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Abstände - Analytische Geometrie

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 ABSTANDE
Abstand Punkt Ebene:
Gegeben sind eine Ebene E in Koordinaten- bzw. Normalenform (wenn nicht umrechnen!) und ein Punkt R.
Der Punk

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• Abstandsberechnung zwischen … —> Punkt und Ebene —> Punkt und Gerade —> zwei windschiefen Geraden • Anmerkung für Bewegungsaufgaben ==> mit verschiedenen Möglichkeiten die Abstände zu berechnen und Beispiele für alle Optionen

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ABSTANDE Abstand Punkt Ebene: Gegeben sind eine Ebene E in Koordinaten- bzw. Normalenform (wenn nicht umrechnen!) und ein Punkt R. Der Punkt liegt nicht in der Ebene. Um den Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene zu berechnen, gibt es drei mögliche Verfahren 1. Lotfußpunktverfahren Dazu: 1. eine Lotgerade aufstellen, dieser besteht aus dem Ortsvektor des Punktes R als Stützvektor und dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. 2. den Schnittpunkt von dieser Geraden und der Ebene berechnen, dazu die Gerade in die Ebene einsetzen und zur Variablen der Geraden auflösen. Um den Punkt zu berechnen muss man dann dieses Ergebnis in die Geradengleichung einsetzen. 3. Abstand zwischen Lotfußpunkt und Punkt R berechnen Beispiel: -1 20 und er Punkt R(3|-1|2). -3 Gesucht ist der Abstand d des Punktes R zur Ebene E. 3 h:x= -1 +t 2 2 -3 Gegeben sind die Ebene E: X- 3 Enh: -1 +t2 2 -1 -3 2 0 2 |RF|=| f-r|=| 1 -1 1 3 -1 2 20 -1 2 3 ⇒ t = 1, also h:x= -1 +1 2 2 -3 -3 -1 2 -3 - =0-> -1 -3 + t. 2 2 F(2|1|-1) -1 2. Mit Hilfe der Hesseʼschen Normalform -3 √(−1)² +2² + (−3)² = √1+4+9= √√14 Der Abstand d des Punktes R zur Ebene E beträgt √14 LE. 2 = 0 −14+14t=0 -3 Dazu : 1. Den Betrag des Richtungsvektors der Ebene aufstellen, anschließend 1 durch diesen Betrag teilen und hinter die restliche Ebenengleichung setzen 2. den Abstand dann einfach berechnen, indem man den Punkt R in die neue Ebenengleichung einsetzt. E R Lotgerade XF Beispiel: E: [x - (...

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1 )] · ( 1₂ )= 0; h: £= (88) ++. (324) 5 = (1₂) 151= √ 8² +9² +12²¹ = 17 = . . [ x² - ( 1)]· ÷ ·( 1₂ ) = 0 d (P₁, E) = 1/72 | [[(18)-(1³)] · (1)| = |(32) · (32)) = 22 (40+46+204) = 289 . ÷ 77 ==> aus der Hesse'schen Normalenform lässt sich auch die dritte Methode ableiten... 3.Projektionsverfahren: Dazu: Ebene und Gerade in folgende Formel einsetzen: d= - Beispiel: E: [(x - (3))] · ( 3 ) = 0 [()-(1)-(¹) (-1)² +2² +3² (r_p).n |ñ| Diese Formel ist einfach nur eine Kurzform der Hesse'schen Normalenform um den Rechenweg zu verkürzen |d= Abstand Punkt Gerade: 1. Mithilfe einer Hilfsebene R(31-112) (1)-(3) 2 Beispiel: g: E: 3x₁-2x3=24 1+4+9 (3). ++- (-³₂) R(6171-3) -2-6-6 √14 Auch hier gibt es drei Möglichkeiten, allerdings ist eine meiner Meinung nach zu kompliziert, wodurch ich nur zwei Möglichkeiten angeben werde => d= 3.6-2-(-3) = 18+6 = 24 17 [LE] Punkt in Ebene Eng: 3 (2+3+)-2 (4-2+) = 24 <=> 6+9+-8 +4+=24 <=> −2+13+ = 24 <=> 13+=264-5 + = 2 = -14 | | √74 = -√14 = √√ 14 [LE] Dazu: 1. Hilfsebene aufstellen. Diese muss senkrecht zur Geraden stehen und den Punkt R enthalten, zu dem der Abstand berechnet werden soll. Dafür den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene verwenden und P als weiteren Punkt für die Normalenform bzw. um d für die Koordinatenform auszurechnen. 