Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

Diese Seite erläutert die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit negativen geraden und ungeraden Exponenten. Ein wesentliches Merkmal beider Funktionstypen ist die Definitionslücke bei x=0.

Potenzfunktionen mit negativ geraden Exponenten haben Graphen, die im ersten und zweiten Quadranten liegen. Sie weisen eine interessante Steigungscharakteristik auf: Für x<0 steigen sie, während sie für x>0 fallen.

Highlight: Die Krümmung wechselt am Nullpunkt: Für x<0 ist der Graph linksgekrümmt, für x>0 rechtsgekrümmt.

Das Verhalten an den Rändern zeigt, dass für x → ±∞ die Funktion gegen 0+ geht. Die Symmetrie ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Bei Potenzfunktionen mit negativ ungeraden Exponenten liegt der Graph im ersten und dritten Quadranten. Im Gegensatz zu den geraden Exponenten fällt die Funktion hier durchgehend.

Example: Gemeinsame Punkte für beide Funktionstypen sind (-1|-1) und (1|1).

Die Krümmung zeigt ein interessantes Muster: Für x<0 ist der Graph rechtsgekrümmt, für x>0 linksgekrümmt.

Vocabulary: Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst alle möglichen x-Werte. Bei negativen Exponenten ist x=0 ausgeschlossen.

Das Randverhalten unterscheidet sich leicht: Für x → -∞ geht f(x) gegen 0-, während für x → +∞ f(x) gegen 0+ strebt. Die Symmetrie ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).

Definition: Die Monotonie einer Funktion beschreibt ihr Steigungsverhalten. Potenzfunktionen mit negativen ungeraden Exponenten sind streng monoton fallend.

Diese detaillierte Betrachtung der Eigenschaften von Potenzfunktionen bietet eine umfassende Übersicht der Potenzfunktionen und ihrer charakteristischen Merkmale, was besonders für Übungen zu Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten nützlich ist.