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Grundlagen der Kreisgeometrie

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Mathematik: Kugeln und ihre Eigenschaften

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Amelie

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Kugeln sind dreidimensionale Objekte, die du dir wie perfekte Bälle... Mehr anzeigen

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Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

Grundlagen von Kugeln und Schnittpunkten mit Geraden

Eine Kugelgleichung sieht folgendermaßen aus: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2(x_1 - m_1)^2 + (x_2 - m_2)^2 + (x_3 - m_3)^2 = r^2. Hier ist M(m1,m2,m3)(m_1, m_2, m_3) der Mittelpunkt und r der Radius.

Um zu prüfen, wo sich ein Punkt befindet, setzt du ihn einfach in die Gleichung ein. Ist das Ergebnis kleiner als r2r^2, liegt er innerhalb der Kugel. Bei Gleichheit liegt er auf der Kugel, bei größeren Werten außerhalb.

Für Gerade-Kugel-Schnitte setzt du die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein und löst mit der pq-Formel auf. Je nach Anzahl der Lösungen erkennst du die Lagebeziehung.

Merktipp: Die Anzahl der Lösungen verrät dir sofort die Beziehung: 2 = Sekante, 1 = Tangente, 0 = Passante!

Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

Lagebeziehungen und Abstandsberechnungen

Bei Gerade-Kugel-Schnitten gibt es drei Möglichkeiten: Sekante (2 Schnittpunkte), Tangente (1 Berührpunkt) oder Passante (kein Schnittpunkt). Die Schnittpunkte findest du, indem du die Lösungsparameter in die Geradengleichung einsetzt.

Der Abstand zwischen Gerade und Kugelmittelpunkt hilft dir bei der Analyse. Du bestimmst den Lotfußpunkt L, indem du die Bedingung LM→⋅u→=0\overrightarrow{LM} \cdot \overrightarrow{u} = 0 nutzt - das bedeutet, dass der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor steht.

Anschließend vergleichst du ∣LM∣|LM| mit dem Radius r. Ist ∣LM∣<r|LM| < r, hast du eine Sekante. Bei ∣LM∣=r|LM| = r eine Tangente und bei ∣LM∣>r|LM| > r eine Passante.

Praxistipp: Der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden entscheidet alles - vergleiche ihn immer zuerst mit dem Radius!

Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

Tangenten und Kugel-Ebene-Beziehungen

Eine Tangente an eine Kugel konstruierst du über einen gegebenen Punkt P. Du nutzt die Eigenschaft, dass Tangente und Radius senkrecht zueinander stehen: BP⃗⋅n⃗=0\vec{BP} \cdot \vec{n} = 0. Durch Vereinfachen erhältst du die Tangentenebene E.

Bei Kugel-Ebene-Schnitten berechnest du zuerst den Abstand d(M,E) zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene. Verwende die Formel d(M,E)=∣n⃗⋅(m⃗−p⃗)∣d(M,E) = |\vec{n} \cdot (\vec{m} - \vec{p})| mit dem Einheitsvektor n⃗\vec{n}.

Die Lagebeziehung erkennst du durch Vergleich: d(M,E)>rd(M,E) > r bedeutet keine gemeinsamen Punkte, d(M,E)=rd(M,E) = r einen Berührpunkt und d(M,E)<rd(M,E) < r einen Schnittkreis. Der Radius des Schnittkreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: (r∗)2=r2−d2(r^*)^2 = r^2 - d^2.

Wichtig: Der Abstand Mittelpunkt-Ebene bestimmt wieder alles - lerne diese Formel gut!

Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

Tangentialebenen und Kugel-Kugel-Schnitte

Tangentialebenen findest du durch die Bedingung BM⃗⋅BA⃗=0\vec{BM} \cdot \vec{BA} = 0 - der Berührpunkt, Mittelpunkt und beliebiger Ebenenpunkt bilden einen rechten Winkel. Dies führt zur Ebenengleichung: (OM⃗−OB⃗)⋅(a⃗−OB⃗)=0(\vec{OM} - \vec{OB}) \cdot (\vec{a} - \vec{OB}) = 0.

Bei zwei sich schneidenden Kugeln entstehen verschiedene Situationen je nach Abstand d der Mittelpunkte. Für einen Schnittkreis muss gelten: r1−r2<d<r1+r2r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2 bei $r_1 > r_2$.

Den Schnittkreis findest du, indem du beide Kugelgleichungen gleichsetzt und vereinfachst - das Ergebnis ist die Ebene E des Schnittkreises. Den Mittelpunkt H* des Schnittkreises erhältst du als Schnittpunkt der Verbindungsgerade der Kugelmittelpunkte mit der Ebene E.

