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- Ableitungen - Exponentialfunktion - Kurvendiskussion - Rekonstruktionsaufgaben - Wendetangente & Steigungswinkel - Extremwertprobleme - Stammfunktion & unbestimmtes Integral

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ABLEITUNGEN Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.xc^~^ Faktorregel: Für eine Function of mit der Gleichung Summenregel: Für eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = EXPONENTIALFUNKTION UND IHRE ABLEITUNGEN Es gibt eine reelle Zahl e, so dass gilt: (ex) = ex Die Exponentialfunction zur Basis e wird natürliche Exponential function genannt. f(x) = u(v(x)) f(x) = u(v(x)) v'(x) Kettenregel Ist die Funktion f eine Verketting zweier differenzierbarer Funktionen u und v mit f(x) = U(v(x)), so ist auf f differenzierbar und es gilt: Bsp.: fd = ³x² u(x) = ex u²(x) = e v(oc) = 30c² v(a) = 6x äußere Ableitung innere Ableitung KURVEN DISKUSSION 1. Definitionsmenge f(oc) = f(x) =√x-8² Produktregel Die Funktion f sei das Produkt der beider differenzierbaren Funktionen u und v. f(x) = u(x) · v(x) 2. gerade Dann ist auch die Funktion f differenzierbar und es gilt: f'(x) = v'(x). V(x) + v²(x) · u(x) Bsp.: f(x)=x²-x² u(x)=x² v(x)=x² X U'(x) = 4x³ 'V'(x) = 5x4 D= R\O f(x) = √² D= R + 8> 0 1+8 x > 8 D={R|x78) f(x) = a-g(x), a&R, gilt f'(x) = a.g`(x) g(x) + u(x), gilt f'(x) = g² (x) + (₁²(x) x " 3x² Nuustellen f(oc) = 0 f'(x) = e 4. Schnittpunkte mit den Achsen y-Achse x = 0 Sy (xy|yy) 6x Verhalten für x → ±∞0 Betrachtung des höchsten Exponenten und des Vorzeichen gerade & positives Vorzeichen (2.B. f(x)= x² + 3x³ - 2x+5) x+∞...

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f (x) → +∞ X→ ∞ f (x) → +00 & negatives Vorzeichen (z. B. f(x) = -x² + 3x³ - 2x + 5) x+∞ f (x) →∞ X-8 f(x)→∞ f'(x) = (3x² + 20c) (x² + x) + (2x + 1) · (x³ + x²) جا 2. Symmetrie Achsensymmetrie (zur y-Achse) Punutsymmetrie (zur x. -Achse) = = →Nach dem Exponenten Schauen 3. 3x4 + 3x³ + 2x³ + 2x² + 2x² + 200³ + x³ + x² 5x4 + 8x³+3x² f(-x) = 0 f(-x) = f(x) f(x) = -f(-x) ₂x = b ex. In(e)=un (6) nur gerade Exponenten => Achsensymmetrie ↳ nur ungerade Exponenten → Punutsymmetrie ↳ gemischte Exponenten ⇒ weine elementare Symmetrie erkennbar (u.e.s.e) 5. Ableitungen I f'(x) I f"(x) III f(x) x = Substitution p-q- Formel Ausklammern (nur möglich, wenn kein absolutes Glied (Zahl ohne x) vorhanden ist) Iln (n (b) ungerade & positives Vorzeichen (2.B.: f(x) = 3x0²³² + 5x² - 2x + 2) x+∞ f (x) → +∞0 x →∞ f (x) →∞ 4. ungerade & negatives Vorzeichen (2.B.: f(x) = -3x³ + Soc² - 2x +2) x+∞ f (x) →∞ ∞∞ f (x) → +∞ 6. Extrema f'(x) = 0 ^f"(x) = 0 ( wenn dies nicht erfüllt wird → • Sattelpunut) ↓ F"(x) > 0→ TP f" (oc) < 0→ HP 8. Graph shizzieren berechnete Punkte einzeichen · evtl Wertetabelle mit dem Taschenrechner für zusätzliche Punkte (TP (ocalya) HP(XCE₂ | YE₂)/ REKONSTRUKTIONS AUFGABEN 1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung und ihrer Ableitungen Funktion 3. Grades: flod) = ax ²³ + bx² + cx + d f'(x) = 30x²+2bx+c f"(x) = 6ax + 26 2. Formulieren der Bedingungen Eigenschaft des Graphen A (012) liegt auf den Graphen Bei x = 0 liegt ein HP Bei x = 1 wird die ac-Achse geschnitten B-116) liegt auf dem Graphen