2. Weiter verfahren, wie beim Abstand Punkt - Ebene: Hier aber nur Lotfußpunktverfahren verwendbar. -RF+g -g F²: D = ( ² ) + 2. (3³₂) = (3) + (8) - (5) d= [FF] = |( € ) - (!)) = √(²)) = √(2)² +6² ²² =√√49 = 7 [LE] 2.Orthogonalität Dazu: 1. Fußpunkt in Abhängigkeit von t angeben. Dies ist möglich, da der Punkt auf der Geraden liegt und er somit für ein bestimmtes t angegeben werden kann ● 2. Orthogonalitätsbedinging RF = 0 und nach t auflösen 3. t in Gerade einsetzten und Abstand zwischen F und R ausrechnen Beispiel: g: X² = ( ² ) + +·-(-3₂) R(6171-3) F₁ (2+3+1114-2+) Ft 6 (2+3+) 7 (2) (2) - + (25-12-94 FR₁=0=7-3-(4-2+)/ = - - (=> 32- 11+ =0 /=> += 2 Fª: D= ( ² ) + 2. (³₂) = (23) + (8) = (5) d= [FR] = |( 39 ) - ( 9 ) ) = ((3³)) = √€2³+6³² +8}]²¹ = Abstand windschiefer Geraden: 0 <=> 3 ⋅ (11-3+) + 6 + (-2) · (-7 +2+) =0 <=> 12- 9+ +6 + 14-2+=0 49 K 7 [LE] XR Beispiel: 12 = (²) - ₁. (2), ₁x (8²) .. (4) g: + S. h: = ++. = + Auch hier gibt es wieder drei Möglichkeiten. Allerdings ist bei der Auswahl der Lösungsmöglichkeiten der Kontext der Aufgabenstellung gefragt. Sind nämlich die exakten Punkte gefragt, in denen sich die beiden windschiefen Geraden am nächsten stehen, kann nur die 1. Variante verwendet werden. Fr 1. Orthogonalität Diese Methode ähnelt sehr der gleichnamigen Methode für die Berechnung des Abstands zwischen Punkt und Gerade. Allerdings ist zu beachten, dass zwei von Variablen abhängige Punkte für die Berechnung gebraucht werden. Also: 1. Die Punkte auf beiden Geraden in Abhängigkeit von Variablen angeben 2. Orthogonalitätsbedingung. Dazu zunächst den Vektor zwischen den zwei abhängigen Punkten berechnen und diese jeweils mit beiden Richtungsvektoren multiplizieren und ein Gleichungssystem aufstellen H 3. Variablen in die abhängigen Punkte einsetzen. Anschließend den Betrag der Strecke zwischen den nun unabhängigen Punkte berechnen g 6 6s (7+s17-2s1 4+ 6s) 6SH+6=0 - (-2) = 0 <=> єд і ^ 6SH+ · (-3) = 0 - 10 ++-S + 14-45+6-18 +-36s =0 -10 ++-S-3+9+ + 185 =0 H₂ (-3++) 01 5-3+1 €h 2. Mit Hilfe der Hilfsebene 10++175=13 6₁ (6191-2); Hz (0101-4) dig, h) = 16,³₂ | = |(9)| €7 Beispiel: g: R = (²²) + s (2²) ; h: B= (²³) ++. (3) <=> 121 += 121=+=1 => ²₁² 7₁-(3) × (-3)= (1) 2 6sHf Dieser Vorgang ist fast identisch mit dem Vorgang bei der Abstandsbestimmung zwischen einem Punkt und einer Ebene mit der Lotfußgerade. Es muss allerdings eine Hilfsebene aufgestellt werden, die die Gerade beinhaltet und nicht senkrecht auf der Geraden steht. -17+-415=-10 Hierzu: 1. Kreuzprodukt von beiden Richtungsvektoren berechnen. Dies bildet den Normalenvektor der Hilfsebene 2. Hilfsebene aufstellen ==> Der restliche Vorgang ist identisch mit dem Lotfußpunktverfahren der Abstandsberechnung