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Milena

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 MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
• Definition
•Sekante
S.86-87
Aufgaben S.87-89
Definition: Gegeben ist eine Funktion f

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MATHE 52 Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate • Definition •Sekante S.86-87 Aufgaben S.87-89 Definition: Gegeben ist eine Funktion f, die auf dem Intervall I = [x0;x1] definiert ist. f(x1) f(x0) Der Quotient x1 - x0 von f im Intervall I= [x0;x1]. Ableitung- lokale Änderungsrate • Definitionen, Tangente, Differenziertbarkeit, H-Methode, Grenzwert, Limes Q P = außen - innen Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Geraden G durch die Punkte P (X0 | f (XO) ). Diese gerade heißt Sekante durch P und Q. • Ableitungen mit Hilfe des GTR bestimmen S. 90-92 Aufgaben S. 92-94 Oben Y Werte Unten X-Werte h->0 heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate ( x0 + h ) = ( xO + h )( XO + h) =x²0 + x0h+ x0h + h² =x0²+2xoh + h² f(x0 + h) - f(x0) h f(x₁) f(xo) Da die Punkte der Sekanten jetzt immer näher beieinander liegen, bilden wir den Grenzwert und erhalten eine Gerade / Tangente, die den Graphen nur noch an einer Stelle berührt. у ХО Sekante g хо Definition: Besitzt der Differenzenquotient für H-> O einen Grenzwert, dann heißt. dieser Wert Ableitung von f an der Stelle XO. Man schreibt dafür F` (XO) und liest ,,f Strich von xo.. Kurz: f'(x0)= lim f(x0+h)-f(x0) = 14x0 + 7h h näher+k Q X0th X1 Wenn man nur P und Q gegeben hat Ableitungen mit H- Methode f=7x²-3 f`= 7(x0+h)²-3-(7x0²-3) = 7(x0²+ 2xoh + h²)-3-7x0²+3 h h = lim 14x0 +7h h+o x Y. P (212) y Q (310) X 7xỔ +14x0h+ 7h 3-7xố +3 = 14x0h + 7h² = h(14x0+7h) • h h f'(x) = 14x Wenn...

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man nur Intervall f(x) = -5x² +2 | = [0:1] 1 = [0:1] 0-2 3-2 = = -=-²/2 = -2 und Funktion gegeben hat f(xo +h)-f(xo) 1.0 = ·_f(1 +h)-f(0) • (-5). 1²-5+2=-3 -5.0= 0 +212 ((-5). (1) ² + 2) - (-5). (0+h)² +2) • (-3) -2=²₁-5 1.) für x die Formel einsetzen 2.) Binomische Formel + 2. Teil 3.) gleiches streichen 4.) hausklammern MATHE Definition: ist eine Funktion F an jeder Stelle der Definitionsmenge DF differenzierbar, so heißt die Funktion, die jedem X DF den Wert der Ableitung F'(X) zu ordnet, Ableitungsfunktion f` von f. Ableitungsfunktion • Definition, Ableiten, Abdifferenzieren • Graph der Ableitungsfunktion skizzieren S. 95-96 Aufgaben S. 97-98 • Ableitungsfunktion bestimmen (H - Methode) ● • Graf der Ableitungsfunktion mit dem GT R ermitteln (Befehl: nderive) X (F) A 2 Ist die Steigung von F positiv, so verläuft F` oberhalb der X Achse Ist die Steigung von F negativ, so verläuft F, unterhalb der X-Achse Ist die Steigung von F Null so vserläuft F' auf der X Achse 3 4. S Tangente zeichnen f(x) = 2x+2 f'(x) = 2 24² Y-Achsenalbschnitt = m= AY=2-2/ ΔΧ f(x)=2x +0 Ursprung f(x) = -x² + 3x f'(x) = -2x +3 ·h Methode: f(x) = (-(xo +h)² +3 (xo +h ) − ((−xo )² +3 -(xo)) h. = -(toth). (to th) + 3 (xo th)) - (-xo).