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Ableitungen

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 Themen:
1. Ableitungen (Definition, Regeln, grafisch ableiten, zuordnen + begründen, Shizzieren, Ableitung der e-Funktionen)
2. Tangentengl

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Klausur Zusammenfassung Themen: Ableitungen, Tangentengleichung, Monotonie, Krümmung, Extrempunkte, Wendepunkte, Differenzialrechnung in Sachsituationen

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Themen: 1. Ableitungen (Definition, Regeln, grafisch ableiten, zuordnen + begründen, Shizzieren, Ableitung der e-Funktionen) 2. Tangentengleichung (mit Hilfe des Funktions terms & mil Hilfe des Graphen aufstellen können) 3. Monotonie + Krümmung (Funktion auf Monotonie- und Krümmungsverhalten untersuchen, anhand von Graphen erkennen) 4. Extrem- und Wende punute ( bestimmen können) 5. Differenzialrechnung in Sachsituationen 1. Ableitungen fix) - (ra) Definition: Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung in jedem x-west an. Grenzwert des Differenzial quotienten f'(a) = lim x.a Ableitungsregeln: Potenzregel: f(x) = x^ f(x) = x 4 Fantorregel: f(x)= C⋅ f(x) f(x) = 4.³ e-Funktionen: f(x)= ex √x Kettenregel: f(x)= u(v(x)) → f'(x)= U'(v(x1) · V²(X) f(x)=sin (4x+3) - f(x)= 3 + e* 1 f(x) = (²x MATHE KLAUSUR 1 → → 11/2 → X f(x)=√x² +² f(x) = + ² +2 f(x) = { / x ²2/² = X 2+51 f(x) = √√x ² f(x)= x ³ (²(x) = 3 x ²³ f'(x) = n.x^. f'(x) = 4x³ f'(x) = (⋅ f'(x) f'(xl> 4.3x² = 12x² Produktregel: f(x)= u(x) ·V(+) → f'(x) = u(x)· V°C+) + VCX) - U°(+) ((x)= cos(x) · 4x³ -D u(x) = cos(x). u'(x)= -sin (x) v(x) = 4x³ v'(x1= 12x² f'(x) = cos(x) 12+² +4+³ · (sin(x)) Funktionstherme umformen (Beispiele) U(x) = sin(x) - U'(x) = cos(x) V'(x) = 4 V(x) = 4x+3 (x)= cos(4x+3)-4 f'(x)= ex ('(x) = ex 1 · f'(x) = t·e ** a bx - cox Summenregel: f(x) = g(x) + h(x) f(1) = x² + x a -1 -1 f(x)=√x ((x) = ² x ²1 |{²(+) = - 1²/₁1 × 2 f(x) === -2 -1 = d.x=¹ -1 ((x) = 2x=1 f(x) = -2x-² u(x)...

