Grundlagen der Vektoren

Vektoren sind mathematische Objekte mit Richtung und Länge. Wir unterscheiden zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren.

Ortsvektoren beginnen immer im Ursprung O und enden in einem bestimmten Punkt. Hat ein Punkt A die Koordinaten $x/y/z$, dann hat sein Ortsvektor OA ebenfalls die Koordinaten $x/y/z$. Richtungsvektoren dagegen können beliebige Anfangspunkte haben und stellen die Verbindung zwischen zwei Punkten dar. Den Richtungsvektor von B nach A (BA) berechnen wir mit a - b.

Mit Vektoren kannst du rechnen: Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise. Bei der Skalarmultiplikation wird jede Komponente mit dem Skalar multipliziert. Beachte: Eine Division durch Vektoren ist nicht definiert!

💡 Der Betrag eines Vektors (seine Länge) berechnet sich mit der Formel: |a| = √$a₁² + a₂² + a₃²$. Diese Formel brauchst du häufig bei Abstandsberechnungen.

Vektoren werden von oben nach unten gelesen: Die erste Komponente x₁ gibt die Richtung vorne/hinten an, die zweite x₂ steht für rechts/links und die dritte x₃ für oben/unten. Positive Werte bedeuten vorne/rechts/oben, negative Werte hinten/links/unten.

Geraden und Ebenen im Koordinatensystem

Im dreidimensionalen Raum existieren drei Koordinatenebenen: die x₁x₂-Ebene, die x₂x₃-Ebene und die x₁x₃-Ebene. Diese Ebenen helfen dir, Punkte und Vektoren im Raum zu verorten.

Eine Gerade lässt sich durch eine Parametergleichung darstellen. Du benötigst dafür einen Stützvektor p (Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden) und einen Richtungsvektor r. Die Parameterform lautet dann: x = p + t·r. Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, kannst du die Punktprobe durchführen.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃ ist ein wichtiges Werkzeug und hilft dir:

1. Die Orthogonalität zweier Vektoren zu überprüfen $a·b = 0$
2. Den Winkel zwischen Vektoren zu berechnen mit: cos(φ) = (a·b)/(|a|·|b|)

💡 Mit dem Skalarprodukt kannst du ganz einfach testen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen - ist das Ergebnis 0, stehen sie orthogonal zueinander!

Wenn du einen Richtungsvektor zwischen zwei Punkten berechnen willst, subtrahierst du einfach ihre Ortsvektoren: AB = b - a. Die Richtung ist dabei nicht entscheidend - ob du AB oder BA verwendest, hängt von deiner Aufgabe ab.

Lagebeziehungen zwischen Geraden

Geraden im Raum können in verschiedenen Beziehungen zueinander stehen: parallel, identisch, sich schneidend oder windschief.

Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, untersuchst du zunächst ihre Richtungsvektoren:

• Sind die Richtungsvektoren kollinear (ein Vielfaches voneinander), sind die Geraden parallel oder identisch
• Sind sie nicht kollinear, können die Geraden sich schneiden oder windschief sein

Bei parallelen Geraden musst du mit einer Punktprobe prüfen, ob sie identisch sind. Liegt ein Punkt der ersten Geraden auch auf der zweiten, sind die Geraden identisch.

💡 Bei nicht-parallelen Geraden musst du ihre Parametergleichungen gleichsetzen und ein lineares Gleichungssystem lösen. Hat dieses eine Lösung, schneiden sich die Geraden; gibt es keine Lösung, sind sie windschief zueinander!

Das Gleichsetzen der Parametergleichungen führt zu einem Gleichungssystem, das du z.B. mit dem Gauß-Verfahren oder mit dem CAS-Rechner lösen kannst. Die erhaltenen Parameter r und s zeigen dir dann den Schnittpunkt.

Gegenseitige Lage von Geraden im Raum

Geraden im Raum ändern ihre Richtung nicht, bestehen aus unendlich vielen Punkten und sind unendlich lang. Die Parameterdarstellung einer Geraden lautet: g: x = p + t·r, wobei p der Stützvektor und r der Richtungsvektor ist.

Wenn du eine Gerade durch zwei Punkte A und B bestimmen willst, wählst du den Ortsvektor von Punkt A als Stützvektor und den Verbindungsvektor AB als Richtungsvektor.

