnasium.
1318
23830
11/12
Mathe Zusammenfassung (Abi)
1. Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (Ableitungen) 2. Integrale 3. Exponentialfunktionen 4. Geraden und Vektoren 5. Warscheinlichkeit / Stochastik
258
7537
10
BLF Mathe 2020
BLF (10. Klasse Gymnasium Prüfung) Mathe 2020 Note: 1
930
18047
11/12
Integralrechnung, Funktionsscharen, Ortskurven
2. Mathe LK Klausur Q1.1 14 Punkte Themen: 1.Integralrechnung 2. Funktionsscharen 3. Ortskurven
79
2255
11/12
Funktionenscharen Anwendungsaufgaben mit Lösungen
Hier sind die hauptsächlichen Anwedungsaufgaben, die es zu Funktionenscharen gibt anhand einer Beispielfunktion und mit Rechenweg, sowie Lösungen.
Durchschnittliche App-Bewertung
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Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.
Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:
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Beispiel: Für f(x) = x² · (3x² + 2x) ergibt die Produktregel: f'(x) = 2x · (3x² + 2x) + x² · (6x + 2) = 5x⁴ + 4x³
Beispiel: Für f(x) = (3x² - 4)² ergibt die Kettenregel: f'(x) = 2(3x² - 4) · 6x = 12x(3x² - 4)
Diese Regeln sind besonders nützlich bei komplexeren Funktionen und zusammengesetzten Funktionen.
Vocabulary: Die Kettenregel wird bei zusammengesetzten Funktionen angewendet, während die Produktregel bei Produkten von Funktionen zum Einsatz kommt.
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Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.
Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:
Beispiel: Für f(x) = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x(x-3) = 0.
Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:
Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:
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Dieser Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate und Integrale.
Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Beispiel: Für f(x) = x² und die Punkte P1(2,4) und P2(3,9) ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = (9-4) / (3-2) = 5
Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:
Händische Berechnung:
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Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen muss die Differenz der Integrale gebildet werden: A = ∫(f(x) - g(x))dx
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Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + ... + a1x + a0, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten reelle Zahlen sind.
Der Lernzettel behandelt verschiedene Typen ganzrationaler Funktionen:
Lineare Funktionen (1. Grad): y = mx + n
Quadratische Funktionen (2. Grad): f(x) = ax² + bx + c
Kubische Funktionen (3. Grad): f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Beispiel: Eine quadratische Funktion f(x) = 2x² + 3x + 1 hat die Form f(x) = ax² + bx + c mit a=2, b=3 und c=1.
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Highlight: Die Symmetrie einer Funktion kann wichtige Hinweise auf ihr Verhalten geben. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f(-x) = f(x), während Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben ist, wenn f(-x) = -f(x).
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Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) < f(x2). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) > f(x2).
Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:
Beispiel: Die Funktion f(x) = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f(x) = 0 setzt.
Beispiel: Für f(x) = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.
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Mathe - 0-Stellen, quadratische Fkt., lineare Fkt., Ganzrationale Fkt.
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Mathe - S. 67 no. 1) + 3) + 4) Lambacher Schweizer Einführungsphase bzw 10
Das Dokument umfasst S. 67 no. 1) i) bis g) + 3) c) bis d) + 4). Das Thema: Ableitungen. Beim Buch handelt es sich um das Lambacher Schweizer für die Einführungsphase bzw. 10. Klasse auf dem Gymnasium.
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Mathe - Mathe Zusammenfassung (Abi)
1. Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (Ableitungen) 2. Integrale 3. Exponentialfunktionen 4. Geraden und Vektoren 5. Warscheinlichkeit / Stochastik
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Mathe - BLF Mathe 2020
BLF (10. Klasse Gymnasium Prüfung) Mathe 2020 Note: 1
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Mathe - Integralrechnung, Funktionsscharen, Ortskurven
2. Mathe LK Klausur Q1.1 14 Punkte Themen: 1.Integralrechnung 2. Funktionsscharen 3. Ortskurven
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Mathe - Funktionenscharen Anwendungsaufgaben mit Lösungen
Hier sind die hauptsächlichen Anwedungsaufgaben, die es zu Funktionenscharen gibt anhand einer Beispielfunktion und mit Rechenweg, sowie Lösungen.
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