Kettenregel und Produktregel für E-Funktionen

Die Seite behandelt zwei wichtige Regeln der Differentialrechnung: die Kettenregel und die Produktregel, mit besonderem Fokus auf ihre Anwendung bei E-Funktionen.

Die Kettenregel wird für zusammengesetzte Funktionen verwendet. Sie besagt, dass die Ableitung einer Funktion f$x$ = u(v$x$) als f'$x$ = v'$x$ · u'(v$x$) berechnet wird. Ein Beispiel hierfür ist die Ableitung von f$x$ = e^(2x), wobei die innere Funktion v$x$ = 2x und die äußere Funktion u$x$ = e^x ist.

Example: Bei f$x$ = e^(2x) ergibt die Anwendung der Kettenregel f'$x$ = 2e^(2x), da v'$x$ = 2 und u'(v$x$) = e^(2x).

Die Produktregel wird verwendet, um das Produkt zweier Funktionen abzuleiten. Sie lautet: Wenn f$x$ = u$x$ · v$x$, dann ist f'$x$ = u'$x$ · v$x$ + u$x$ · v'$x$.

Example: Für f$x$ = xe^(2x) ergibt die Produktregel f'$x$ = 1 · e^(2x) + x · 2e^(2x) = e^(2x)$1 + 2x$.

Die Seite zeigt auch allgemeine Ableitungen von Exponentialfunktionen. Für f$x$ = b^x gilt f'$x$ = ln$b$ · b^x, wobei b die Basis ist.

Highlight: Die E-Funktion f$x$ = e^x hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung wieder sie selbst ist: f'$x$ = e^x.

Diese Regeln und Beispiele sind fundamental für das Ableiten von E-Funktionen und bilden die Grundlage für komplexere Ableitungen in der höheren Mathematik.