Suizze Bedingung f(0) = -2 A₁ O f'(o)= 0 f(1) = 0 EXTREMWERTPROBLEME A2 →y-Werte berechnen floce). f(-₁) = -6 x Gleichung f(0) = a.0³ +b.0³ +C.0+d=2 WENDETANGENTE & STEIGUNGSWINKEL b) Gesucht: Wendetangente, also die Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt, bzw. durch den Wendepunkt geht. 1. Schritt: Die Funktionsgleichung der Tangente, es ist eine Gerade, also eine lineare Funktion, aufstellen: t(x) = mx + b => es müssen also m (= die Steigung der Tangente) und b [= der y-Achsenabschnitt der Tangente (Schnittpunkt mit der y-Achse)] bestimmt werden. 2. Schritt: Bestimmung von m (Steigung): f'(o) 3a 0² + 2b⋅0+C =0 f(1) = a. 1³ + b⋅ 1² + C · 1 + α = 0 Da die gesuchte Funktion t(x) eine Tangente der Funktion f(x) ist, haben die Funktion f(x) und die Tangente t(x) dieselbe Steigung in diesem Punkt (also dem Wendepunkt). Was gibt die Steigung an? Die erste Ableitung f'(x). |f(-1) = a.(-1)³ + b · (-1)³ + C-1 + d Aufgabe: Ein Gärtner besitzt einen Vorrat von Umrandungssteinen, die insgesamt für eine Strecke von 10m reicht. Er möchte damit ein kreisformiges Rosenbeet und ein quadratisches Tulpen- beet abgrenzen. Ermitteln Sie, welche Maße diese Beete erhalten sollen, wenn die Gesamtfläche möglichst wein ausfallen soll. =-6 1. Schritt: Aufstellen einer Hauptbedingung (zu maximierende /minimierende Größe) Hauptbedingung: Ages = Aureist A Quadrat A(six) = π√² + x² 7 Wendepunkte f"(a)=0 ^f"(x) = 0 3. Aufstellen eines Gleichungssystems Id=-2 C = 0 a+b+c+d=0 a+b-c+d=-6 I I IIII a+b 2 = 0 1+2 a+b = 2 I atb-0-2=-6 III IV -a+b=-4 a +b = 2 - a+b = -4 26 = -21:2 6 = -1 t(x)=mx+b /m=- f" () >0 R-L-WP f (x) < 0 L-R-WP, = b in I tan α = m a-1=2 a = 3 Deshalb gilt: Steigung der Funktion im Wendepunkt = Steigung der Tangent im Wendepunkt f' (2) = t'(2) = m Um die Steigung m der Tangente zu berechnen, muss der Wert 2 (= x-Wert des Wendepunktes) in f' eingesetzt werden: f(2)=2²-2-2+ Steigungswinkel (+1 f(³) = 3x³ - 1x² + Ox-2 = 30c³-x²-2 5. Überprüfen von bisher nicht verwendeter Eigenschaften = m (= Steigung der Tangente und der Funktion im WP) Damit wurde die Steigung der Wendetangente ermittelt m=-und dieser Wert kann in die Tangentengleichung t(x) eingesetzt werden: =-=-einsetzen t(x) = -x + b => jetzt fehlt noch b. Dies wird ermittelt, in dem man einen Punkt der Tangente, in diesem Fall der Wendepunkt, durch den die Tangente durchgehen soll, in die Tangentengleichung einsetzt. 3. Schritt: Bestimmung von b (v-Achsenabschnitt der Wendetangente): Der Wendepunkt WP (2/3) wird in die Tangentengleichung t(x) eingesetzt: t(x) = -x +b /WP (2/) einsetzen 2+b / berechnen und nach b auflösen =-1+b / +1 = b => damit wurde b bestimmt und die Tangentengleichung ermittelt t(x) = -x + Bsp.: tan α = 6 arc tan (6) = x ≈89,49 2. Schritt: Aufstellen der Nebenbedingung (weitere Informationen benutzen) Nebenbedingung: 10M = Uureis + UQuadrat 3. Schritt: Zielfunktion aufstellen + (10-2″r) ² 10m = 2πr + 4x auflösen nach x (oder r) Zielfunction: A(s) = πr ² + = πYT² + = = mc² + ({ - ½ m²) ² = Nr² + (1 - 2 · € ¹ ½ mr + ( £m)²) = Nr² + ( 4 - { ¶ +¾¶²²) (+ €²)‹² - €x + 4 10-2π = 10 - 201 4 Allgemein: f(x) = 3² F(oc) = Stammfunution F (Flächeninhaltsfunwhion) 들 - 슬 1 +10 = n+1 Bsp.: Bestimmen Sie das