Ableitung und Tangente

Alternativer Bildtext:

²³²-1² · X² 6) f(x) = (x+4)² = x² + 4x +4x+16 5 X 5 =x²+8x+16 f'(x)=-15x+3x² f'(x)=2x+8 f'(x) = u(x). V(x)+u (x) · V'(x) X² -2 f(x) = x²+x² f'(x)=1x²-2x-³ e) f(x)=x. (x+1) f(x) = x² + x = x² +1 X f'(x)=2x f) # *-**-*-*-*-*** f(x) = x4- x² f'(x)=2x-1 g) f(x) = x²¹² + x³+1 X10 j) k) f(x)=x²+x+1 хто хто хто f(x)=x²+x²+x-10 f'(x)=2x-2x10x™" f(x)=0,5x.ex f'(x)-0,5-ex+0,5x.ex = ex.(0,5+0,5x) f(x)=x.ex-x² f'(x)=1.ex+x-ex-2x h) f(x)=x² + 2x² xs f(x)=x4+2x² X5 X5 f(x)=x²+2x-³ f'(x)=-x-²-6x4 i) f(x)=-4-Sin (IT-X) f'(x)=-4.cos (TT-x) (-1) ausmultiplizieren vereinfachen (umformen als Summe schreiben кенеи & Produktregel e-Funktion () f(x)=(x-3).ex f'(x)=1-e²+ (x-3). 2e²x = ²x. ((x-3).2)) ● Graphisches Ableiten Ableitung die Steigung der an jeder Stelle a gibt f(a) Tangente an den Graphen vou fau Steigung an einem Punkt = Ableitungswert (Mit Geodreieck ablesen!) Www X Au # aus w wird n, aus u wird v, aus v wird Gerade Nullstellen Extremstellen wenn die Steigung von f positiv ist, verläuft der Graph von f über der X-Achse wenn die Steigung vou f negativ ist, verläuft der Graph von f' unter der X-Acuse EX →→X f(x) negative Steigung f'(x) im negativen Bereich f(x) positive Steigung f'(x) im positiven Bereich ● von f zu f': ● ● Zusammenhang Funktion & ● ● Ableitung www x von f'zuf: Extremstellen (HP/TP) von f(x) sind Nullstellen bei f'(x) da: f'(x)/Steigung an diesen Stellen =0 Wendepunkt von f(x) sind Extremstellen (HP/TP) bei f'(x) f: positive Steigung (sms) → f'über x-Achse (x>0) f: negative Steigung (smf)→ f'unter x-Achse (x<0) f=LK f'=monoton wachsend f=RK f'- monoton fallend Nullstellen von f'(x) sind Extremstellen von f(x) da f'(x) Steigung -0 Maximum: VZW+/\-¯ Minimum: VZW-\/+ Extremstellen von f'(x) sind wendestellen von f(x) f': x>0 (über der X-Achse) positive Steigung=sms f': x<0 (unter der x-Achse): negative Steigung=smf f'=monoton wachsend →f=LK f'-monoton fallend → F=RK f(x) negative Steigung f'(x) im negativen Bereich y ->> →→X m=0 M=0 f(x) f'(x) f"(x) f(x) positive Steigung f'(x) im positiven Bereich BSP von f'zu f: a) b) C) d) -3 -2 -1 TY 2- 1- 0 -1 Graph von f' 2 3 Gegeben ist der Graph der Ableitungsfunktion f'einer Funktion f. Bestimme Extremstellen von f. Bestimme wendestellen vonf. Für welche x-werte ist f links gekrümmt? Begründen Sie, dass f(1) >f(-1) ist wendestellen bei X4~0₁8, X~2,1 a) (6) d) Minimumstellen bei x₁=-2₁ X₂=3 da f'dort einen VZW von-\/+ hat Maximumstelle bei x₂=1 da f'dort ein VZW von +/\-hat Graph von f (linksgekrümmt für x<-0,8, X>2,1 Im Intervall [-1,1] ist f'(x) >0, d.n. f ist dort sms 1.) 2.) 3.) an welchem Punkt hat Graph X die Steigung Y? f(x)= x³-2x-1 f'(x)= 3x²-2 f'(x)=2x M=1 In welchen Punkten verläuft die Taugente an den Graphen x parallel zum Graphen Y? -2=2X1:2 -1=X 2 1=3x²³-2/+2 3=3x²1:3 +1=X₁,2 f(x)=x²-2 g(x)=-2x +3 M=-2 m=0 P₁(1/-2) P₂ (110) 3 f(1) = 1³-2-1-1=-2 f(-1)=(-1)-2-(-1)-1=0 2 f(-1)=(-1)²-2 =-1 P(-11-1) welche Steigung hat der Graph X im Punkt Y? f(x)= 1. (3x+2) ³ P(2/f(2)) m=? @f'(x)=3-(3x+2) ².3 2 f(2)= (3x+2)² 9 = (3-2+2)² =64 4) Besitzt Graph X Punkte mit waagerechter Tangente? f'(x)=3-(3x+2) ²:3 2 0= (3x+2)²/ 9 0=3x+2/-2 -2=3x 1:3 ===x 5.) f(3) = 1 · (³-(-3) + 2)² P(-²/0) ·(-²) =1.0²=0. 6.) In welchem Punkt hat Graph X die Steigung Y? m=1 f'(x)=3-(3x+2)².3 f'(x) = 3. 9 1= (3x+2)²/ 1=3x+2 1-2 -1=3x 1:3 -1=X ↓ +:y=f'(a) (x-a) + f(a) y = 1 (x + 1/2 ) + ¹1 1 y=x+4 -1=3x+2 1-2 -3=3x 1:3 -1=X g(x)=-x-2x+3,5 f(x)=x²4x+4 ↓ ty=f'(a) (x-a) + f(a) Y = 1 (X+1) - 1/ y=x+ weisen Sie nach, dass sich die Graphen you X and Y im Punkt P berühren. P(0,5/f(0,5)) Bedingungen: f(a) = g(a) f'(a) = g'(a) 1 f(0,5) = 0,5²4-0,5+4 = 2,25 9(05)=-(05)²-2-0,5 +3,5=2,25 2 f'(x)=2x-4 f'(0,5)=2-0,5-4-3 V g'(x)=-2x-2 g'(0,5)=-2-0,5-2=-3 Gleichung der gemeinsamen Tangente an P(0,5/f(0,5)) +:y=-3-(x-0,5) +2,25 y=-3x+3,75