Ableitungen

Alternativer Bildtext:

Steigung 2 Ableiting = Krümmung X ·X³ saftelpunkt Funktion 3. Grades verhalten → co ungerader Grad: gerader Grad: m = lim f(xo+h) - f(xo) hoo h +84-80v-∞0 +∞ +84+∞v -∞0-00 Mittlere Änderungsrate: →→ gibt durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten an m = f(x₂)-f(x₂) I {0,2} gegeben - X₂ X₁ Punkte einsetzen → Steigung Momentane Anderangsrate: Ergebnis Ø = gilot Steigung m in einem Punkt an. X. ist gegeben (Punkt dessen m ges. ist) Ergebnisform: f'(x) = sim (x+h) bspw: f(x) = 6 x ³ + 4x −15 x₁ = 2 Konstanter formen lim (6(2th)³ +4 (2+h)-15 ~ (6·2³+4·2=45) ho h = lim (76 +36h ² + 6h²³ ) = 76 h→0. Wendestellen untersuchen: → wondestellen sind die Extrempunkte der Ableitung 1. 2. Ableitung = 0 setzen (Notwendige Bedingung für wordestellen: F"(x) = 0) 2. Kandidaten in 3. Ableitung einsetzen (Hinreichende Bedingung für werdestellen: Lo wenn fi!!! (x) <0 =⇒ Links -Rechts - Wendepunkt (maximale steigug) wenn fl!! (x) > 0. =) Rechts - Links - Wendepunkt (minimale steiging) werte 3. Kandidaten in f(x) einsetzen → Y- Krümmung: gibt an, ob der Graph links oder rechts-gekrümmt ist f"(x) < 0 → Graph rechtsgetrümmt = f'(x) wächst strong monoton F(x) Pew fr(x) failt strong monoton f" (x) > 0 ⇒ Graph linksgetrümmt *: 40 2 Ableiting bilden, wenn nicht entweder 30 a ≤0 dann wp's bestimmen bedeutet: kein WP votonden Angeben: Im Intervall: ]-00; 130 [ links/rechtsgekrümmt Monotonie: gibt on in welchem Interal) ein Graph. (streng) monoton sleigh/fällt. 1. Nullstellen der Ableitung berechnen (2. Extremstellen d. Fuktion) 2. Wert vor (nd) nach der Nullstelle wählen + in f'(x) einsetzen → schauer ab + oder String Moroton fallend/steigend: strong monoton steigend: 20 streng monoter fallend : <O maator steigend : 20 Jmnit maoton fallend: ≤0 null w wenn + null + Angeben: 1-00; 130 [ streng monoton fallend 1130; +00 [ strong monoton steigend mit Sattelpunkten. Hapton Listy Sattelpunkt ! steigne Ⓒ f'QU hadton Punkt daver/danach in f) oder einsetzen und schauen ob + oder - F"(x) = 0; f'(x)#0) wenn pill (x)=0 + vzw in 2. Abl. Regeln für Ableitungen: (1) Potenzregel: x² =nx (2) Summenregel: h(x) = f(x) + g(x) (h.(x) = x² + 2x). W'(x) = f'(x) +g'(x) (3) konstantenregel: "Constanten fallen weg (4) Produktregel: x.ex h(x)=f(x) g(x) WW = f'(x) · g(x) + g(x) · f(x) (5) Faktorregel: (a f(x))": =9. ·f'(x) wi Der k perimet Der G Geometrisch entspricht die erste Ableitung der Steigung des Funktionsgraphen. Auch für die Ablebung gibt es eine geometrische Interpretation U Der in Fig. 1 dargestellte Teil des Graphen einer differenzierbaren Funktion verläuft für Inkagüm (Wenn der Graph eine Straße von oben betrachtet darstellen würde und man diese Straße mit einem Auto von links nach rechts entangführe, dann wände man Lenkrad in diesem Abschnitt nach links drehen) In dieser intervall werden de Für xverläuft d der Graph rechtsgekrümmt streng man die Werte foder Ableitung von f werden mit zunehmenden Werten diner (Fig enterstel gungen und damit die Werte fx der erstene Ableitung von mit zunehmenden Werten Derech großer Das Krümmungsverhalten des Graphen von lässt sich offensichtlich mithilfe des Anderungs verhaltens der ersten Ableitung, also der zweiten Abeungbestimmen: Para angement FO vend Woral oval Die Funktion ist auf einem Intervall I definiert und sowohl die Funktion als auch te Abung sind der Wenn im Intervall F000 git, dann ist der Graph van fin Linksgekrümmt Wenn Intervall (-0 gt, dann ist der Graph van fin Irechtsgekrümmt xerox) Damit der Graph einer Funktion in einem Intervall Inksgekrümmt ist, muss die zweite Aben aber nicht im gesamten intervall positiv sein. Folgendes Beispiel zeigt, dass der Graph auch link gekrümmt in einem intervall sein kann, wenn es Stellen gibt, wo die zweite Ableitung null wird Der Graph der Funktion mit 160-x ist insgekrümmt, da die Ableitung mit fo-4 streng meneton zunehmend ist mit F03-12 ist aber nicht für alles aus R posit, denn es glit (00-a