Merkhilfe: Bei Kugel-Kugel-Schnitten entsteht immer ein Kreis als Schnittfigur - nie ein einzelner Punkt oder eine andere Form!

Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

Spezielle Kugel-Kugel-Lagen

Wenn sich zwei Kugeln berühren, gibt es zwei Möglichkeiten: Außenberührung $d = r_1 + r_2$ oder Innenberührung $d = r_1 - r_2$. In beiden Fällen haben die Kugeln genau einen gemeinsamen Punkt.

Bei der Berechnung stellst du die Schnittebene auf und setzt sie in eine der Kugelgleichungen ein. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen - oft gibt es zwei mathematische Lösungen, aber nur eine ist geometrisch sinnvoll.

Der Radius des Schnittkreises berechnet sich immer mit dem Satz des Pythagoras: (r∗)2=r2−(H1H2‾)2(r^*)^2 = r^2 - (\overline{H_1H_2})^2, wobei H1H2‾\overline{H_1H_2} der Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Schnittkreismittelpunkt ist.

Kontrolltipp: Prüfe deine Ergebnisse immer geometrisch - machen die berechneten Abstände und Radien Sinn?



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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

Android-Nutzerin

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Anna

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Thomas R

iOS-Nutzer

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

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Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

Android-Nutzer

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Xander S

iOS-Nutzer

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Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

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Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

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Kugeln sind dreidimensionale Objekte, die du dir wie perfekte Bälle vorstellen kannst. In der analytischen Geometrie beschreibst du sie mit Gleichungen und untersuchst, wie sie mit Geraden, Ebenen und anderen Kugeln interagieren. Diese Konzepte helfen dir, räumliche Beziehungen mathematisch zu... Mehr anzeigen

Kugeln PUNKT KUGEL K. $(x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2 = r^2$ → H $(m_1|m_2|m_3)$ → Mittelpunkt → X $(x_1|x_2|x_3)$→ beliebiger Punk

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Die Lagebeziehung erkennst du durch Vergleich: d(M,E)>rd(M,E) > r bedeutet keine gemeinsamen Punkte, d(M,E)=rd(M,E) = r einen Berührpunkt und d(M,E)<rd(M,E) < r einen Schnittkreis. Der Radius des Schnittkreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: (r∗)2=r2−d2(r^*)^2 = r^2 - d^2.

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Beliebtester Inhalt: Kugel

Geometrie: Kreise & Kugeln

Vertiefte Lernressourcen zu Kreisen und Kugeln für die 13. Klasse in der linearen Algebra. Dieser Lernzettel behandelt zentrale Konzepte wie die Kugelgleichung, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie die Lagebeziehungen von geometrischen Figuren. Ideal für die Vorbereitung auf Prüfungen und das Verständnis grundlegender geometrischer Prinzipien.

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Kugelgleichung und Lagebeziehungen

Erfahren Sie alles über die Kugelgleichung, einschließlich der Aufstellung von Vektor- und Koordinatengleichungen. Lernen Sie, wie man den Mittelpunkt und den Radius einer Kugel bestimmt und die gegenseitige Lage von Punkten, Geraden und Ebenen zur Kugel analysiert. Ideal für Studierende der Geometrie und Mathematik.

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Kugelgeometrie und Schnittpunkte

Entdecken Sie die Grundlagen der Kugelgeometrie, einschließlich der Kugelgleichung, der Berechnung von Schnittpunkten zwischen Kugeln und der Position von Punkten relativ zur Kugel. Diese Zusammenfassung bietet eine klare Erklärung der Konzepte und Methoden, die für das Verständnis der Geometrie von Kugeln erforderlich sind. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen vertiefen möchten.

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Geometrische Körper: Kreis, Zylinder, Kugel

Entdecken Sie die wichtigsten Formeln und Berechnungen für Kreise, Zylinder und Kugeln. Diese Zusammenfassung bietet klare Erklärungen, Beispiele und Formeln für Umfang, Fläche und Volumen. Ideal für Schüler, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Geometrie vertiefen möchten.

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Beliebtester Inhalt in Mathe

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten

Entdecken Sie die Grundlagen der Stochastik, einschließlich Kombinatorik, Bernoulli-Experimente, bedingte Wahrscheinlichkeiten und die Vierfeldertafel. Erfahren Sie mehr über Histogramme, Erwartungswert und Standardabweichung sowie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Ideal für Studierende der Statistik und Mathematik.