Hier eine Zusammenfassung der möglichen Lagebeziehungen:

1. Parallele Geraden: Gleiche oder entgegengesetzte Richtungsvektoren, keine gemeinsamen Punkte
2. Identische Geraden: Gleiche oder entgegengesetzte Richtungsvektoren und mindestens ein gemeinsamer Punkt
3. Schneidende Geraden: Unterschiedliche Richtungen, genau ein gemeinsamer Punkt
4. Windschiefe Geraden: Unterschiedliche Richtungen, keine gemeinsamen Punkte

💡 Wenn du die Lage zweier Geraden untersuchen sollst, prüfe zuerst immer die Richtungsvektoren auf Kollinearität - das spart dir oft viel Rechenarbeit!

Die Bestimmung der gegenseitigen Lage von Geraden ist eine häufige Aufgabe in Klausuren, also übe diese Fälle gründlich.

Parameterdarstellung von Ebenen

Eine Ebene im Raum kannst du durch eine Parameterdarstellung beschreiben. Dafür brauchst du drei nicht-kollineare Punkte A, B und C, die in der Ebene liegen.

Die Parameterdarstellung einer Ebene lautet: E = a + r·AB + s·AC

Dabei ist:

• a: der Stützvektor (Ortsvektor des Punktes A)
• AB und AC: die Spannvektoren (Richtungsvektoren), die die Ebene aufspannen
• r und s: die Parameter, die beliebige reelle Werte annehmen können

💡 Bei der Parameterdarstellung einer Ebene kannst du dir vorstellen, dass du von einem Basispunkt aus in zwei verschiedene Richtungen "spazieren" kannst - die Parameter r und s geben dabei an, wie weit du in jede Richtung gehst.

Beispiel: Mit den Punkten A(1|2|3), B(2|2|2) und C(4|4|4) ergeben sich die Vektoren AB(1|0|-1) und AC(3|2|1). Die Parameterdarstellung der Ebene lautet dann: E = (1|2|3) + r·(1|0|-1) + s·(3|2|1)

Diese Darstellung brauchst du häufig für weitere Berechnungen wie Schnittgeraden oder Abstände.

Abstand von Punkt zu Ebene

Um den Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E zu berechnen, verwendest du das Lotfußverfahren:

1. Berechne das Kreuzprodukt der Spannvektoren der Ebene. Das ergibt den Normalenvektor n, der senkrecht auf der Ebene steht: n = (Spannvektor 1) × (Spannvektor 2)

2. Stelle eine Hilfsgrade h durch den Punkt P in Richtung des Normalenvektors auf: h = OP + t·n

3. Berechne den Schnittpunkt S dieser Hilfsgeraden mit der Ebene, indem du die Gleichungen gleichsetzt und das resultierende lineare Gleichungssystem löst.

4. Berechne die Länge des Vektors PS, der dem gesuchten Abstand entspricht: |PS| = √$(Px-Sx)² + (Py-Sy)² + (Pz-Sz)²$

💡 Der Normalenvektor, den du durch das Kreuzprodukt erhältst, ist der Schlüssel zu diesem Verfahren. Er zeigt immer senkrecht von der Ebene weg - genau in die Richtung, in der du den kürzesten Abstand messen willst.

Diese Methode mag zwar aufwändig erscheinen, ist aber systematisch und funktioniert immer. In der Praxis kannst du das Gleichungssystem mit einem CAS-Rechner lösen, um Zeit zu sparen.

Gauß-Verfahren und CAS-Nutzung

Das Gauß-Verfahren ist eine systematische Methode, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Du bringst dabei das Gleichungssystem auf Stufenform durch folgende Äquivalenzumformungen:

1. Vertauschen zweier Gleichungen
2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl c ≠ 0
3. Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und einer anderen Gleichung

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn du Schnittpunkte von Geraden oder Ebenen berechnen oder die gegenseitige Lage von geometrischen Objekten bestimmen möchtest.

💡 Wenn du mit dem CAS-Rechner arbeitest und keine Lösung erhältst, bedeutet das bei der Untersuchung zweier Geraden, dass sie windschief zueinander liegen!

Der CAS-Rechner kann dir die Lösungsmenge für die gesuchten Parameter (wie r und s) direkt ausgeben, was bei komplexen Gleichungssystemen viel Zeit spart. Die Interpretation des Ergebnisses bleibt jedoch dir überlassen: Eine eindeutige Lösung bedeutet einen Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet windschief, und unendlich viele Lösungen deuten auf identische Geraden hin.