(-xo) + 3x0) h =-xo²-2xoh-h²+3x0+ 3h + x0² - 370 h - -2xoh-h²+3h =-2xch- h =h(-2x0-h+3) (-2x-h+3) = -2x+3 MATHE Tangenten und Normalen • Satz, Steigung (auch in % ),. Steigungswinkel • Tangenten- und Normalgleichungen S.104-105 Aufgaben S. 105-106 Satz- die Gleichung der Tangente an den Grafen von F im Punkt (x0 | f(x0) ) erhält man mit dem Ansatz t(x) = mx + b₁ Ableitungsregeln ● Potenzregeln • Faktorregeln • Summen- bzw. Differenzen- Regel S.100-101 Aufgaben S. 102-103 √x = x² Für m gilt m= f'(x0); b ergibt sich durch die PunktProbe X= x0 und y= f(x0) für den Steigungswinkel Alpha gilt tan(x) = f'(x) 添 ===== Tangente Funktion + X-wert gegeben → Ableitung - Steigung [m] Y ausrechnen, wenn nicht gegeben X in Funktion einsetzen = y) Potenzregel: für eine Funktion F mit F (X)= xn f'(x)= noxn-1 Faktorregel: Für eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = a • g (x), f'(x)= a • g'(x) Summenregel= Für eine Funktion f mit f(x)= g(x) + k (x), f'(x)= g'(x) + k'(x) X=1 x =5x" x^= -1x²² - alles in yam.x+b einsetzen, um b zu erhalten alles in t= mx +b einsetzen, x bleibt x Normale -Funktion gegeben • Ableitung von Tangente = Steigung [m] -m und b in t(x)=m₁x +b einsetzen -x wird durch mn/ nun ermittelt, indem :m mn=-1 m. mn=-1 -mr Steigung in n(x) = mn x tb einsetzen Y ausrechnen, wenn nicht gegeben) - x in Funktion einsetzen - y) y=mn +b tmn damit b alleine ist "alles in y=m.x+b einsetzen, x bleibt x a=Stauchfaldor x=3 \n(x) f(x) = 2(x-3) -1 y=5 t(x)=2x-1 MATHE Ableitung trigonometrische Funktionen • Satz • Tangenten- und Normalgleichungbaufstellen S.107 Aufgaben S. 107-108 Monotonie • Definition, Satz und Beispiele S.120-121 Aufgaben S.121-123 Satz: für die Sinusfunktion f mit f(x) = sin (x) F'(x)= cos(x) Für die Kosinusfunktion g mit g(x) = cos(x) G'(x)= - sin(x) Sin (x) COS(x) • Sin (*) cos (x) f(x) = 3 sin (x) = f(x)= 3 cos(x) P(ST) y=3cos() y = 21987 Definition: Gegeben sind ein Intervall I, x1, x2 sowie eine Funktion f, die im Intervall I definiert ist. - - f heißt streng monoton steigend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) < f(x2) f heißt streng monoton fallend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) > f(x2) Monotoniesatz: die Funktion F ist in einem Intervall differenziert Bar. Wenn für alle X I entspricht. – f'(x) > 0 gilt, dann ist f streng monoton steigend in I - f'(x) < 0 gilt, dann ist f streng monoton fallend in I 出世世 Streng Monoton Steigend Streng Monoton fallend Monoton steigend

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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man nur Intervall f(x) = -5x² +2 | = [0:1] 1 = [0:1] 0-2 3-2 = = -=-²/2 = -2 und Funktion gegeben hat f(xo +h)-f(xo) 1.0 = ·_f(1 +h)-f(0) • (-5). 