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Ableitungen,...

23.5.2021

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MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
• Definition
●Sekante
S.86-87
Aufgaben S.87-89
Definition: Gegeben ist eine Funktion f,
MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
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●Sekante
S.86-87
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Definition: Gegeben ist eine Funktion f,
MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
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●Sekante
S.86-87
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Definition: Gegeben ist eine Funktion f,
MATHE 52
Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate
• Definition
●Sekante
S.86-87
Aufgaben S.87-89
Definition: Gegeben ist eine Funktion f,

MATHE 52 Differenzenquotient- mittlere Änderungsrate • Definition ●Sekante S.86-87 Aufgaben S.87-89 Definition: Gegeben ist eine Funktion f, die auf dem Intervall I = [x0;x1] definiert ist. f(x1)-f(x0) Der Quotient x1 - x0 von f im Intervall I= [x0;x1]. QP außen - innen Ableitung- lokale Änderungsrate Definitionen, Tangente, Differenziertbarkeit, H-Methode, Grenzwert, Limes • Ableitungen mit Hilfe des GTR bestimmen S. 90-92 Aufgaben S. 92-94 Oben Y-Werte Unten X-Werte Der Differenzenquotient entspricht. '- der Steigung der Geraden G durch die Punkte P (XO I f (x0) ). Diese gerade heißt Sekante durch P und Q. h->0 (x0 +h ) = ( XO + h )( XO +h) =x²0 + x0h+ x0h + h² =x0²+2xoh + h² f(x1) f(xo) heißt Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate Da die Punkte der Sekanten jetzt immer näher beieinander liegen, bilden wir den Grenzwert und erhalten eine Gerade / Tangente, die den Graphen nur noch an einer Stelle berührt. у P ΧΟ Definition: Besitzt der Differenzenquotient f(xO+h)-f(x0) für H-> O einen Grenzwert, dann heißt dieser Wert Ableitung von f an der Stelle XO. Man schreibt dafür F' (XO) und liest ,,f Strich von x0. Kurz: f'(x0)= lim f(x0+h)-f(x0) h Sekante g хо Q näher+k X0th Q X1 Ableitungen mit H- Methode f= 7x²-3 f'= 7(x0+h)-3-(7x0²-3) = 7(x0² + 2xoh + h²2)-3-7x0²+3 h = 7x0 +14x0h = 14x0 + 7h Wenn man nur P und Q gegeben hat 4x0h+ 7h²-3-7x0² +3 = 14x0h + 7h² = h(14x0+7h) = lim 14x0 +7h h+o ху P(212) Y Q (310) X f'(x) = 14x 0-2 3-2 Wenn man nur Intervall und Funktion gegeben hat f(x) = -5x² +2 f...