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= äußere Funktion v(x) = innere Funktion Sin ť/ Je -cos COS pit.. de - sin -2 6³² = 8/1² X-² f(x) = 4²x² f(x) = 21/√x - ² → f'(x) = g'(x) + h'(x) 2x + 1 3 f(x) = - = ² x ³ = (f(x م (allg. Regelung, nur zum Verständnis) a (b-x 1² =2-(6-x) - ² 3 f(x) = (4-x)² f(x) = 3. (4-x)-² f'(x)=-6(4-x)-³ Grafisch ableiten Graph von f Steigung positiv Steigung gleich 0 Steigung negativ 2. Tangentengleichung Mit Hilfe des Funktionsterms 1 Monolonie allg. Tangenten gleichung: y = f'(a) (x2) + f(a) Beispiel: f(x) = 2x³-4x - f(x) = 6x² - 4 3. Monotonie + Krümmung verläuft oberhalb der x-Achse Nullstelle Schneidet die x-Achse -f(-1) = ² -f'(-1) = ² - einsetzen in allg. Tangentengleichung -y= 2 ⋅ (x − (-1)) + 2 = 2x14 Graph von f' verläuft unterhalb der x-Achse P(-11 f(-11) Linksuurve Wenn für alle x aus einem Intervall I gilt: f'(x) >0, dann ist f auf I Sms f(x) <0, dann ist f auf I smf Krümmung Wenn für alle aus einem Intervall I gilt: f" (+) > 0, dann ist f auf I links gekrümmt f"(x) <0, dann ist fouf I rechts gekrümmt Rechisuurve wendepunut . Die Extrempunkte einer Funktion f(x) sind gleich die Nullstellen der Ableitung. Stellen an denen f(x) einen Sattelpunkt / Terrassenpunut hat, werden zu Berührungspunkten von ficx) mit der X-Achse. Stellen an denen f(x) einen Wendepunkt hat, werden zu Extrempunkten des Graphen f'(x) mit Hilfe des Graphen y=m.x+c 1.M= f'(al 2. € geht durch P Punkt probe Beispiel P(211) M = 1 f(x) 1. t=y=1·X1C 2. 1 = 1·1+C C=0 t=y= xt1 Monotonie verhallen untersuchen: 1. Ableitung bestimmen 2. f'(x)=0 Nullstellen der Ableilung bestimmen. 3. Inter valle bestimmen. 4. Testweile in f'(x) einsetzen und Schlussfolgern Krümmungsverhalten untersuchen: 1. 2. Ableitung bilden 2. f"(x) =0_Nullstellen der Ableitung bestimmen 3. Intervalle bestimmen 4. Testwerte in ("(x) einsetzen und schlussfolgern LEGAL 4. Extrem- und wendepunkte Extremstellen 1. Vorzeichen-Wechsel Kriterium . If hat an der Stelle xo eine f hat an der Stelle xo eine 2. Kriterium der 2. Ableilung . f hat an der Stelle xo eine f hat an der Stelle xo eine - wenn f¹ frol = 0 + f" (x) = 0, dann VZW- Kriterium Wendepunkte Schritte zur Berechnung 1. 2. Ableitung bestimmen 2. f'(x) -0 Nullstellen der Ableitung bestimmen. - potentielle Wendestellen 3. 3. Ableitung bestimmen 4. Nullstellen der 2. Ableitung in die 3. Ableitung einsetzen -D wenn f(x) +0 , dann ist es eine Wendestelle S. Nullstellen der 2. Ableilung in Grundfunktion einsetzen un 4-Werle rauszubekommen Maximum stelle, falls f'(x₁) = 0 und f' bei to ein Vorzeichenwechsel von + zu- hat. Minimumstelle, falls f'(x)=0 und f' bei to ein Vorzeichenwechsel von - zu that. 5. Differenzialrechnung in sachsituationen Sachzusammenhang Die Verkaufszahlen steigen Die Verkaufszahlen haben ein (4) (x) Beispiel: Verkaufs zahlen eines Products in einem bestimmten Zeitraum. Absatzhoch. Maximum stelle, falls f'(x) = 0 und f"(xo) <0. Maximum stelle, falls f'(x) = 0 und f" (x) > 0. Der Anstieg der Verkaufszahlen ist mati mal Der Anstieg der Verkaufszahlen fällt zunehmend niedriger aus allg Hilfen Die Verkaufszahlen stagnieren Steigung = 0, waagerechte Tangente (Nullwachstum") werdestelle mit positiver Steigung Eigenschaften der Funktion f fist sms Носирипит rechtskurve, mit positiver Steigung die 1. Ableitung gibt die Steigung eines Function an die 2. Ableitung gibt das Krümmungs verhalten einer Function an ے f' f" NEW N E W NEW (N- Nullstellen, E= Extremstellen, We wendestellen)

