App öffnen

Fächer

Exponentialfunktion & Mathe Aufgaben Q1 - Zusammenfassung PDF

Öffnen

119

0

L

Luca

17.2.2021

Mathe

Lernzettel Q1

Exponentialfunktion & Mathe Aufgaben Q1 - Zusammenfassung PDF

Die Exponentialfunktion und ihre Ableitungen sind zentrale Themen der Analysis. Die natürliche Exponentialfunktion basiert auf der Eulerschen Zahl e und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist. Wichtige Regeln wie die Ketten-, Produkt- und Quotientenregel werden erläutert und anhand von Beispielen veranschaulicht. Die Kurvendiskussion umfasst verschiedene Schritte zur vollständigen Analyse einer Funktion, einschließlich Definitionsmenge, Symmetrie, Nullstellen und Verhalten im Unendlichen. Extremwertprobleme und Rekonstruktionsaufgaben runden die mathematische Betrachtung ab.

...

17.2.2021

2314

ABLEITUNGEN
Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.x²-²
Faktorregel: Für eine Function of mit der

Öffnen

Kurvendiskussion und Funktionsanalyse

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Werkzeug der Analysis zur umfassenden Untersuchung von Funktionen. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Schritte einer Kurvendiskussion detailliert erläutert.

  1. Definitionsmenge: Es wird bestimmt, für welche x-Werte die Funktion definiert ist. Dies ist besonders wichtig bei Wurzel- und Bruchfunktionen.

  2. Symmetrie: Die Funktion wird auf Achsen- oder Punktsymmetrie untersucht. Dies kann oft schon anhand der Funktionsgleichung erkannt werden.

Vocabulary: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f(-x) = f(x) gilt, Punktsymmetrie wenn f(-x) = -f(x).

  1. Nullstellen: Die x-Werte, für die f(x) = 0 gilt, werden ermittelt. Verschiedene Methoden wie die p-q-Formel oder das Ausklammern können hier zum Einsatz kommen.

  2. Verhalten im Unendlichen: Das Verhalten der Funktion für sehr große positive und negative x-Werte wird analysiert. Dies gibt Aufschluss über den Verlauf der Funktion an den Rändern des Koordinatensystems.

Example: Bei einer Funktion f(x) = x^2 + 3x^3 - 2x + 5 geht f(x) für x → ±∞ gegen +∞, da der höchste Exponent ungerade und das Vorzeichen positiv ist.

  1. Ableitungen: Die erste, zweite und gegebenenfalls dritte Ableitung der Funktion werden gebildet. Diese sind entscheidend für die Bestimmung von Extrempunkten und Wendepunkten.

Highlight: Die Ableitungen sind der Schlüssel zur Identifizierung wichtiger Eigenschaften der Funktion wie Steigung, Krümmung und Wendepunkte.

  1. Extrema: Durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung der zweiten Ableitung werden Hoch- und Tiefpunkte bestimmt.

  2. Wendepunkte: Nullstellen der zweiten Ableitung, bei denen die dritte Ableitung ungleich Null ist, kennzeichnen Wendepunkte.

  3. Graphen skizzieren: Abschließend wird der Graph der Funktion unter Berücksichtigung aller ermittelten Eigenschaften gezeichnet.

Diese systematische Vorgehensweise ermöglicht eine vollständige Analyse der Funktion und ihres Graphen.

ABLEITUNGEN
Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.x²-²
Faktorregel: Für eine Function of mit der

Öffnen

Rekonstruktionsaufgaben und Extremwertprobleme

In diesem Abschnitt werden fortgeschrittene Anwendungen der Differentialrechnung behandelt, insbesondere Rekonstruktionsaufgaben und Extremwertprobleme.

Rekonstruktionsaufgaben erfordern das Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand gegebener Eigenschaften des Graphen. Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung und ihrer Ableitungen
  2. Formulieren der Bedingungen basierend auf den gegebenen Eigenschaften
  3. Aufstellen eines Gleichungssystems
  4. Lösen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten
  5. Überprüfen von bisher nicht verwendeten Eigenschaften

Example: Für eine Funktion dritten Grades f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d werden Bedingungen wie f(0) = -2 oder f'(0) = 0 in Gleichungen umgesetzt und gelöst.