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(xo +h)-f(xo) 1₁ = [0,1] 1 = [0¹4] = -2=-2 1-0 = _f(1+h) - f (0) (-3). 41-5+2=-3 50+0+212 = ((-5)-(1)² +2 ) − (-5)-·(0+h)² +2 (-3)-2=-==-5 1.) für x die Formel einsetzen 2.) Binomische Formel + 2. Teil 3.) gleiches streichen 4.) h ausklammern MATHE Definition: ist eine Funktion F an jeder Stelle der Definitionsmenge DF differenzierbar, so heißt die Funktion, die jedem X DF den Wert der Ableitung F'(X) zu ordnet, Ableitungsfunktion f' von f. Ableitungsfunktion • Definition, Ableiten, Abdifferenzieren • Graph der Ableitungsfunktion skizzieren • Ableitungsfunktion bestimmen (H-Methode) • Graf der Ableitungsfunktion mit dem GT R ermitteln (Befehl: nderive) S. 95-96 Aufgaben S. 97-98 J Ist die Steigung von F positiv, so verläuft F' oberhalb der X Achse Ist die Steigung von F negativ, so verläuft F, unterhalb der X-Achse Ist die Steigung von F Null so vserläuft F' auf der X Achse f' A 2 3 45 Tangente zeichnen f(x)=2x+2 f'(x) = 2 Y-Achsenabschnitt 24²- m= AY AX f(x)=2x+0 =-2-²/ Ursprung f(x) = x² + 3x f'(x) = -2x +3 h Methode: f(x) = (-(xo +h)² +3 (xo +h)-((-xo )² +3 · (KO)) h =-(xo th) (xo +h) + 3 (xo th)) – (-xo).(-xo) + 3x0) h -xo³² - 2xoh - h²+3x0+ 3h + x0² - 3₂0 h -2xoh-h² +3h. h =h (-2x0-h+3) • (-2x-h +3) = -2x+3 MATHE Tangenten und Normalen • Satz, Steigung (auch in %), Steigungswinkel • Tangenten- und Normalgleichungen S.104-105 Aufgaben S. 105-106 t(x) = mx + b Satz= die Gleichung der Tangente an den Grafen von F im Punkt (x0 | f(x0) ) erhält man mit dem Ansatz Ableitungsregeln • Potenzregeln • Faktorregeln • Summen- bzw. Differenzen- Regel S.100-101 Aufgaben S. 102-103 Für m gilt m= f'(x0); b ergibt sich durch die PunktProbe X= x0 und y= f(x0) für den Steigungswinkel Alpha gilt tan(x) = f'(x) √√x = x² 2√x 2 x Tangente Funktion + X-wert gegeben → Ableitung = Steigung [m] Y ausrechnen, wenn nicht gegeben ·x in Funktion einsetzen = y) Potenzregel: für eine Funktion F mit F (X)= xn f'(x)= noxn-^ Faktorregel: Für eine Funktion f mit der Gleichung f(x) = a • g (x), f'(x)= a • g'(x) Summenregel= Für eine Funktion f mit f(x)= g(x) + k (x), f'(x)= g'(x) + k'(x) X=1 x =5x" - alles in y-m.x+b einsetzen, um b zu erhalten x^= -1x²² alles in t= m-x+b einsetzen, x bleibt x Normale -Funktion gegeben → Ableitung von Tangente = Steigung [m - m und b in t(x)=m. x +b einsetzen -x wird durch mn nun ermittelt, indem m•mn=-1 im mn=-1 -mn Steigung in n(x) = mn x +b einsetzen Y ausrechnen, wenn nicht gegeben x in Funktion einsetzen = y) y = mn +b + mn, damit b alleine ist alles in y=mx+b einsetzen, x bleibt x IX 3 a=Stauchfaldor In(x) x=3 f(x) = 2(x-3) -1 y = 5 t(x)=2x-1 MATHE Ableitung trigonometrische Funktionen • Satz • Tangenten- und Normalgleichungbaufstellen S.107 Aufgaben S. 107-108 Monotonie • Definition, Satz und Beispiele S.120-121 Aufgaben S.121-123 Satz: für die Sinusfunktion f mit f (x) = sin(x) F'(x)= cos (x) Für die Kosinusfunktion g mit g(x) = cos (x) G'(x)= - sin (x) sin (x) - cos(x) •Sin (x) cos(x) f(x)=3 sin(x) = f'(x)= 3 cos(x) P(5) y = 3 cos (ST) y = 2,987 Definition: Gegeben sind ein Intervall I, x1, x2 sowie eine Funktion f, die im Intervall I definiert ist. f heißt streng monoton steigend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) < f(x2) f heißt streng monoton fallend auf I, wenn für alle X1 und X2 mit X1 < x2 gilt = f(x1) > f(x2) Monotoniesatz: die Funktion F ist in einem Intervall differenziert Bar. Wenn für alle X I entspricht. f'(x) > 0 gilt, dann ist f streng monoton steigend in I - f'(x) < 0 gilt, dann ist f streng monoton fallend in I 击佳佳 Streng Monoton Steigend Streng Monoton fallend Monoton steigend