Vollständige Funktionsuntersuchung am Beispiel f(x)=x³-x

Diese Seite bietet eine detaillierte Anleitung zur Kurvendiskussion anhand der Funktion f(x)=x³-x. Der Prozess wird in sieben Hauptschritte unterteilt, die systematisch durchgeführt werden.

1. Symmetrie: Es wird gezeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

2. Grenzwertverhalten: Das Verhalten der Funktion für x gegen plus/minus unendlich wird untersucht.

3. Nullstellen: Die Nullstellen der Funktion werden berechnet und als x₁=0, x₂=-1 und x₃=1 identifiziert.

4. Ableitungen: Die erste und zweite Ableitung der Funktion werden bestimmt.

5. Extremstellen: Die Extremstellen werden durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung der zweiten Ableitung ermittelt.

6. Wendestellen: Der Wendepunkt wird durch Nullsetzen der zweiten Ableitung und Überprüfung der dritten Ableitung bestimmt.

7. Schaubild: Eine grafische Darstellung der Funktion wird erstellt, die alle wichtigen Punkte und Eigenschaften visualisiert.

Zusätzlich enthält die Seite Informationen zu Polynomfunktionen und verschiedenen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen und Polynome höheren Grades.

Vocabulary: Kurvendiskussion - Eine systematische Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion und ihres Graphen.

Example: f(x)=x³-x wird als Beispielfunktion für die vollständige Funktionsuntersuchung verwendet.

Definition: Nullstellen sind die x-Werte, an denen eine Funktion den y-Wert Null annimmt.

Highlight: Die Berechnung von Extremstellen und Wendepunkten erfolgt durch Nullsetzen der entsprechenden Ableitungen und Überprüfung der Vorzeichen.

Quote: "f(-x) = (-x)³-(-x) = -x³ + x = − (x³-x) = -f(x) => punktsymmetrisch zum Ursprung"

Diese umfassende Anleitung zur Kurvendiskussion ist besonders nützlich für Schüler der Klasse 11 und 12, die sich auf das Abitur vorbereiten. Sie bietet eine strukturierte Herangehensweise an Kurvendiskussion Aufgaben und kann als Checkliste oder Merkblatt für die vollständige Funktionsuntersuchung dienen. Die Schritte zur Berechnung von Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen sind klar dargestellt und können auf verschiedene Kurvendiskussion Beispiele angewendet werden.