Extremwertprobleme sind praktische Anwendungen der Differentialrechnung zur Optimierung realer Situationen. Ein typisches Vorgehen beinhaltet:

  1. Aufstellen einer Hauptbedingung (zu maximierende oder minimierende Größe)
  2. Formulieren von Nebenbedingungen
  3. Umformen der Hauptbedingung in eine Funktion einer Variablen
  4. Bestimmen der Extrema dieser Funktion

Highlight: Extremwertprobleme zeigen die praktische Relevanz der Differentialrechnung in Alltag und Wirtschaft, z.B. bei der Optimierung von Flächen oder Volumina.

Abschließend wird die Berechnung von Wendetangenten und Steigungswinkeln erläutert. Diese Konzepte sind wichtig für das tiefere Verständnis des Funktionsverhaltens und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der angewandten Mathematik.

Definition: Die Wendetangente ist die Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt. Ihr Steigungswinkel gibt Aufschluss über die Neigung der Funktion an diesem kritischen Punkt.

Die Beherrschung dieser fortgeschrittenen Techniken ermöglicht es, komplexe mathematische Probleme zu lösen und reale Situationen zu optimieren.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

Knowunity wurde bei Apple als "Featured Story" ausgezeichnet und hat die App-Store-Charts in der Kategorie Bildung in Deutschland, Italien, Polen, der Schweiz und dem Vereinigten Königreich regelmäßig angeführt. Werde noch heute Mitglied bei Knowunity und hilf Millionen von Schüler:innen auf der ganzen Welt.

Ranked #1 Education App

Laden im

Google Play

Laden im

App Store

Knowunity ist die #1 unter den Bildungs-Apps in fünf europäischen Ländern

4.9+

Durchschnittliche App-Bewertung

20 M

Schüler:innen lieben Knowunity

#1

In Bildungs-App-Charts in 17 Ländern

950 K+

Schüler:innen haben Lernzettel hochgeladen

Immer noch nicht überzeugt? Schau dir an, was andere Schüler:innen sagen...

iOS User

Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Philipp, iOS User

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Lena, iOS Userin

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

2.314

17. Feb. 2021

3 Seiten

Exponentialfunktion & Mathe Aufgaben Q1 - Zusammenfassung PDF

L

Luca

@lucaleon

Die Exponentialfunktionund ihre Ableitungen sind zentrale Themen der Analysis. Die natürliche Exponentialfunktion basiert auf der Eulerschen Zahl e und hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist. Wichtige Regeln wie die Ketten-, Produkt- und Quotientenregel werden

... Mehr anzeigen
ABLEITUNGEN
Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.x²-²
Faktorregel: Für eine Function of mit der

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Kurvendiskussion und Funktionsanalyse

Die Kurvendiskussion ist ein zentrales Werkzeug der Analysis zur umfassenden Untersuchung von Funktionen. In diesem Abschnitt werden die einzelnen Schritte einer Kurvendiskussion detailliert erläutert.

  1. Definitionsmenge: Es wird bestimmt, für welche x-Werte die Funktion definiert ist. Dies ist besonders wichtig bei Wurzel- und Bruchfunktionen.

  2. Symmetrie: Die Funktion wird auf Achsen- oder Punktsymmetrie untersucht. Dies kann oft schon anhand der Funktionsgleichung erkannt werden.

Vocabulary: Achsensymmetrie liegt vor, wenn f(-x) = f(x) gilt, Punktsymmetrie wenn f(-x) = -f(x).

  1. Nullstellen: Die x-Werte, für die f(x) = 0 gilt, werden ermittelt. Verschiedene Methoden wie die p-q-Formel oder das Ausklammern können hier zum Einsatz kommen.

  2. Verhalten im Unendlichen: Das Verhalten der Funktion für sehr große positive und negative x-Werte wird analysiert. Dies gibt Aufschluss über den Verlauf der Funktion an den Rändern des Koordinatensystems.

Example: Bei einer Funktion f(x) = x^2 + 3x^3 - 2x + 5 geht f(x) für x → ±∞ gegen +∞, da der höchste Exponent ungerade und das Vorzeichen positiv ist.

  1. Ableitungen: Die erste, zweite und gegebenenfalls dritte Ableitung der Funktion werden gebildet. Diese sind entscheidend für die Bestimmung von Extrempunkten und Wendepunkten.

Highlight: Die Ableitungen sind der Schlüssel zur Identifizierung wichtiger Eigenschaften der Funktion wie Steigung, Krümmung und Wendepunkte.

  1. Extrema: Durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung der zweiten Ableitung werden Hoch- und Tiefpunkte bestimmt.

