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Mathe2.563Aktualisiert 1. Okt. 20263 Seiten

Lernzettel: Lineare und Quadratische Funktionen inkl. Nullstellenberechnung

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Wenn du Mathe-Tests über Funktionen hörst, bekommst du vielleicht Panik - aber keine Sorge! Lineare und quadratische Funktionen sind eigentlich ziemlich logisch, wenn du die Grundlagen verstehst. Mit den richtigen Tricks kannst du Funktionen problemlos aufstellen, ablesen und zeichnen.
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Lineare Funktionen meistern

Lineare Funktionen haben die Form fxx = mx + b und ergeben immer eine gerade Linie. Das "m" ist die Steigung (wie steil die Gerade ist) und "b" der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Beim Ablesen aus dem Graphen brauchst du ein Steigungsdreieck: Gehe von einem Punkt der Geraden einen Schritt nach rechts, dann schaue, wie viele Schritte nach oben oder unten du musst. Positive Steigung = Gerade geht nach oben, negative Steigung = Gerade geht nach unten.

Um eine Funktionsgleichung durch zwei Punkte zu finden, zeichnest du beide Punkte ein und verbindest sie mit einem Lineal. Dann liest du den y-Achsenabschnitt ab - fertig! Für Schnittpunkte von Funktionen setzt du die beiden Gleichungen gleich und löst nach x auf.

Tipp: Bei parallelen Geraden ist die Steigung gleich, bei senkrechten Geraden ist eine Steigung das negative Gegenteil der anderen z.B.m1=2,dannm2=−1/2z.B. m₁ = 2, dann m₂ = -1/2.

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Quadratische Funktionen verstehen

Quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform fxx = ax−dx-d² + e sind dein bester Freund! Du kannst sofort alle wichtigen Infos ablesen: a bestimmt die Öffnung (positiv = nach oben, negativ = nach unten), d und e geben dir den Scheitelpunkt S(d|e).

Beim Einzeichnen startest du immer mit dem Scheitelpunkt. Dann zeichnest du symmetrisch weitere Punkte ein - quadratische Funktionen sind immer spiegelbildlich um den Scheitelpunkt!

Die Umrechnung zwischen Scheitelpunkt- und allgemeiner Form (fxx = ax² + bx + c) brauchst du oft. Von Scheitelpunkt zur allgemeinen Form: einfach die Klammer ausmultiplizieren. Andersherum nutzt du die quadratische Ergänzung.

Merkhilfe: Der Scheitelpunkt bei fxx = ax−dx-d² + e liegt bei S(d|e) - nicht bei S−d∣e-d|e!

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Schnittpunkte berechnen

Schnittpunkte mit der x-Achse (auch Nullstellen genannt) findest du, indem du fxx = 0 setzt. Bei quadratischen Funktionen löst du dann die Gleichung ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel oder durch Faktorisieren.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist viel einfacher: Setze einfach x = 0 in die Funktionsgleichung ein! Der y-Wert, den du bekommst, ist dein Schnittpunkt Sy0∣y−Wert0|y-Wert.

Bei der Funktion fxx = x² - 4 zum Beispiel: Nullstellen bei x² - 4 = 0, also x = ±2. Das ergibt die Schnittpunkte Sx₁−2∣0-2|0 und Sx₂(2|0). Für den y-Achsenabschnitt: f(0) = 0² - 4 = -4, also Sy0∣−40|-4.

Praxis-Tipp: Quadratische Funktionen können 0, 1 oder 2 Nullstellen haben - das siehst du an der Diskriminante b² - 4ac!

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