Verlauf von ganzrationalen Funktionen bestimmen

Du kannst den Verlauf einer Funktion ganz einfach am höchsten Exponenten und dem Vorzeichen ablesen! Bei f(x) = ax^n ist entscheidend: Ist n gerade oder ungerade? Ist a positiv oder negativ?

Faustregeln für den Verlauf:

• Ungerade Exponenten (x³, x⁵): Die Funktion kommt von unten und geht nach oben (oder umgekehrt)
• Gerade Exponenten (x², x⁴): Beide Arme zeigen in dieselbe Richtung

Bei positiven a-Werten mit geradem Exponenten sieht der Graph wie ein "W" aus - beide Seiten gehen nach oben. Bei negativen a-Werten wird's zu einem "M" - beide Seiten zeigen nach unten.

Merktipp: Schreib dir den Verlauf immer als Grenzwert auf, zum Beispiel: lim$x→-∞$ = -∞ und lim$x→+∞$ = +∞

Nullstellen berechnen - Wurzelziehen und Ausklammern

Nullstellen zu finden ist oft einfacher als gedacht! Es gibt verschiedene Verfahren, je nachdem wie deine Funktion aussieht.

Das Wurzelziehen verwendest du, wenn nur eine Potenz da ist, wie bei f(x) = 2x³ + 16. Einfach null setzen: 2x³ = -16, also x³ = -8, und damit x = -2.

Beim Ausklammern hilfst du dir, wenn das absolute Glied (die Zahl ohne x) fehlt. Der Graph geht dann immer durch den Ursprung! Bei f(x) = x³ + 2x² - 8x klammerst du x aus: x$x² + 2x - 8$ = 0. Eine Nullstelle ist sofort x = 0, die anderen findest du mit der p-q-Formel.

Praxistipp: Wenn das absolute Glied null ist, geht dein Graph garantiert durch (0|0) - das ist immer eine Nullstelle!

Substitution und Polynomdivision

Bei biquadratischen Funktionen wie f(x) = ½x⁴ - 5x² + 4,5 machst du dir das Leben leichter: Ersetze x² durch z! Dann löst du die entstandene quadratische Gleichung und machst am Ende die Substitution rückgängig.

Die Polynomdivision brauchst du, wenn andere Verfahren nicht funktionieren. Du musst eine Nullstelle raten oder sie ist vorgegeben. Dann teilst du die Funktion durch den entsprechenden Linearfaktor $x - Nullstelle$.

Das Verfahren läuft immer gleich: dividieren, multiplizieren, subtrahieren - und das wiederholst du, bis nichts mehr übrig ist. Das Ergebnis ist eine Funktion niedrigeren Grades, bei der du dann wieder Nullstellen suchst.

Erfolgs-Hack: Probier bei der Polynomdivision einfache Zahlen wie ±1, ±2, ±3 aus - oft sind das die gesuchten Nullstellen!

Funktionen aufstellen und Symmetrie

Funktionen aufstellen ist wie Rückwärts-Rechnen: Du bekommst Nullstellen und einen Punkt und sollst die Gleichung finden. Zuerst schreibst du die faktorisierte Form mit den Nullstellen auf, dann bestimmst du den Parameter a durch Einsetzen des gegebenen Punktes.

Bei der Symmetrie gilt eine einfache Regel: Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung, nur gerade Exponenten bedeuten Achsensymmetrie zur y-Achse. Gemischte Exponenten = keine Symmetrie.

Du kannst Symmetrie auch rechnerisch prüfen: Setze -x für x ein. Kommt f(x) raus, hast du Achsensymmetrie. Kommt -f(x) raus, hast du Punktsymmetrie.

Zeitsparer: Bei symmetrischen Funktionen musst du nur die Hälfte berechnen - der Rest ergibt sich durch die Symmetrie!

Schnittpunkte und Symmetrie überprüfen

Schnittpunkte mit den Achsen findest du super schnell: Für die y-Achse setzt du x = 0 ein, für die x-Achse suchst du die Nullstellen. Der y-Achsenabschnitt ist immer das absolute Glied deiner Funktion!

Die Symmetrieprüfung machst du am besten rechnerisch: f$-x$ berechnen und schauen, was rauskommt. Bei f$-x$ = f(x) hast du Achsensymmetrie, bei f$-x$ = -f(x) Punktsymmetrie.

