Analytische Geometrie - Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

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Sporveniens I 4r = S +35 Ibr Beispiel Spannvektoren A(21-214), 8(-21310); C(0131-1) AB=(3-²) - (1) A-(3²4)- (3) 10-471-4 €₁*- (3) + r. (2) +- (3) Beispiel 2 8 · *-( )… - · § ); ™· * - ( ³ ) · ² (3) h: Schritt 9 und ʼn gleichsetzen ur = 3+5s III-I 4r S+35 Ibr=-3+5 I 0-2+25 +2 4 5= 1 Schritt 2 in I und II einsetzen I: 4r=5+3s 45=5+3.1 4r = 8 r=2 →g und h sind windschief -(-4) HI: 4= -2.(4-45) + us -4 = -8+85 +45 -4-8+425 4 = 12s =S 1:4 Merke identisch Las hat unendlich viele Lösungen parallel Las hat keine Lösungen, Richtungsvektoren sind linear abhängig → Vektor b ist ein Vielfaches von Vektor a I: 6r=-3+S EX schneiden sich Lás hat eine Lösung windschief LGS hat keine Lösungen; Richtungsvektoren sind linear unabhängig A(11013),8(21216) AB=(¯)-(1) 6r=-3+4 6r-2 1:6 oder I: 6r=-3+S 6-2 = -3+1 12=-22 max= **- (8) + +- (1) E₁*-(-3) +- (1) ··(4) E. 40 eine Gerade m zur Winkel- halbierenden der x-y-Ebene Beispiel 3 9₁ ()))) ist ein Vielfaches von it (35) IS -2,5A|: (-2,5) A=-2 40=-SA :(-5) *A=-2 1-6 = 31 A=-2 Beispiel 2 Ebene aus Geradengleichung und einem Punkt aufstellen 4 geg.: gi und P(11-31-3) Schritt Richtungsvektor der Geraden g wählen ū= Schritt 2 PÅ berechnen als 2. spannvektor Geradengleichung & Ebenengleichung Beziehung zwischen Ebenen & Geraden Merke parallel E=g+1+0 insbesondere Richtungs-und Spannvektoren sind linear abhängig in Ebene E-g → L=∞o insbesondere: Richtungs- und Spannvektoren sind linear abhängig Schnittpunkt E-g → ILI - 1Lösung Schritt 3 Pals Stützvektor, Richtungsvektor von g als 1. Spann- vektor und PÅ als 2. Spannvektor nehmen →g und h sind echt parallel. identisch Schritt 1 Punkt von g in h einsetzen (-2,5) berechnen 2 = 4-2,5k|-4-2=-2,5k| (-2,5) > k=0,8 4-8-Sk -8 -4 =-SK (-5) k=0,8 3= 3+3k 1-3 O = 3K :3 K=O →g und h sind echt parallel 2 gg. g:*= (+5 -(3) und A(11213) Schritt beliebige Punkte 8 und C berechnen für 5-0 einsetzen: Punkt 8 ·für s=1 einsetzen Punkt C (7) /^1) 9:x- Schritt 2 AB und AC 48= (6/3/ |+8 Schritt 3 Ebenengleichung aufstellen 1:42 E: x=OA+r.AB+S AC AC Lagebeziehung von Geraden +5/-2,5) 44 eine Gerade n, welche durch den Koordi- natenursprung und den Punkt (2141-2) verläuft (2-0) Geradengleichung aufstellen allgemeine Form in R³g=A+KAB Stutz Richtungs vektor vektor Beispiel Merke f identisch mit g Rechne einen beliebigen Punkt aus, der auf g liegt. Nimm diesen Punkt als Stützvektor von f. Der Richtungsvektor bleibt f parallel zu g Rechne einen beliebigen Punkt aus der auf g liegt. Übernehme den Richtungsvektor vong. Beispiel 4 9: 9₁ * - (5)• r· ( ) ; n³ *- (4) • ² (2) V ist ein Vielfaches von u f schneidet g Berechne einen beliebigen Punkt auf g. Nimm diesen als Stützvektor von f und einen beliebigen Richtungsvektor, der kein Vielfaches und nicht identisch zu g ist. f windschief zu g Berechne einen Punkt, der nicht auf g liegt. Der Richtungsvektor darf nicht parallel sein. Berechne mit ʼn den Schnittpunkt. Verändere h so, doss h nicht mehr g schneidet. g·*- (§) + ×· (²) 9 2 = -2 :(-2) (-3) →g und h sind echt parallel o. identisch Schritt1 Punkt von g in h einsetzen |:(-4)=-4 |2=4 -k |-4 0=4-2k-u 2=4-4-4 Schnittmengen von 2 Geraden 9:*=+r.u h: x=b+s-v |-2=-k -4 = -2K 1-2 = -K →g und h sind identisch A=-1 A=-1 geg.gix- |:(-1) ➡k= 2 :(-2) = 2 (-A) K=2 Merke 1 Wenn g und h sich schneiden, dann sind und linear unabhängig. Die Differere -6 lässt sich als eine Linearkombination von u und v schreiben. 