  2. Wendepunkte: Nullstellen der zweiten Ableitung, bei denen die dritte Ableitung ungleich Null ist, kennzeichnen Wendepunkte.

  3. Graphen skizzieren: Abschließend wird der Graph der Funktion unter Berücksichtigung aller ermittelten Eigenschaften gezeichnet.

Diese systematische Vorgehensweise ermöglicht eine vollständige Analyse der Funktion und ihres Graphen.

ABLEITUNGEN
Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.x²-²
Faktorregel: Für eine Function of mit der

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Rekonstruktionsaufgaben und Extremwertprobleme

In diesem Abschnitt werden fortgeschrittene Anwendungen der Differentialrechnung behandelt, insbesondere Rekonstruktionsaufgaben und Extremwertprobleme.

Rekonstruktionsaufgaben erfordern das Aufstellen einer Funktionsgleichung anhand gegebener Eigenschaften des Graphen. Der Prozess umfasst folgende Schritte:

  1. Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung und ihrer Ableitungen
  2. Formulieren der Bedingungen basierend auf den gegebenen Eigenschaften
  3. Aufstellen eines Gleichungssystems
  4. Lösen des Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten
  5. Überprüfen von bisher nicht verwendeten Eigenschaften

Example: Für eine Funktion dritten Grades f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d werden Bedingungen wie f(0) = -2 oder f'(0) = 0 in Gleichungen umgesetzt und gelöst.

Extremwertprobleme sind praktische Anwendungen der Differentialrechnung zur Optimierung realer Situationen. Ein typisches Vorgehen beinhaltet:

  1. Aufstellen einer Hauptbedingung (zu maximierende oder minimierende Größe)
  2. Formulieren von Nebenbedingungen
  3. Umformen der Hauptbedingung in eine Funktion einer Variablen
  4. Bestimmen der Extrema dieser Funktion

Highlight: Extremwertprobleme zeigen die praktische Relevanz der Differentialrechnung in Alltag und Wirtschaft, z.B. bei der Optimierung von Flächen oder Volumina.

Abschließend wird die Berechnung von Wendetangenten und Steigungswinkeln erläutert. Diese Konzepte sind wichtig für das tiefere Verständnis des Funktionsverhaltens und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der angewandten Mathematik.

Definition: Die Wendetangente ist die Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt. Ihr Steigungswinkel gibt Aufschluss über die Neigung der Funktion an diesem kritischen Punkt.

Die Beherrschung dieser fortgeschrittenen Techniken ermöglicht es, komplexe mathematische Probleme zu lösen und reale Situationen zu optimieren.

ABLEITUNGEN
Potenzregel: Für eine Funution f mit der Gleichung f(x) = x², new, gilt f'(x) = n.x²-²
Faktorregel: Für eine Function of mit der

Melde dich an, um den Inhalt freizuschaltenEs ist kostenlos!

Zugriff auf alle Dokumente

Verbessere deine Noten

Werde Teil der Community

Mit der Anmeldung akzeptierst du die Nutzungsbedingungen und die Datenschutzrichtlinie

Ableitungen und Exponentialfunktionen

Die Grundlagen der Differentialrechnung werden in diesem Abschnitt behandelt, wobei der Fokus auf den wichtigsten Ableitungsregeln und der Exponentialfunktion liegt.

Die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel werden zunächst vorgestellt und bilden die Basis für komplexere Ableitungen. Besondere Aufmerksamkeit wird der natürlichen Exponentialfunktion gewidmet, die auf der Eulerschen Zahl e basiert.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion ist definiert als f(x) = e^x und hat die einzigartige Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist: (e^x)' = e^x.

Die Kettenregel wird ausführlich erklärt und an einem Beispiel demonstriert. Sie ist besonders wichtig für das Ableiten zusammengesetzter Funktionen.

Beispiel: Für f(x) = e^(3x^2) gilt f'(x) = e^(3x^2) · 6x, wobei e^(3x^2) die äußere Ableitung und 6x die innere Ableitung darstellt.

Die Produktregel wird ebenfalls vorgestellt und mit einem konkreten Rechenbeispiel veranschaulicht. Diese Regel ist unerlässlich für das Ableiten von Funktionen, die aus dem Produkt zweier Funktionen bestehen.

Highlight: Die Beherrschung dieser grundlegenden Ableitungsregeln ist entscheidend für die erfolgreiche Durchführung einer Kurvendiskussion und die Lösung von Extremwertaufgaben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user