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Luisa Denkert
@luisadenkert_gozq
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Dieser Lernzettel bietet einen umfassenden Überblick über ganzrationale Funktionen und wichtige Konzepte der Analysis für Schüler:
23.5.2023
9420
Dieser Abschnitt behandelt die Monotonie von Funktionen und die Berechnung von Nullstellen.
Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) < f(x2). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) > f(x2).
Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:
Beispiel: Die Funktion f(x) = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f(x) = 0 setzt.
Beispiel: Für f(x) = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.
Der Lernzettel erklärt auch verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen:
Highlight: Die Nullstellen einer Funktion sind oft wichtige Punkte für die Analyse des Funktionsverhaltens und können auf Extremstellen hinweisen.
Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.
Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:
Beispiel: Für f(x) = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x(x-3) = 0.
Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:
Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:
Highlight: In Anwendungsaufgaben deuten Wörter wie "minimal", "maximal", "am wenigsten" oder "am meisten" oft auf Extremstellen hin, während "stärkste Steigung" auf Wendepunkte hinweisen kann.
Dieser Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate und Integrale.
Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Beispiel: Für f(x) = x² und die Punkte P1(2,4) und P2(3,9) ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = (9-4) / (3-2) = 5
Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:
Händische Berechnung:
Berechnung mit dem Taschenrechner
Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen muss die Differenz der Integrale gebildet werden: A = ∫(f(x) - g(x))dx
Der Lernzettel weist auch darauf hin, dass bei gemischten Flächen (positiv und negativ) die Bilanz berechnet wird, indem positive und negative Flächen verrechnet werden.
Dieser letzte Abschnitt behandelt e-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln.
Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.
Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:
Der Lernzettel erklärt auch spezielle Ableitungsregeln:
Beispiel: Für f(x) = x² · (3x² + 2x) ergibt die Produktregel: f'(x) = 2x · (3x² + 2x) + x² · (6x + 2) = 5x⁴ + 4x³
Beispiel: Für f(x) = (3x² - 4)² ergibt die Kettenregel: f'(x) = 2(3x² - 4) · 6x = 12x(3x² - 4)
Diese Regeln sind besonders nützlich bei komplexeren Funktionen und zusammengesetzten Funktionen.
Vocabulary: Die Kettenregel wird bei zusammengesetzten Funktionen angewendet, während die Produktregel bei Produkten von Funktionen zum Einsatz kommt.
Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen ganzrationaler Funktionen ein und erläutert wichtige Konzepte der Funktionsanalyse.
Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + ... + a1x + a0, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten reelle Zahlen sind.
Der Lernzettel behandelt verschiedene Typen ganzrationaler Funktionen:
Lineare Funktionen (1. Grad): y = mx + n
Quadratische Funktionen (2. Grad): f(x) = ax² + bx + c
Kubische Funktionen (3. Grad): f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Beispiel: Eine quadratische Funktion f(x) = 2x² + 3x + 1 hat die Form f(x) = ax² + bx + c mit a=2, b=3 und c=1.
Der Lernzettel führt auch wichtige Begriffe zur Funktionsanalyse ein:
Highlight: Die Symmetrie einer Funktion kann wichtige Hinweise auf ihr Verhalten geben. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f(-x) = f(x), während Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben ist, wenn f(-x) = -f(x).
74
1292
11/12
Mathematik Lernzettel Funktionen
Lernzettel mit den Themen: •Funktionsuntersuchung -Symmetrie -Transformation -Nullstellen -Krümmungsverhalten -Tangenten -Ableitungen -Wendepunkte/Sattelpunkte •Extremwertaufgaben •rekonstruktion ganzrationaler Funktionen
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997
11
Kurvendiskussion, Gauß und Gewinn, Erlös, Kosten Funktion
Hier findet ihr meine Letzte Mathe Klausur zur Kurvendiskussion, Gauß und zu den Erlös, Gewinn, Kosten, Preis Funktionen. Die Klausur wurde mit sehr gut bewertet😁.