zwischen Punkt und Ebene h 3. Mit Hilfe der Hesse’schen Normalenform - 10 ++-S - 7+25 1-3+ - 6s Beispiel: (Geraden identisch zum vorherigen Beispiel) =0 ñº=(;"); \ñl=m_6.: [x-(;)] ·â · ( 1 ) - 0 H) = d (P₁, 6) ||| · 0) (7) - 3 d (g₁ h) = d (G, H) = d ( Ph² = 1/1₁·1-1211 = 121 71=11 [LE] = 36+81+4 =√127 = 11 [LE] GTR <=> t = 3 ^ S = -1 Lotfuß gerade D mid (²3²) ^ Win + (²₂) 1= x² = ( 8 ) + +- (₂²) 1₁ H₁ 6(- 3+6+) + 9 (0+9+) + 2(5 +2+) = 1^3 <=> -18 +36++ 81+ +10 +4+= -113 F(31917); d (g,h)= |(3³)-(1). (:)). ¡ √121=11 [LE] g -H D = √6² +9² +2²² H: 6x₁ + 9x₂ + 2x₂ = 113 d= 6(7) + 9. (2) +2. (4) = 113 Dieses Vorgehen ist identisch mit dem Vorgehen mit der Hesse'schen Normalenform bei der Abstandsbestimmung zwischen Punkt und Ebene. Es muss allerdings eine Hilfsebene erstellt werden, dessen Normalenvektor das Kreuzprodukt zwischen beiden Richtungsvektoren der Geraden ist. n Наhll H ден g h 7 -10 - ()] + (0) + 1] (9) (9)) = |(1-60-63-2)) 7 = -7 4 11 Anmerkung zur Abstandsbestimmung bei Bewegungsaufgaben: Handelt es sich bei der zu berechnenden Aufgabe um eine Bewegungsaufgaben, d.h. sie handelt von zwei sich gleichzeitig bewegenden Objekten, dann muss man diese als Extremwertproblem lösen. Dazu: 1. Für beide Geradengleichungen den Parameter t wählen 2. Abstandsfunktion d(t) aufstellen. d (t) beschreibt die Länge des Abstandes, t die Zeit nach Beobachtungsbeginn 3. Abstandsfunktion in Graphik-Menü des Taschenrechners eingeben und Minimum bestimmen lassen, oder händisch lösen ==> der X-Wert des Minimums ist dann t, dieser muss dann noch in d(t) eingesetzt werden, damit man die Länge des geringsten Abstandes erhält Beispiel: _g²x²= (²).+ (1)____h: x²= ( 3 ) ++. (3) => beschreiben die jeweiligen Flugbahnen bebenrechnungen: (+-(4++)² = ( +-4-+)² = (-4)² = 16 ((5+2+)-(9++))² = (5+2+-9-+)² = ( 4++)²³ = 16 - 8+ ++² (1+2+-3)² = (-2+2+)² = 4−8+ +4+² Abstandsfunktion: d(t) = √ (+-(4++))² + ((5+2+)-(9++))² + ( 1+2+-3)²" 16 +16-8+++² +4-8+ +4+² 5+²-16+ +36 GTR → Graph Мені 7 G-Solv - Min : += 1,6 Abstand d(1,6)=√√5. (1,6)²-16-(1,6) +36 Punkte: g.x²= (§) +1,6. (3)= (212) 6(1,618,214,2) X= 4,27 h₁ = ( 1 ) +1, 6. (1) = (166) H (5,6/10, 613) : = 145 5 24,82 km von zwei Flugzeugen Die beiden Flugzeuge kollidieren nicht, da sie sich am ungünstigsten "nur" etwa auf 4, 82 km nähern. zu dem Zeitpunkt, wo die beiden Flugzeuge den geringsten Abstand haben, befinden sich die Flugzeuge in den Punkten G(1,618,214,2) und H (5,61 10,613)

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

• Abstandsberechnung zwischen … —> Punkt und Ebene —> Punkt und Gerade —> zwei windschiefen Geraden • Anmerkung für Bewegungsaufgaben ==> mit verschiedenen Möglichkeiten die Abstände zu berechnen und Beispiele für alle Optionen