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Mathe Abi: Analysis, Vektoren, Stochastik

Umfassender Lernzettel für das Abitur in Mathematik, der die Themen Analysis, Vektoren und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrale, Vektorgeometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen.

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Mathematik Abitur Zusammenfassung

Umfassende Zusammenfassung für das Mathematik Abitur, die Analysis, analytische Geometrie und Stochastik abdeckt. Enthält wichtige Konzepte wie Ableitungen, Integrationsregeln, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Untersuchung von Funktionen. Ideal für die Prüfungsvorbereitung.

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Analysis: Funktionsscharen & Ableitungen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Übersicht über zentrale Themen der Analysis, einschließlich Funktionsscharen, Ableitungen, Extrempunkte, Integrale und e-Funktionen. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur im Mathematik Grundkurs. Verstehe die Konzepte und deren Anwendungen mit klaren Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen.

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Mathe-Abitur 2024: Stochastik & Vektoren

Umfassende Lernressourcen für das Mathe-Abitur 2024 im Leistungskurs NRW. Themen: Hypothesentests, Binomialverteilung, Vektorrechnung (Lagebeziehungen, Abstände, Spiegelung), Analysis (Funktionstypen, Integralrechnung, Extremwertaufgaben) und mehr. Ideal zur Vorbereitung auf Prüfungen und zur Vertiefung mathematischer Konzepte.

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Integralrechnung Grundlagen

Dieser Lernzettel bietet eine umfassende Einführung in die Integralrechnung, einschließlich der Berechnung von Flächeninhalten unter und zwischen Graphen. Er behandelt wichtige Konzepte wie das Integralzeichen, die Bestimmung von Ober- und Untersummen, sowie die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der Integralrechnung vertiefen möchten.

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Integralrechnung und Flächenberechnung

Erfahre alles über die Integralrechnung, einschließlich unbestimmter und bestimmter Integrale, Integralschreibweise und Rechenregeln. Lerne, wie man Flächeninhalte zwischen Funktionsgraphen berechnet und die Kurvendiskussion durchführt. Ideal für die Vorbereitung auf Klausuren in der Differential- und Integralrechnung.

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Mathe GK Abi

Grundlagen, Funktionen, Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik

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Mathe Abi26 Zusammenfassung NRW

Dient zur Vorbereitung auf das Abitur 2026 im Grundkurs Mathematik.

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Beliebtester Inhalt

Abilernzettel Heimsuchung 2025

Figurenkonstellation, Kapitel Zusammenfassung, Charaktere, Motive, Deutungsansätze,

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Der zerbrochene Krug

Szenenzusammenfassunfen, Figurenkonstellationen, Aufbau des Stücks, Sprache und Stilbesonderheiten, Aussageabsicht, Thematik, Interpretation

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Der zerbrochene Krug: Analyse

Diese umfassende Analyse von 'Der zerbrochene Krug' von Heinrich von Kleist bietet eine detaillierte Kapitelzusammenfassung, Charakterisierungen, historische Kontexte, sowie den Aufbau und die sprachlichen Merkmale des Dramas. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder tiefere Einblicke in Kleists Werk gewinnen möchten.

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Heimsuchung - Jenny Erpenbeck

Inhalt, Entstehung und Quellen, Figuren, Geschichtliche Hintergründe, Motive, Erzählstruktur/- stil

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Zusammenfassung Heimsuchung

ein Zusammenfassung vom Buch Heimsuchung hinsichtlich auf eine literarische Erörterung

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Heimsuchung - Jenny Erpenbeck - KompletteZusammenfassung jedemKapitel+Analyse+Merkmale+Klausur Übung

Komplette Zusammenfassung von jedem Kapitel + Deutung+ Analyse + Merkmale+ Themen

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Der zerbrochene Krug von Heinrich von Kleist

Hier steht so ziemlich alles drinnen von Zusammenfassungen der einzelnen Auftritte bis hin zu den einzelnen Perosn und noch einiges mehr

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Charaktere aus Heimsuchung von Jenny Erpenbeck

Mindmap, Allgemeines, Verlauf

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Inhaltsverzeichnis Heimsuchung Jenny Erpenbeck

Zusammenfassung der Kapitel aus Heimsuchung Q1

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4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

iOS-Nutzer

Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

Android-Nutzer

Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

iOS-Nutzer

Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

Android-Nutzer

Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

iOS-Nutzer

DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS-Nutzer

Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

iOS-Nutzer

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Stefan S

iOS-Nutzer

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Samantha Klich

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Anna

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Thomas R

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Basil

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David K

iOS-Nutzer

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Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android-Nutzerin

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Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

iOS-Nutzer

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Paul T

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