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4679
8/9
p/q - Formel + Quadratische Ergänzung + Darstellungsformen von Parabeln + Gleichungssysteme + Einsetzungsverfahren + Gleichsetzungsverfahren
Darstellungsformen von Parabeln, Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Nullstellenform / Faktorisierte Form, Quadratische Ergänzung, Binomische Formeln, Ausmultiplizieren, Scheitelpunktform in Allgemeine Form umwandeln, p/q - Formel einfach + detailliert
4
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12
Lernzettel
Logarithmus | Maßstab | Monotonie | Nullstellen | Quadratische Ergänzung Always stay focused! 😂
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10
Vollständige Funktionsuntersuchung
Die 7 Schritte einer Funktionsuntersuchung: Symmetrie, Verhalten für x gegen +/- ∞, Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Schaubild mit einzelnen Erläuterungen
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8569
12/13
Analysis
Meine Zusammenfassung für Mathe / Analysis für das Abi 2022
Durchschnittliche App-Bewertung
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Dieser Abschnitt behandelt die Monotonie von Funktionen und die Berechnung von Nullstellen.
Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) < f(x2). Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f(x1) > f(x2).
Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:
Beispiel: Die Funktion f(x) = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.
Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f(x) = 0 setzt.
Beispiel: Für f(x) = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.
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Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.
Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:
Beispiel: Für f(x) = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x(x-3) = 0.
Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:
Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.
Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:
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Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Beispiel: Für f(x) = x² und die Punkte P1(2,4) und P2(3,9) ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = (9-4) / (3-2) = 5
Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:
Händische Berechnung:
Berechnung mit dem Taschenrechner
Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen muss die Differenz der Integrale gebildet werden: A = ∫(f(x) - g(x))dx
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Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.
Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:
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Beispiel: Für f(x) = x² · (3x² + 2x) ergibt die Produktregel: f'(x) = 2x · (3x² + 2x) + x² · (6x + 2) = 5x⁴ + 4x³
Beispiel: Für f(x) = (3x² - 4)² ergibt die Kettenregel: f'(x) = 2(3x² - 4) · 6x = 12x(3x² - 4)
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Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = anx^n + ... + a1x + a0, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten reelle Zahlen sind.
Der Lernzettel behandelt verschiedene Typen ganzrationaler Funktionen:
Lineare Funktionen (1. Grad): y = mx + n
Quadratische Funktionen (2. Grad): f(x) = ax² + bx + c
Kubische Funktionen (3. Grad): f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Beispiel: Eine quadratische Funktion f(x) = 2x² + 3x + 1 hat die Form f(x) = ax² + bx + c mit a=2, b=3 und c=1.
Der Lernzettel führt auch wichtige Begriffe zur Funktionsanalyse ein:
Highlight: Die Symmetrie einer Funktion kann wichtige Hinweise auf ihr Verhalten geben. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f(-x) = f(x), während Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben ist, wenn f(-x) = -f(x).
Mathe - Mathematik Lernzettel Funktionen
Lernzettel mit den Themen: •Funktionsuntersuchung -Symmetrie -Transformation -Nullstellen -Krümmungsverhalten -Tangenten -Ableitungen -Wendepunkte/Sattelpunkte •Extremwertaufgaben •rekonstruktion ganzrationaler Funktionen
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Mathe - Kurvendiskussion, Gauß und Gewinn, Erlös, Kosten Funktion
Hier findet ihr meine Letzte Mathe Klausur zur Kurvendiskussion, Gauß und zu den Erlös, Gewinn, Kosten, Preis Funktionen. Die Klausur wurde mit sehr gut bewertet😁.
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Mathe - p/q - Formel + Quadratische Ergänzung + Darstellungsformen von Parabeln + Gleichungssysteme + Einsetzungsverfahren + Gleichsetzungsverfahren
Darstellungsformen von Parabeln, Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Nullstellenform / Faktorisierte Form, Quadratische Ergänzung, Binomische Formeln, Ausmultiplizieren, Scheitelpunktform in Allgemeine Form umwandeln, p/q - Formel einfach + detailliert
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Mathe - Lernzettel
Logarithmus | Maßstab | Monotonie | Nullstellen | Quadratische Ergänzung Always stay focused! 😂
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Mathe - Vollständige Funktionsuntersuchung
Die 7 Schritte einer Funktionsuntersuchung: Symmetrie, Verhalten für x gegen +/- ∞, Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte, Wendepunkte, Schaubild mit einzelnen Erläuterungen
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Mathe - Analysis
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