Ganzrationale Funktionen Lernzettel: Beispiele und Aufgaben zu Monotonie und Änderungsraten

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Luisa Denkert

23.5.2023

Mathe

Analysis Lernzettel

Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Scheitelpunktform

Ganzrationale Funktionen Lernzettel: Beispiele und Aufgaben zu Monotonie und Änderungsraten

Dieser Lernzettel bietet einen umfassenden Überblick über ganzrationale Funktionen und wichtige Konzepte der Analysis für Schüler:

Erläutert lineare, quadratische und kubische Funktionen
Erklärt Schlüsselbegriffe wie Monotonie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte
Behandelt Ableitungen, Integrale und spezielle Funktionen wie e-Funktionen
Enthält zahlreiche Beispiele und Formeln zur Veranschaulichung

23.5.2023

10286

Analysis - Lernzettel
Ganzrationale Funktion
f(x) =
"+an-x-t.
f(x) = 2x4-5x³ + 2x²-x+8
y = m.x+n
Lineare Funktion: Geraden
X
Pl010,51
Q(112)

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Monotonie und Nullstellen

Dieser Abschnitt behandelt die Monotonie von Funktionen und die Berechnung von Nullstellen.

Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f $x1$ < f $x2$ . Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f $x1$ > f $x2$ .

Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:

Streng monoton steigende Funktionen wachsen kontinuierlich
Monoton steigende Funktionen können auch Sattelpunkte haben

Beispiel: Die Funktion f $x$ = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f $x$ = 0 setzt.

Beispiel: Für f $x$ = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.

Der Lernzettel erklärt auch verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen:

Faktorisierte Form
Ausklammern
Substitution
pq-Formel

Highlight: Die Nullstellen einer Funktion sind oft wichtige Punkte für die Analyse des Funktionsverhaltens und können auf Extremstellen hinweisen.

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Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte

Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.

Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:

Notwendige Bedingung: f' $x$ = 0
Hinreichende Bedingung: f' $x$ = 0 und f'' $x$ ≠ 0

Beispiel: Für f $x$ = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x $x-3$ = 0.

Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:

Die erste Ableitung f' $x$ gibt die Steigungsfunktion an
f' $x$ > 0 bedeutet, dass die Funktion steigt
f' $x$ < 0 bedeutet, dass die Funktion fällt

Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:

Notwendige Bedingung: f'' $x$ = 0
Hinreichende Bedingung: f'' $x$ = 0 und f''' $x$ ≠ 0

Highlight: In Anwendungsaufgaben deuten Wörter wie "minimal", "maximal", "am wenigsten" oder "am meisten" oft auf Extremstellen hin, während "stärkste Steigung" auf Wendepunkte hinweisen kann.

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Mittlere Änderungsrate und Integrale

Dieser Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate und Integrale.

Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

m = $y2 - y1$ / $x2 - x1$

Beispiel: Für f $x$ = x² und die Punkte P1 $2,4$ und P2 $3,9$ ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = $9-4$ / $3-2$ = 5

Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:

Händische Berechnung: Stammfunktion bilden Obere und untere Grenze einsetzen Differenz berechnen
Berechnung mit dem Taschenrechner

Highlight: Bei der Berechnung von Flächen zwischen zwei Graphen muss die Differenz der Integrale gebildet werden: A = ∫ $f(x$ - g $x$ )dx

Der Lernzettel weist auch darauf hin, dass bei gemischten Flächen $positiv und negativ$ die Bilanz berechnet wird, indem positive und negative Flächen verrechnet werden.

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E-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln

Dieser letzte Abschnitt behandelt e-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln.

Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.

Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:

f $x$ = e^x → f' $x$ = e^x

Der Lernzettel erklärt auch spezielle Ableitungsregeln:

Produktregel: f' $x$ = u' · v + u · v'

Beispiel: Für f $x$ = x² · $3x² + 2x$ ergibt die Produktregel: f' $x$ = 2x · $3x² + 2x$ + x² · $6x + 2$ = 5x⁴ + 4x³

Kettenregel: f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$

Beispiel: Für f $x$ = $3x² - 4$ ² ergibt die Kettenregel: f' $x$ = 2 $3x² - 4$ · 6x = 12x $3x² - 4$

Diese Regeln sind besonders nützlich bei komplexeren Funktionen und zusammengesetzten Funktionen.

Vocabulary: Die Kettenregel wird bei zusammengesetzten Funktionen angewendet, während die Produktregel bei Produkten von Funktionen zum Einsatz kommt.

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•

23. Mai 2023

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5 Seiten

Ganzrationale Funktionen Lernzettel: Beispiele und Aufgaben zu Monotonie und Änderungsraten

Luisa Denkert

@luisadenkert_gozq

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Erläutert lineare, quadratische und kubische Funktionen
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Monotonie und Nullstellen

Dieser Abschnitt behandelt die Monotonie von Funktionen und die Berechnung von Nullstellen.