1²-5+2=-3 -5.0= 0 +212 ((-5). (1) ² + 2) - (-5). (0+h)² +2) • (-3) -2=²₁-5 1.) für x die Formel einsetzen 2.) Binomische Formel + 2. Teil 3.) gleiches streichen 4.) hausklammern MATHE Definition: ist eine Funktion F an jeder Stelle der Definitionsmenge DF differenzierbar, so heißt die Funktion, die jedem X DF den Wert der Ableitung F'(X) zu ordnet, Ableitungsfunktion f` von f. Ableitungsfunktion • Definition, Ableiten, Abdifferenzieren • Graph der Ableitungsfunktion skizzieren S. 95-96 Aufgaben S. 97-98 • Ableitungsfunktion bestimmen (H - Methode) ● • Graf der Ableitungsfunktion mit dem GT R ermitteln (Befehl: nderive) X (F) A 2 Ist die Steigung von F positiv, so verläuft F` oberhalb der X Achse Ist die Steigung von F negativ, so verläuft F, unterhalb der X-Achse Ist die Steigung von F Null so vserläuft F' auf der X Achse 3 4. S Tangente zeichnen f(x) = 2x+2 f'(x) = 2 24² Y-Achsenalbschnitt = m= AY=2-2/ ΔΧ f(x)=2x +0 Ursprung f(x) = -x² + 3x f'(x) = -2x +3 ·h Methode: f(x) = (-(xo +h)² +3 (xo +h ) − ((−xo )² +3 -(xo)) h. = -(toth). (to th) + 3 (xo th)) - (-xo).(-xo) + 3x0) h =-xo²-2xoh-h²+3x0+ 3h + x0² - 370 h - -2xoh-h²+3h =-2xch- h =h(-2x0-h+3) (-2x-h+3) = -2x+3 MATHE Tangenten und Normalen • Satz, Steigung (auch in % ),. Steigungswinkel • Tangenten- und Normalgleichungen S.104-105 Aufgaben S. 105-106 Satz- die Gleichung der Tangente an den Grafen von F im Punkt (x0 | f(x0) ) erhält man mit dem Ansatz t(x) = mx + b₁ Ableitungsregeln ● Potenzregeln • Faktorregeln • Summen- bzw. Differenzen- Regel S.100-101 Aufgaben S. 102-103 √x = x² Für m gilt m= f'(x0); b ergibt sich durch die PunktProbe X= x0 und y= f(x0) für den Steigungswinkel Alpha gilt tan(x) = f'(x) 添 ===== Tangente Funktion + X-wert gegeben → Ableitung - Steigung [m] Y ausrechnen, wenn nicht gegeben X in Funktion einsetzen = y) Potenzregel: für eine Funktion F mit F (X)= xn f'(x)= noxn-1 Faktorregel: Für eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = a • g (x), f'(x)= a • g'(x) Summenregel= Für eine Funktion f mit f(x)= g(x) + k (x), f'(x)= g'(x) + k'(x) X=1 x =5x" x^= -1x²² - alles in yam.x+b einsetzen, um b zu erhalten alles in t= mx +b einsetzen, x bleibt x Normale -Funktion gegeben • Ableitung von Tangente = Steigung [m] -m und b in t(x)=m₁x +b einsetzen -x wird durch mn/ nun ermittelt, indem :m mn=-1 m. mn=-1 -mr Steigung in n(x) = mn x tb einsetzen Y ausrechnen, wenn nicht gegeben) - x in Funktion einsetzen - y) y=mn +b tmn damit b alleine ist "alles in y=m.x+b einsetzen, x bleibt x a=Stauchfaldor x=3 \n(x) f(x) = 2(x-3) -1 y=5 t(x)=2x-1 MATHE Ableitung trigonometrische Funktionen • Satz • Tangenten- und Normalgleichungbaufstellen S.107 Aufgaben S. 107-108 Monotonie • Definition, Satz und Beispiele S.120-121 Aufgaben S.121-123 Satz: für die Sinusfunktion f mit f(x) = sin (x) F'(x)= cos(x) Für die Kosinusfunktion g mit g(x) = cos(x) G'(x)= - sin(x) Sin (x) COS(x) • Sin (*) cos (x) f(x) = 3 sin (x) = f(x)= 3 cos(x) P(ST) y=3cos() y = 21987 Definition: Gegeben sind ein Intervall I, x1, x2 sowie eine Funktion f, die im Intervall I definiert ist. - - f heißt streng monoton steigend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) < f(x2) f heißt streng monoton fallend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) > f(x2) Monotoniesatz: die Funktion F ist in einem Intervall differenziert Bar. Wenn für alle X I entspricht. – f'(x) > 0 gilt, dann ist f streng monoton steigend in I - f'(x) < 0 gilt, dann ist f streng monoton fallend in I 出世世 Streng Monoton Steigend Streng Monoton fallend Monoton steigend