unbestimmte Integral von f. a) f(x)= x² sos dx = = x² + c S20²³ dx = 2. t₁x² +c b) f(x) = 200³ c) f(x) = 3x² - 6x + 8 √3x² - 6x + 8 die = integrieren Funktion f 7+1 x 1+1 STAMMFUNKTION & UNBESTIMMTES INTEGRAL Definition der Stammfunktion: Jede differenzierbare Function F₁ für die F'(x) = f(x) gilt, wird als Stammfunution von f bezeichnet. Definition des unbestimmten Integrals: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion of heißt unbestimmtes Integral von f. Schreibweise: Sfoc) doc 3.7x²·6·1x² + 8x + c +C 10-2π = 4x 1:4 40-2Tr 4 ·3x²+8x -2+1 4. Schritt: Extremalbestimmung / Ergebnis (1. Ableitung bilden und gleich null setzen) f'(r) = 2. (+²). -Ex r = x →in Hauptbedingung einsetzen 0=2(π+²).- z = 2(N+²). F 을ㅠ Z(T+ये ४) =r 5x 0,7m differenzieren 10-2trr 4 x= x= 10-24.0₁7 ≈ 1,4m Amin = A(0₁7: 1, 4) = π1·0₁7² + 1,4² 3,5m² (Bsp.: f(x): 6x^ F(x) = 6x²) = 3x³. -341 -2 = d) f(x)===x²³ Sx²³ dx = = 3+1x² 2x - 1x² +c +=2+1x² '+c = ¾x² + = ¾ √x³ +c e) f(x) = 4x + √(4x + == ²) dx = 4.17 x ² f) f(x) = f Sx dx = +1x g) f(x)=(5x+1)³ S(50x+1)³ +1 (5x+1)^ +C = (5x+1)ª +c +C dx = 1₁ (5x+1)ª . h) f(x) = 2+2x+1² = 2(2x+1)* S2(2x+1)= dx = 2· £·† (2x+1)² +c = ¾ (2x+1) ¾ +c = ___|+ ÊT Ableitung f 1:2 (π+ N²) = (2x+1)³ +C = 4• ²x² +·¼x²² +c = 2x² - 1x²^ +C = 2x² - +c

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Extrema f'(x) = 0 ^f"(x) = 0 ( wenn dies nicht erfüllt wird → • Sattelpunut) ↓ F"(x) > 0→ TP f" (oc) < 0→ HP 8. Graph shizzieren berechnete Punkte einzeichen · evtl Wertetabelle mit dem Taschenrechner für zusätzliche Punkte (TP (ocalya) HP(XCE₂ | YE₂)/ REKONSTRUKTIONS AUFGABEN 1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung und ihrer Ableitungen Funktion 3. Grades: flod) = ax ²³ + bx² + cx + d f'(x) = 30x²+2bx+c f"(x) = 6ax + 26 2. Formulieren der Bedingungen Eigenschaft des Graphen A (012) liegt auf den Graphen Bei x = 0 liegt ein HP Bei x = 1 wird die ac-Achse geschnitten B-116) liegt auf dem Graphen Suizze Bedingung f(0) = -2 A₁ O f'(o)= 0 f(1) = 0 EXTREMWERTPROBLEME A2 →y-Werte berechnen floce). f(-₁) = -6 x Gleichung f(0) = a.0³ +b.0³ +C.0+d=2 WENDETANGENTE & STEIGUNGSWINKEL b) Gesucht: Wendetangente, also die Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt, bzw. durch den Wendepunkt geht. 1. Schritt: Die Funktionsgleichung der Tangente, es ist eine Gerade, also eine lineare Funktion, aufstellen: t(x) = mx + b => es müssen also m (= die Steigung der Tangente) und b [= der y-Achsenabschnitt der Tangente (Schnittpunkt mit der y-Achse)] bestimmt werden. 2. Schritt: Bestimmung von m (Steigung): f'(o) 3a 0² + 2b⋅0+C =0 f(1) = a. 1³ + b⋅ 1² + C · 1 + α = 0 Da die gesuchte Funktion t(x) eine Tangente der Funktion f(x) ist, haben die Funktion f(x) und die Tangente t(x) dieselbe Steigung in diesem Punkt (also dem Wendepunkt). Was gibt die Steigung an? Die erste Ableitung f'(x). |f(-1) = a.