Dein Taschenrechner hilft dir beim Zeichnen: Nutze die Tabellenfunktion mit sinnvollen x-Werten und lass dir die Funktionswerte berechnen. So siehst du schnell, wie der Graph verläuft.

Tech-Tipp: Verwende den TR für Wertetabellen - das spart Zeit und verhindert Rechenfehler beim Zeichnen!

Schnittpunkte zwischen Funktionen

Wenn eine Ursprungsgerade eine andere Funktion schneidet, kannst du die Geradengleichung über einen bekannten Schnittpunkt bestimmen. Die Steigung berechnest du mit m = y/x (da die Gerade durch den Ursprung geht).

Für weitere Schnittpunkte setzt du beide Funktionen gleich: f(x) = h(x). Die entstandene Gleichung löst du am besten mit dem Taschenrechner, besonders wenn sie höheren Grades ist.

Die Schnittpunktkoordinaten bekommst du, indem du die x-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt. Nimm die einfachere - meist die Geradengleichung.

Kontroll-Check: Setze deine x-Werte in beide Funktionen ein - die y-Werte müssen identisch sein!

Einführung in die Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung startet mit der Bestimmung von Steigungen. Zeichnerisch machst du das durch Tangenten - die berühren den Graphen nur in einem Punkt und zeigen die momentane Steigung.

Die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten berechnest du mit der bekannten Formel m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$. Je näher die Punkte zusammenrücken, desto genauer wird die Tangentensteigung.

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen nur berührt, nicht schneidet. Ihre Steigung entspricht der momentanen Änderungsrate der Funktion an diesem Punkt.

Visualisierung hilft: Zeichne dir Tangenten an verschiedenen Stellen - so siehst du, wie sich die Steigung ändert!

Ableitungsfunktionen bestimmen

Die Ableitungsfunktion f'(x) gibt dir die Steigung des Graphen an jeder beliebigen Stelle x an. Sie entsteht durch den Grenzwert der Sekantensteigung, wenn h gegen null geht.

Bei der rechnerischen Bestimmung bildest du zwei Punkte P₁(x|f(x)) und P₂$x+h|f(x+h)$, berechnest die Sekantensteigung und lässt h gegen null gehen. Das klingt kompliziert, wird aber mit Übung zur Routine.

Beispiel: Aus f(x) = x² + 2x wird f'(x) = 2x + 2. Die Ableitung ist immer eine Funktion niedrigeren Grades als die ursprüngliche.

Aha-Moment: Die Ableitungsfunktion zeigt dir, wo der Graph steigt (f'(x) > 0) oder fällt (f'(x) < 0)!

Steigungen und Tangentengleichungen

Mit der Ableitungsfunktion kannst du die Steigung an jeder beliebigen Stelle berechnen - einfach den x-Wert einsetzen! Bei f'(x) = 0 liegen Extrempunkte $Hoch- oder Tiefpunkte$.

Für eine Tangentengleichung brauchst du einen Punkt auf dem Graphen und die Steigung an dieser Stelle. Die Steigung kommt aus der Ableitung, den y-Achsenabschnitt b berechnest du durch Einsetzen des Punktes.

Der Taschenrechner kann dir dabei helfen: Nutze die CALC-Funktion, um Tangentengleichungen direkt berechnen zu lassen. Das spart Zeit und verhindert Rechenfehler.

Praxis-Power: Extrempunkte findest du immer bei f'(x) = 0 - das ist ein absolutes Muss für Klausuren!

Schnittpunkte von Tangenten und Funktionen aufstellen

Schnittpunkte zweier Tangenten findest du durch Gleichsetzen: g₁(x) = g₂(x). Löse die entstandene Gleichung nach x auf und setze das Ergebnis in eine der Tangentengleichungen ein.

Um Punkte mit bestimmter Steigung zu finden, setzt du die gewünschte Steigung in die Ableitungsfunktion ein: f'(x) = gewünschte Steigung. Das x setzt du dann in die ursprüngliche Funktion ein.

Beim Aufstellen von Parabeln aus drei Punkten nutzt du f(x) = ax² + bx + c, setzt alle Punkte ein und löst das entstehende Gleichungssystem mit dem Taschenrechner.

Erfolgsgarantie: Kontrolliere deine Ergebnisse immer durch Einsetzen - so vermeidest du Punktabzug durch Flüchtigkeitsfehler!