2 Wenn und h identisch sind, dann sind und linear abhängig. Die Differenz 5-6 ist ein Vielfaches der beiden Richtungsvektoren u und 3) Wenn g und h parallel sind, dann sind und linear abhängig. Die Differenz - ist kein Vielfaches der beiden Richtungsvektoren und v Wenn g und h windschief sind, dann sind und linear unabhängig. Die Differene-b lässt sich nicht als eine Linearkombination von u und schreiben. s Wennu und V linear unabhängig sind, dann können g und h sich schneiden oder windschief sein. und E 6 wenn und linear abhängig sind, dann können g und h identisch oder zueinander parallel sein. Beispiel 3 Gleichungen und Ebenen aufstellen *- (-3) + ×· (31) ¤· * -( ) · - ·( 2³ ) • • ·(-:*) +r. 1 eine Gerade h, die parallel zu g und durch den Punkt (71-312) verläuft +t 2 eine Gerade f, die senkrecht zu g und durch den Punkt (-21011) verläuft 3 eine Gerade e, welche die Gerade 9 in (21-413) schneidet e:x= +t. 0 alle Komponenten, die kein Vielfaches des Richtungsvektors von g sind 4 eine zu g windschiefe Gerade i alle Komponemen, die van Vielfaches des Richtungsvektors vong sind darf nicht paralel sen 5 eine Gerade die senkrecht zu E durch den Punkt (11-114) verläuft +ta₂ 0₂ 6 eine Gerade k, die in E liegt und den Punkt (8141-3) enthält 7 eine Gerade 1. die parallel zu E durch den Punkt (41016) verläuft 1:7= +t. 8 eine Ebene F, die parallel zu E verläuft & den Punkt (11213) enthält Parameterform und Parameterform Lage beziehung von Gerade und Gerade liegt drau? identisch / parallel 2 Punktprobe identisch Richtungsvektoren der Geraden vergleichen liest nich drauf Vielfaches parallel ANALYTISCHE GEOMETRIE die Geradeg ist parallel zur Ebene E die Gerade g liegt ganz in E kein Vielfachs schneiden sich I windschief 2 Gleichsetzen !Sonderfall g und h schneiden sich und sind. orthogonal → Skalar produkt der Richtungsvektoren muss Null ergeben liegt ein Punkt A der Geraden in E? 1 Losung Parameterform und Koordinatenform schneiden sich Lage beziehung von Gerade und Ebene gilt n=0² veine Lösung die Gerade schneidet die Ebene E in einem Punkt die Gerade gist parallel zu E windschief Lage beziehung von Gerade und Ebene 1 Gerade mit Ebene gleichsetzen 2 3 Fälle: 1 g und Eschneiden sich 2 g und E sind echt parallel identisch Lagebeziehungen 3 liegt E₁ in E₂² Sonderfall Die Gerade g schneidet die Ebene E orthogonal. Dies ist der Fall, wenn der Normalvektor von E ein Vielfaches des Richtungsvektors von g ist. Lage beziehung von Ebene und Ebene g liegt in E E₁ & ₂ sind echt parallel sind die Ebenen parallel? Schnittpunkt Lage beziehung von Ebene und Ebene 1 Eben 1 mit Ebene 2 gleichsetzen 2 3 Fälle: 6₁ und E₂ schneiden sich (Schnittgerade) 2 E₁ und E₂ sind echt parallel 3 E₁ und E₂ sind identisch Sonderfall Die Ebenen sind orthogonal. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der Normal- vektoren Null ist. Kollinearität 2 Vektoren bilden immer eine Gerade liegt der 3. Punkt auf Gerade ? kolliniar nicht kollinear