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= äußere Funktion v(x) = innere Funktion Sin ť/ Je -cos COS pit.. de - sin -2 6³² = 8/1² X-² f(x) = 4²x² f(x) = 21/√x - ² → f'(x) = g'(x) + h'(x) 2x + 1 3 f(x) = - = ² x ³ = (f(x م (allg. Regelung, nur zum Verständnis) a (b-x 1² =2-(6-x) - ² 3 f(x) = (4-x)² f(x) = 3. (4-x)-² f'(x)=-6(4-x)-³ Grafisch ableiten Graph von f Steigung positiv Steigung gleich 0 Steigung negativ 2. Tangentengleichung Mit Hilfe des Funktionsterms 1 Monolonie allg. Tangenten gleichung: y = f'(a) (x2) + f(a) Beispiel: f(x) = 2x³-4x - f(x) = 6x² - 4 3. Monotonie + Krümmung verläuft oberhalb der x-Achse Nullstelle Schneidet die x-Achse -f(-1) = ² -f'(-1) = ² - einsetzen in allg. Tangentengleichung -y= 2 ⋅ (x − (-1)) + 2 = 2x14 Graph von f' verläuft unterhalb der x-Achse P(-11 f(-11) Linksuurve Wenn für alle x aus einem Intervall I gilt: f'(x) >0, dann ist f auf I Sms f(x) <0, dann ist f auf I smf Krümmung Wenn für alle aus einem Intervall I gilt: f" (+) > 0, dann ist f auf I links gekrümmt f"(x) <0, dann ist fouf I rechts gekrümmt Rechisuurve wendepunut . Die Extrempunkte einer Funktion f(x) sind gleich die Nullstellen der Ableitung. Stellen an denen f(x) einen Sattelpunkt / Terrassenpunut hat, werden zu Berührungspunkten von ficx) mit der X-Achse. Stellen an denen f(x) einen Wendepunkt hat, werden zu Extrempunkten des Graphen f'(x) mit Hilfe des Graphen y=m.x+c 1.M= f'(al 2. € geht durch P Punkt probe Beispiel P(211) M = 1 f(x) 1. t=y=1·X1C 2. 1 = 1·1+C C=0 t=y= xt1 Monotonie verhallen untersuchen: 1. Ableitung bestimmen 2. f'(x)=0 Nullstellen der Ableilung bestimmen. 3. Inter valle bestimmen. 4. Testweile in f'(x) einsetzen und Schlussfolgern Krümmungsverhalten untersuchen: 1. 2. Ableitung bilden 2. f"(x) =0_Nullstellen der Ableitung bestimmen 3. Intervalle bestimmen 4. Testwerte in ("(x) einsetzen und schlussfolgern LEGAL 4. Extrem- und wendepunkte Extremstellen 1. Vorzeichen-Wechsel Kriterium . If hat an der Stelle xo eine f hat an der Stelle xo eine 2. Kriterium der 2. Ableilung . f hat an der Stelle xo eine f hat an der Stelle xo eine - wenn f¹ frol = 0 + f" (x) = 0, dann VZW- Kriterium Wendepunkte Schritte zur Berechnung 1. 2. Ableitung bestimmen 2. f'(x) -0 Nullstellen der Ableitung bestimmen. - potentielle Wendestellen 3. 3. Ableitung bestimmen 4. Nullstellen der 2. Ableitung in die 3. Ableitung einsetzen -D wenn f(x) +0 , dann ist es eine Wendestelle S. Nullstellen der 2. Ableilung in Grundfunktion einsetzen un 4-Werle rauszubekommen Maximum stelle, falls f'(x₁) = 0 und f' bei to ein Vorzeichenwechsel von + zu- hat. Minimumstelle, falls f'(x)=0 und f' bei to ein Vorzeichenwechsel von - zu that. 5. Differenzialrechnung in sachsituationen Sachzusammenhang Die Verkaufszahlen steigen Die Verkaufszahlen haben ein (4) (x) Beispiel: Verkaufs zahlen eines Products in einem bestimmten Zeitraum. Absatzhoch. Maximum stelle, falls f'(x) = 0 und f"(xo) <0. Maximum stelle, falls f'(x) = 0 und f" (x) > 0. Der Anstieg der Verkaufszahlen ist mati mal Der Anstieg der Verkaufszahlen fällt zunehmend niedriger aus allg Hilfen Die Verkaufszahlen stagnieren Steigung = 0, waagerechte Tangente (Nullwachstum") werdestelle mit positiver Steigung Eigenschaften der Funktion f fist sms Носирипит rechtskurve, mit positiver Steigung die 1. Ableitung gibt die Steigung eines Function an die 2. Ableitung gibt das Krümmungs verhalten einer Function an ے f' f" NEW N E W NEW (N- Nullstellen, E= Extremstellen, We wendestellen)