Kursarbeit: Ableitungen und Kurvendiskussion

Diese Kursarbeit konzentriert sich auf fortgeschrittene Themen der Analysis, insbesondere die Anwendung der Produkt- und Kettenregel sowie die Kurvendiskussion. Die Aufgaben decken ein breites Spektrum ab, von theoretischen Ableitungen bis hin zu praktischen Anwendungen in der Physik und Geometrie.

Highlight: Die Kursarbeit besteht aus drei Hauptaufgaben, die verschiedene Aspekte der Differentialrechnung abdecken.

Aufgabe 1: Ableitungen bilden

Die erste Aufgabe fordert das Bilden der ersten Ableitung für drei verschiedene Funktionen:

a) f(x) = (x²+x) ex b) f(x) = x√(2x-8) c) f(x) = (2x³ - 4x + 5) · e¹x

Vocabulary: Die Produktregel und Kettenregel sind hier essentiell für die korrekte Lösung.

Aufgabe 2: Kettenlinie

Diese Aufgabe behandelt die praktische Anwendung der Mathematik auf ein physikalisches Problem:

Definition: Eine Kettenlinie ist die Form, die ein an beiden Enden befestigtes, frei hängendes Seil oder Kabel unter dem Einfluss der Schwerkraft annimmt.

Die Aufgabe gibt eine Gleichung der Form y = a · (ekx + e-kx) mit spezifischen Parametern (a = 11, k = 0,04) und einem Abstand von 40 m zwischen den Befestigungspunkten vor. Es soll berechnet werden:

a) Die Höhe der Seilbefestigung b) Der Durchhang des Seils in der Mitte c) Der Winkel zwischen dem Seil und der Vertikalen am Aufhängepunkt A

Example: Diese Aufgabe zeigt, wie Verkettung von Funktionen in realen Szenarien angewendet wird.

Aufgabe 3: Wassergraben-Profil

Die letzte Aufgabe befasst sich mit der Kurvendiskussion eines Wassergrabenprofils, das durch die Funktion f(x) = (0,5x² + x - 7,5) e-0,01x beschrieben wird. Gefordert sind:

a) Berechnung der Grabenbreite (Nullstellen) b) Bestimmung der Steigungswinkel an den Nullstellen c) Berechnung der größten Grabentiefe

Highlight: Die Aufgabe erlaubt die Verwendung der zweiten Ableitung f''(x) = (-x²/10000 - x/5000 + 2017)e-0,01x ohne Nachweis.

Diese Kursarbeit bietet eine umfassende Prüfung der Fähigkeiten in der Anwendung von Produkt- und Kettenregel, Verkettung von Funktionen und Kurvendiskussion. Sie verbindet theoretische Konzepte mit praktischen Anwendungen und fördert das tiefere Verständnis der Differentialrechnung.