(-1)³ + b · (-1)³ + C-1 + d Aufgabe: Ein Gärtner besitzt einen Vorrat von Umrandungssteinen, die insgesamt für eine Strecke von 10m reicht. Er möchte damit ein kreisformiges Rosenbeet und ein quadratisches Tulpen- beet abgrenzen. Ermitteln Sie, welche Maße diese Beete erhalten sollen, wenn die Gesamtfläche möglichst wein ausfallen soll. =-6 1. Schritt: Aufstellen einer Hauptbedingung (zu maximierende /minimierende Größe) Hauptbedingung: Ages = Aureist A Quadrat A(six) = π√² + x² 7 Wendepunkte f"(a)=0 ^f"(x) = 0 3. Aufstellen eines Gleichungssystems Id=-2 C = 0 a+b+c+d=0 a+b-c+d=-6 I I IIII a+b 2 = 0 1+2 a+b = 2 I atb-0-2=-6 III IV -a+b=-4 a +b = 2 - a+b = -4 26 = -21:2 6 = -1 t(x)=mx+b /m=- f" () >0 R-L-WP f (x) < 0 L-R-WP, = b in I tan α = m a-1=2 a = 3 Deshalb gilt: Steigung der Funktion im Wendepunkt = Steigung der Tangent im Wendepunkt f' (2) = t'(2) = m Um die Steigung m der Tangente zu berechnen, muss der Wert 2 (= x-Wert des Wendepunktes) in f' eingesetzt werden: f(2)=2²-2-2+ Steigungswinkel (+1 f(³) = 3x³ - 1x² + Ox-2 = 30c³-x²-2 5. Überprüfen von bisher nicht verwendeter Eigenschaften = m (= Steigung der Tangente und der Funktion im WP) Damit wurde die Steigung der Wendetangente ermittelt m=-und dieser Wert kann in die Tangentengleichung t(x) eingesetzt werden: =-=-einsetzen t(x) = -x + b => jetzt fehlt noch b. Dies wird ermittelt, in dem man einen Punkt der Tangente, in diesem Fall der Wendepunkt, durch den die Tangente durchgehen soll, in die Tangentengleichung einsetzt. 3. Schritt: Bestimmung von b (v-Achsenabschnitt der Wendetangente): Der Wendepunkt WP (2/3) wird in die Tangentengleichung t(x) eingesetzt: t(x) = -x +b /WP (2/) einsetzen 2+b / berechnen und nach b auflösen =-1+b / +1 = b => damit wurde b bestimmt und die Tangentengleichung ermittelt t(x) = -x + Bsp.: tan α = 6 arc tan (6) = x ≈89,49 2. Schritt: Aufstellen der Nebenbedingung (weitere Informationen benutzen) Nebenbedingung: 10M = Uureis + UQuadrat 3. Schritt: Zielfunktion aufstellen + (10-2″r) ² 10m = 2πr + 4x auflösen nach x (oder r) Zielfunction: A(s) = πr ² + = πYT² + = = mc² + ({ - ½ m²) ² = Nr² + (1 - 2 · € ¹ ½ mr + ( £m)²) = Nr² + ( 4 - { ¶ +¾¶²²) (+ €²)‹² - €x + 4 10-2π = 10 - 201 4 Allgemein: f(x) = 3² F(oc) = Stammfunution F (Flächeninhaltsfunwhion) 들 - 슬 1 +10 = n+1 Bsp.: Bestimmen Sie das unbestimmte Integral von f. a) f(x)= x² sos dx = = x² + c S20²³ dx = 2. t₁x² +c b) f(x) = 200³ c) f(x) = 3x² - 6x + 8 √3x² - 6x + 8 die = integrieren Funktion f 7+1 x 1+1 STAMMFUNKTION & UNBESTIMMTES INTEGRAL Definition der Stammfunktion: Jede differenzierbare Function F₁ für die F'(x) = f(x) gilt, wird als Stammfunution von f bezeichnet. Definition des unbestimmten Integrals: Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion of heißt unbestimmtes Integral von f. Schreibweise: Sfoc) doc 3.7x²·6·1x² + 8x + c +C 10-2π = 4x 1:4 40-2Tr 4 ·3x²+8x -2+1 4. Schritt: Extremalbestimmung / Ergebnis (1. Ableitung bilden und gleich null setzen) f'(r) = 2. (+²). -Ex r = x →in Hauptbedingung einsetzen 0=2(π+²).- z = 2(N+²). F 을ㅠ Z(T+ये ४) =r 5x 0,7m differenzieren 10-2trr 4 x= x= 10-24.0₁7 ≈ 1,4m Amin = A(0₁7: 1, 4) = π1·0₁7² + 1,4² 3,5m² (Bsp.: f(x): 6x^ F(x) = 6x²) = 3x³. -341 -2 = d) f(x)===x²³ Sx²³ dx = = 3+1x² 2x - 1x² +c +=2+1x² '+c = ¾x² + = ¾ √x³ +c e) f(x) = 4x + √(4x + == ²) dx = 4.17 x ² f) f(x) = f Sx dx = +1x g) f(x)=(5x+1)³ S(50x+1)³ +1 (5x+1)^ +C = (5x+1)ª +c +C dx = 1₁ (5x+1)ª . h) f(x) = 2+2x+1² = 2(2x+1)* S2(2x+1)= dx = 2· £·† (2x+1)² +c = ¾ (2x+1) ¾ +c = ___|+ ÊT Ableitung f 1:2 (π+ N²) = (2x+1)³ +C = 4• ²x² +·¼x²² +c = 2x² - 1x²^ +C = 2x² - +c