Definition: Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f $x1$ < f $x2$ . Sie ist streng monoton fallend, wenn für alle x1 < x2 gilt: f $x1$ > f $x2$ .

Die Monotonie einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten:

Streng monoton steigende Funktionen wachsen kontinuierlich
Monoton steigende Funktionen können auch Sattelpunkte haben

Beispiel: Die Funktion f $x$ = x4 + x² - 6x ist nicht streng monoton, da sie Sattelpunkte aufweist, an denen die Steigung Null ist.

Nullstellen sind die Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse. Sie werden berechnet, indem man f $x$ = 0 setzt.

Beispiel: Für f $x$ = x² - 4 ergeben sich die Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2.

Der Lernzettel erklärt auch verschiedene Methoden zur Berechnung von Nullstellen:

Faktorisierte Form
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Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte

Dieser Abschnitt behandelt Extremstellen, Ableitungen und Wendepunkte von Funktionen.

Extremstellen sind Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte einer Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen werden folgende Bedingungen verwendet:

Notwendige Bedingung: f' $x$ = 0
Hinreichende Bedingung: f' $x$ = 0 und f'' $x$ ≠ 0

Beispiel: Für f $x$ = x² - 3x ergeben sich die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 3 durch Ausklammern: x $x-3$ = 0.

Ableitungen sind ein zentrales Konzept in der Analysis:

Die erste Ableitung f' $x$ gibt die Steigungsfunktion an
f' $x$ > 0 bedeutet, dass die Funktion steigt
f' $x$ < 0 bedeutet, dass die Funktion fällt

Vocabulary: Die momentane Änderungsrate ist die Steigung an einem bestimmten Punkt und wird durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Ableitung berechnet.

Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung einer Funktion ändert:

Notwendige Bedingung: f'' $x$ = 0
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Mittlere Änderungsrate und Integrale

Dieser Abschnitt behandelt die mittlere Änderungsrate und Integrale.

Die mittlere Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

m = $y2 - y1$ / $x2 - x1$

Beispiel: Für f $x$ = x² und die Punkte P1 $2,4$ und P2 $3,9$ ergibt sich die mittlere Änderungsrate: m = $9-4$ / $3-2$ = 5

Integrale werden verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen. Der Lernzettel erklärt zwei Methoden:

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E-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln

Dieser letzte Abschnitt behandelt e-Funktionen und spezielle Ableitungsregeln.

Highlight: E-Funktionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie nie null werden.

Für das Ableiten von e-Funktionen gilt:

f $x$ = e^x → f' $x$ = e^x

Der Lernzettel erklärt auch spezielle Ableitungsregeln:

Produktregel: f' $x$ = u' · v + u · v'

Beispiel: Für f $x$ = x² · $3x² + 2x$ ergibt die Produktregel: f' $x$ = 2x · $3x² + 2x$ + x² · $6x + 2$ = 5x⁴ + 4x³

Kettenregel: f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$

Beispiel: Für f $x$ = $3x² - 4$ ² ergibt die Kettenregel: f' $x$ = 2 $3x² - 4$ · 6x = 12x $3x² - 4$

Diese Regeln sind besonders nützlich bei komplexeren Funktionen und zusammengesetzten Funktionen.

Vocabulary: Die Kettenregel wird bei zusammengesetzten Funktionen angewendet, während die Produktregel bei Produkten von Funktionen zum Einsatz kommt.

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Ganzrationale Funktionen und Grundlagen der Analysis

Dieser Abschnitt führt in die Grundlagen ganzrationaler Funktionen ein und erläutert wichtige Konzepte der Funktionsanalyse.

Definition: Eine ganzrationale Funktion ist eine Funktion der Form f $x$ = anx^n + ... + a1x + a0, wobei n der Grad der Funktion ist und die Koeffizienten reelle Zahlen sind.

Der Lernzettel behandelt verschiedene Typen ganzrationaler Funktionen:

Lineare Funktionen $1. Grad$ : y = mx + n m ist die Steigung n ist der y-Achsenabschnitt
Quadratische Funktionen $2. Grad$ : f $x$ = ax² + bx + c Normalparabel: f $x$ = x² Verschiedene Transformationen werden erklärt $Verschiebung, Streckung, Stauchung$
Kubische Funktionen $3. Grad$ : f $x$ = ax³ + bx² + cx + d

Beispiel: Eine quadratische Funktion f $x$ = 2x² + 3x + 1 hat die Form f $x$ = ax² + bx + c mit a=2, b=3 und c=1.

Der Lernzettel führt auch wichtige Begriffe zur Funktionsanalyse ein:

Nullstellen
Extrema
Wendestellen
Ableitungen

Highlight: Die Symmetrie einer Funktion kann wichtige Hinweise auf ihr Verhalten geben. Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn f $-x$ = f $x$ , während Punktsymmetrie zum Ursprung gegeben ist, wenn f $-x$ = -f $x$ .

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Marcus B

iOS user

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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