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1 )] · ( 1₂ )= 0; h: £= (88) ++. (324) 5 = (1₂) 151= √ 8² +9² +12²¹ = 17 = . . [ x² - ( 1)]· ÷ ·( 1₂ ) = 0 d (P₁, E) = 1/72 | [[(18)-(1³)] · (1)| = |(32) · (32)) = 22 (40+46+204) = 289 . ÷ 77 ==> aus der Hesse'schen Normalenform lässt sich auch die dritte Methode ableiten... 3.Projektionsverfahren: Dazu: Ebene und Gerade in folgende Formel einsetzen: d= - Beispiel: E: [(x - (3))] · ( 3 ) = 0 [()-(1)-(¹) (-1)² +2² +3² (r_p).n |ñ| Diese Formel ist einfach nur eine Kurzform der Hesse'schen Normalenform um den Rechenweg zu verkürzen |d= Abstand Punkt Gerade: 1. Mithilfe einer Hilfsebene R(31-112) (1)-(3) 2 Beispiel: g: E: 3x₁-2x3=24 1+4+9 (3). ++- (-³₂) R(6171-3) -2-6-6 √14 Auch hier gibt es drei Möglichkeiten, allerdings ist eine meiner Meinung nach zu kompliziert, wodurch ich nur zwei Möglichkeiten angeben werde => d= 3.6-2-(-3) = 18+6 = 24 17 [LE] Punkt in Ebene Eng: 3 (2+3+)-2 (4-2+) = 24 <=> 6+9+-8 +4+=24 <=> −2+13+ = 24 <=> 13+=264-5 + = 2 = -14 | | √74 = -√14 = √√ 14 [LE] Dazu: 1. Hilfsebene aufstellen. Diese muss senkrecht zur Geraden stehen und den Punkt R enthalten, zu dem der Abstand berechnet werden soll. Dafür den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene verwenden und P als weiteren Punkt für die Normalenform bzw. um d für die Koordinatenform auszurechnen. 2. Weiter verfahren, wie beim Abstand Punkt - Ebene: Hier aber nur Lotfußpunktverfahren verwendbar. -RF+g -g F²: D = ( ² ) + 2. (3³₂) = (3) + (8) - (5) d= [FF] = |( € ) - (!)) = √(²)) = √(2)² +6² ²² =√√49 = 7 [LE] 2.Orthogonalität Dazu: 1. Fußpunkt in Abhängigkeit von t angeben. Dies ist möglich, da der Punkt auf der Geraden liegt und er somit für ein bestimmtes t angegeben werden kann ● 2. Orthogonalitätsbedinging RF = 0 und nach t auflösen 3. t in Gerade einsetzten und Abstand zwischen F und R ausrechnen Beispiel: g: X² = ( ² ) + +·-(-3₂) R(6171-3) F₁ (2+3+1114-2+) Ft 6 (2+3+) 7 (2) (2) - + (25-12-94 FR₁=0=7-3-(4-2+)/ = - - (=> 32- 11+ =0 /=> += 2 Fª: D= ( ² ) + 2. (³₂) = (23) + (8) = (5) d= [FR] = |( 39 ) - ( 9 ) ) = ((3³)) = √€2³+6³² +8}]²¹ = Abstand windschiefer Geraden: 0 <=> 3 ⋅ (11-3+) + 6 + (-2) · (-7 +2+) =0 <=> 12- 9+ +6 + 14-2+=0 49 K 7 [LE] XR Beispiel: 12 = (²) - ₁. (2), ₁x (8²) .. (4) g: + S. h: = ++. = + Auch hier gibt es wieder drei Möglichkeiten. Allerdings ist bei der Auswahl der Lösungsmöglichkeiten der Kontext der Aufgabenstellung gefragt. Sind nämlich die exakten Punkte gefragt, in denen sich die beiden windschiefen Geraden am nächsten stehen, kann nur die 1. Variante verwendet werden. Fr 1. Orthogonalität Diese Methode ähnelt sehr der gleichnamigen Methode für die Berechnung des Abstands zwischen Punkt und Gerade. Allerdings ist zu beachten, dass zwei von Variablen abhängige Punkte für die Berechnung gebraucht werden. Also: 1. Die Punkte auf beiden Geraden in Abhängigkeit von Variablen angeben 2. Orthogonalitätsbedingung. Dazu zunächst den Vektor zwischen den zwei abhängigen Punkten berechnen und diese jeweils mit beiden Richtungsvektoren multiplizieren und ein Gleichungssystem aufstellen H 3. Variablen in die abhängigen Punkte einsetzen. Anschließend den Betrag der Strecke zwischen den nun unabhängigen Punkte berechnen g 6 6s (7+s17-2s1 4+ 6s) 6SH+6=0 - (-2) = 0 <=> єд і ^ 6SH+ · (-3) = 0 - 10 ++-S + 14-45+6-18 +-36s =0 -10 ++-S-3+9+ + 185 =0 H₂ (-3++) 01 5-3+1 €h 2. Mit Hilfe der Hilfsebene 10++175=13 6₁ (6191-2); Hz (0101-4) dig, h) = 16,³₂ | = |(9)| €7 Beispiel: g: R = (²²) + s (2²) ; h: B= (²³) ++. (3) <=> 121 += 121=+=1 => ²₁² 7₁-(3) × (-3)= (1) 2 6sHf Dieser Vorgang ist fast identisch mit dem Vorgang bei der Abstandsbestimmung zwischen einem Punkt und einer Ebene mit der Lotfußgerade. Es muss allerdings eine Hilfsebene aufgestellt werden, die die Gerade beinhaltet und nicht senkrecht auf der Geraden steht. -17+-415=-10 Hierzu: 1. Kreuzprodukt von beiden Richtungsvektoren berechnen. Dies bildet den Normalenvektor der Hilfsebene 2. Hilfsebene aufstellen ==> Der restliche Vorgang ist identisch mit dem Lotfußpunktverfahren der Abstandsberechnung zwischen Punkt und Ebene h 3. Mit Hilfe der Hesse’schen Normalenform - 10 ++-S - 7+25 1-3+ - 6s Beispiel: (Geraden identisch zum vorherigen Beispiel) =0 ñº=(;"); \ñl=m_6.: [x-(;)] ·â · ( 1 ) - 0 H) = d (P₁, 6) ||| · 0) (7) - 3 d (g₁ h) = d (G, H) = d ( Ph² = 1/1₁·1-1211 = 121 71=11 [LE] = 36+81+4 =√127 = 11 [LE] GTR <=> t = 3 ^ S = -1 Lotfuß gerade D mid (²3²) ^ Win + (²₂) 1= x² = ( 8 ) + +- (₂²) 1₁ H₁ 6(- 3+6+) + 9 (0+9+) + 2(5 +2+) = 1^3 <=> -18 +36++ 81+ +10 +4+= -113 F(31917); d (g,h)= |(3³)-(1). (:)). ¡ √121=11 [LE] g -H D = √6² +9² +2²² H: 6x₁ + 9x₂ + 2x₂ = 113 d= 6(7) + 9. (2) +2. (4) = 113 Dieses Vorgehen ist identisch mit dem Vorgehen mit der Hesse'schen Normalenform bei der Abstandsbestimmung zwischen Punkt und Ebene. Es muss allerdings eine Hilfsebene erstellt werden, dessen Normalenvektor das Kreuzprodukt zwischen beiden Richtungsvektoren der Geraden ist. n Наhll H ден g h 7 -10 - ()] + (0) + 1] (9) (9)) = |(1-60-63-2)) 7 = -7 4 11 Anmerkung zur Abstandsbestimmung bei Bewegungsaufgaben: Handelt es sich bei der zu berechnenden Aufgabe um eine Bewegungsaufgaben, d.h. sie handelt von zwei sich gleichzeitig bewegenden Objekten, dann muss man diese als Extremwertproblem lösen. Dazu: 1. Für beide Geradengleichungen den Parameter t wählen 2. Abstandsfunktion d(t) aufstellen. d (t) beschreibt die Länge des Abstandes, t die Zeit nach Beobachtungsbeginn 3. Abstandsfunktion in Graphik-Menü des Taschenrechners eingeben und Minimum bestimmen lassen, oder händisch lösen ==> der X-Wert des Minimums ist dann t, dieser muss dann noch in d(t) eingesetzt werden, damit man die Länge des geringsten Abstandes erhält Beispiel: _g²x²= (²).+ (1)____h: x²= ( 3 ) ++. (3) => beschreiben die jeweiligen Flugbahnen bebenrechnungen: (+-(4++)² = ( +-4-+)² = (-4)² = 16 ((5+2+)-(9++))² = (5+2+-9-+)² = ( 4++)²³ = 16 - 8+ ++² (1+2+-3)² = (-2+2+)² = 4−8+ +4+² Abstandsfunktion: d(t) = √ (+-(4++))² + ((5+2+)-(9++))² + ( 1+2+-3)²" 16 +16-8+++² +4-8+ +4+² 5+²-16+ +36 GTR → Graph Мені 7 G-Solv - Min : += 1,6 Abstand d(1,6)=√√5. (1,6)²-16-(1,6) +36 Punkte: g.x²= (§) +1,6. (3)= (212) 6(1,618,214,2) X= 4,27 h₁ = ( 1 ) +1, 6. (1) = (166) H (5,6/10, 613) : = 145 5 24,82 km von zwei Flugzeugen Die beiden Flugzeuge kollidieren nicht, da sie sich am ungünstigsten "nur" etwa auf 4, 82 km nähern. zu dem Zeitpunkt, wo die beiden Flugzeuge den geringsten Abstand haben, befinden sich die Flugzeuge in den Punkten G(1,618,214,2) und H (5,61 10,613)