Kettenregel und Produktregel für E-Funktionen

Die Seite behandelt zwei wichtige Regeln der Differentialrechnung: die Kettenregel und die Produktregel, mit besonderem Fokus auf ihre Anwendung bei E-Funktionen.

Die Kettenregel wird für zusammengesetzte Funktionen verwendet. Sie besagt, dass die Ableitung einer Funktion f(x) = u(v(x)) als f'(x) = v'(x) · u'(v(x)) berechnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Ableitung von f(x) = e^(2x), wobei die innere Funktion v(x) = 2x und die äußere Funktion u(x) = e^x ist.

Example: Bei f(x) = e^(2x) ergibt die Anwendung der Kettenregel f'(x) = 2e^(2x), da v'(x) = 2 und u'(v(x)) = e^(2x).

Die Produktregel wird verwendet, um das Produkt zweier Funktionen abzuleiten. Sie lautet: Wenn f(x) = u(x) · v(x), dann ist f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x).

Example: Für f(x) = xe^(2x) ergibt die Produktregel f'(x) = 1 · e^(2x) + x · 2e^(2x) = e^(2x)(1 + 2x).

Die Seite zeigt auch allgemeine Ableitungen von Exponentialfunktionen. Für f(x) = b^x gilt f'(x) = ln(b) · b^x, wobei b die Basis ist.

Highlight: Die E-Funktion f(x) = e^x hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist: f'(x) = e^x.

Diese Regeln und Beispiele sind fundamental für das Ableiten von E-Funktionen und bilden die Grundlage für komplexere Ableitungen in der höheren Mathematik.