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Amelie
3.12.2025
Mathe
Kugeln
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3. Dez. 2025
•
Amelie
@notes_by_amelie
Kugeln sind dreidimensionale Objekte, die du dir wie perfekte Bälle... Mehr anzeigen
Eine Kugelgleichung sieht folgendermaßen aus: . Hier ist M der Mittelpunkt und r der Radius.
Um zu prüfen, wo sich ein Punkt befindet, setzt du ihn einfach in die Gleichung ein. Ist das Ergebnis kleiner als , liegt er innerhalb der Kugel. Bei Gleichheit liegt er auf der Kugel, bei größeren Werten außerhalb.
Für Gerade-Kugel-Schnitte setzt du die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein und löst mit der pq-Formel auf. Je nach Anzahl der Lösungen erkennst du die Lagebeziehung.
Merktipp: Die Anzahl der Lösungen verrät dir sofort die Beziehung: 2 = Sekante, 1 = Tangente, 0 = Passante!
Bei Gerade-Kugel-Schnitten gibt es drei Möglichkeiten: Sekante (2 Schnittpunkte), Tangente (1 Berührpunkt) oder Passante (kein Schnittpunkt). Die Schnittpunkte findest du, indem du die Lösungsparameter in die Geradengleichung einsetzt.
Der Abstand zwischen Gerade und Kugelmittelpunkt hilft dir bei der Analyse. Du bestimmst den Lotfußpunkt L, indem du die Bedingung nutzt - das bedeutet, dass der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor steht.
Anschließend vergleichst du mit dem Radius r. Ist , hast du eine Sekante. Bei eine Tangente und bei eine Passante.
Praxistipp: Der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden entscheidet alles - vergleiche ihn immer zuerst mit dem Radius!
Eine Tangente an eine Kugel konstruierst du über einen gegebenen Punkt P. Du nutzt die Eigenschaft, dass Tangente und Radius senkrecht zueinander stehen: . Durch Vereinfachen erhältst du die Tangentenebene E.
Bei Kugel-Ebene-Schnitten berechnest du zuerst den Abstand d(M,E) zwischen Kugelmittelpunkt und Ebene. Verwende die Formel mit dem Einheitsvektor .
Die Lagebeziehung erkennst du durch Vergleich: bedeutet keine gemeinsamen Punkte, einen Berührpunkt und einen Schnittkreis. Der Radius des Schnittkreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: .
Wichtig: Der Abstand Mittelpunkt-Ebene bestimmt wieder alles - lerne diese Formel gut!
Tangentialebenen findest du durch die Bedingung - der Berührpunkt, Mittelpunkt und beliebiger Ebenenpunkt bilden einen rechten Winkel. Dies führt zur Ebenengleichung: .
Bei zwei sich schneidenden Kugeln entstehen verschiedene Situationen je nach Abstand d der Mittelpunkte. Für einen Schnittkreis muss gelten: bei $r_1 > r_2$.
Den Schnittkreis findest du, indem du beide Kugelgleichungen gleichsetzt und vereinfachst - das Ergebnis ist die Ebene E des Schnittkreises. Den Mittelpunkt H* des Schnittkreises erhältst du als Schnittpunkt der Verbindungsgerade der Kugelmittelpunkte mit der Ebene E.
Merkhilfe: Bei Kugel-Kugel-Schnitten entsteht immer ein Kreis als Schnittfigur - nie ein einzelner Punkt oder eine andere Form!
Wenn sich zwei Kugeln berühren, gibt es zwei Möglichkeiten: Außenberührung $d = r_1 + r_2$ oder Innenberührung $d = r_1 - r_2$. In beiden Fällen haben die Kugeln genau einen gemeinsamen Punkt.
Bei der Berechnung stellst du die Schnittebene auf und setzt sie in eine der Kugelgleichungen ein. Achte dabei besonders auf die Vorzeichen - oft gibt es zwei mathematische Lösungen, aber nur eine ist geometrisch sinnvoll.
Der Radius des Schnittkreises berechnet sich immer mit dem Satz des Pythagoras: , wobei der Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Schnittkreismittelpunkt ist.
Kontrolltipp: Prüfe deine Ergebnisse immer geometrisch - machen die berechneten Abstände und Radien Sinn?
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Julia S
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Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
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Hans T
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Amelie
@notes_by_amelie
Kugeln sind dreidimensionale Objekte, die du dir wie perfekte Bälle vorstellen kannst. In der analytischen Geometrie beschreibst du sie mit Gleichungen und untersuchst, wie sie mit Geraden, Ebenen und anderen Kugeln interagieren. Diese Konzepte helfen dir, räumliche Beziehungen mathematisch zu... Mehr anzeigen
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Eine Kugelgleichung sieht folgendermaßen aus: . Hier ist M der Mittelpunkt und r der Radius.
Um zu prüfen, wo sich ein Punkt befindet, setzt du ihn einfach in die Gleichung ein. Ist das Ergebnis kleiner als , liegt er innerhalb der Kugel. Bei Gleichheit liegt er auf der Kugel, bei größeren Werten außerhalb.
Für Gerade-Kugel-Schnitte setzt du die Geradengleichung in die Kugelgleichung ein und löst mit der pq-Formel auf. Je nach Anzahl der Lösungen erkennst du die Lagebeziehung.
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Bei Gerade-Kugel-Schnitten gibt es drei Möglichkeiten: Sekante (2 Schnittpunkte), Tangente (1 Berührpunkt) oder Passante (kein Schnittpunkt). Die Schnittpunkte findest du, indem du die Lösungsparameter in die Geradengleichung einsetzt.
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Die Lagebeziehung erkennst du durch Vergleich: bedeutet keine gemeinsamen Punkte, einen Berührpunkt und einen Schnittkreis. Der Radius des Schnittkreises ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras: .
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Wenn sich zwei Kugeln berühren, gibt es zwei Möglichkeiten: Außenberührung $d = r_1 + r_2$ oder Innenberührung $d = r_1 - r_2$. In beiden Fällen haben die Kugeln genau einen gemeinsamen Punkt.
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Der Radius des Schnittkreises berechnet sich immer mit dem Satz des Pythagoras: , wobei der Abstand vom Kugelmittelpunkt zum Schnittkreismittelpunkt ist.
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Entdecken Sie die wesentlichen Konzepte der Vektoren und Ebenen in der Mathematik. Dieser Lernzettel behandelt Orts- und Richtungsvektoren, Berechnungen mit Vektoren, die Lage von Geraden und Ebenen sowie das Skalarprodukt. Ideal für die Vorbereitung auf das Abitur in NRW im Grundkurs. Verstehen Sie die Orthogonalität von Vektoren, Abstände zwischen Punkten und Ebenen sowie die Parameterdarstellung von Geraden.
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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