Analytische Geometrie Abitur 2022: Grundlagen und Übungen

Grundlagen der Vektorrechnung

Das Skalarprodukt ist dein bester Freund in der Vektorrechnung: $\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1\cdot b_1 + a_2\cdot b_2 + a_3\cdot b_3$. Du multiplizierst einfach die entsprechenden Komponenten und addierst alles zusammen.

Die Länge eines Vektors berechnest du mit $|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$ - das ist wie der Satz des Pythagoras in 3D. Super praktisch für Abstandsberechnungen zwischen zwei Punkten!

Den Winkel zwischen zwei Vektoren findest du mit $\cos(\alpha) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$. Zwei Vektoren sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Kollineare Vektoren sind parallel und damit Vielfache voneinander.

Merktipp: Skalarprodukt = 0 bedeutet immer rechter Winkel!

Lagebeziehungen von Geraden

Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten verhalten: schneidend, parallel, identisch oder windschief. Das klingt komplizierter als es ist!

Zuerst checkst du die Richtungsvektoren: Sind sie Vielfache voneinander? Falls ja, sind die Geraden parallel oder identisch. Eine schnelle Punktprobe zeigt dir, welcher Fall vorliegt.

Falls die Richtungsvektoren nicht parallel sind, setzt du die Geraden gleich und suchst nach Lösungen. Ein Schnittpunkt bedeutet, die Geraden schneiden sich. Keine Lösung bedeutet, sie sind windschief - das gibt's nur im 3D-Raum.

Bei Gerade und Ebene läuft's ähnlich: Sie können sich schneiden (1 Schnittpunkt), parallel sein (0 Schnittpunkte) oder die Gerade liegt komplett in der Ebene (unendlich viele Schnittpunkte).

Praxistipp: Windschief bedeutet, die Geraden laufen aneinander vorbei ohne sich zu treffen - wie zwei Autobahnen auf verschiedenen Ebenen!

Abstandsberechnungen - Punkt zu Punkt und Punkt zu Gerade

Abstand zwischen zwei Punkten ist mega einfach: Du bildest den Differenzvektor und berechnest seinen Betrag mit $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

Beim Abstand Punkt-Gerade wird's interessanter. Du suchst den Lotfußpunkt - den Punkt auf der Gerade, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Dafür stellst du einen beliebigen Punkt auf der Gerade dar.

Der Trick: Der Verbindungsvektor vom gegebenen Punkt zum Lotfußpunkt muss orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade sein. Das gibt dir eine Gleichung, mit der du den Parameter bestimmen kannst.

Am Ende setzt du den Parameter ein und berechnest die Länge des Verbindungsvektors - das ist dein gesuchter Abstand!

Schlauer Move: Der kürzeste Abstand ist immer der lotrechte Abstand!

Abstand zwischen parallelen Geraden

Bei parallelen Geraden nutzt du einen cleveren Trick: Du nimmst einfach einen beliebigen Punkt von einer Gerade und berechnest seinen Abstand zur anderen Gerade. Easy!

Das Verfahren kennst du schon vom Punkt-Gerade-Abstand. Du stellst einen Punkt auf der ersten Gerade dar und suchst seinen lotrechten Abstand zur zweiten Gerade.

Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten muss wieder orthogonal zum Richtungsvektor sein. Mit dem Skalarprodukt = 0 findest du den richtigen Parameter.

Das Coole: Der Abstand ist überall gleich, egal welchen Punkt du von der ersten Gerade nimmst. Parallele Geraden haben konstanten Abstand zueinander!

Fun Fact: Bei parallelen Geraden ist jeder Punkt-zu-Gerade-Abstand derselbe - wie bei Bahngleisen!

Abstand zwischen windschiefen Geraden

Windschiefe Geraden sind die Königsdisziplin! Hier brauchst du beide Parameter gleichzeitig. Du stellst beide Geraden als variable Punkte dar: $P_r$ und $Q_t$.

Der Verbindungsvektor $\vec{P_rQ_t}$ muss senkrecht zu beiden Richtungsvektoren stehen. Das gibt dir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten - ein lineares Gleichungssystem.

Mit dem Taschenrechner löst du das System und erhältst die Parameter $r$ und $t$. Diese Parameter geben dir die Lotfußpunkte auf beiden Geraden.

Der Abstand zwischen diesen Lotfußpunkten ist der gesuchte Abstand der windschiefen Geraden. Das ist der kürzeste Abstand, den die beiden Geraden haben können!

Profi-Tipp: Bei windschiefen Geraden gibt es genau eine kürzeste Verbindung - die steht senkrecht auf beiden Geraden!

Berechnung der Lotfußpunkte

Nachdem du die Parameter $r$ und $t$ aus dem Gleichungssystem gelöst hast, setzt du sie in die ursprünglichen Geradengleichungen ein. So erhältst du die konkreten Lotfußpunkte.

Der erste Lotfußpunkt $G$ liegt auf der ersten Gerade, der zweite Lotfußpunkt $H$ auf der zweiten Gerade. Diese beiden Punkte haben den minimalen Abstand zueinander.

Mit dem Betrag des Verbindungsvektors $\vec{GH}$ berechnest du den finalen Abstand. Das Ergebnis zeigt dir, wie weit die windschiefen Geraden minimal voneinander entfernt sind.

Die Lotfußpunkte sind übrigens die einzigen Punkte auf den jeweiligen Geraden, deren Verbindung senkrecht zu beiden Geraden steht!

Check: Die Verbindung der Lotfußpunkte ist immer die kürzeste Strecke zwischen zwei windschiefen Geraden!

Abstand Punkt-Ebene

Beim Punkt-Ebene-Abstand suchst du wieder den Lotfußpunkt - diesmal in einer Ebene. Du stellst einen beliebigen Punkt $F$ in der Ebene dar, indem du beide Parameter $r$ und $s$ verwendest.

Der Verbindungsvektor $\vec{PF}$ muss orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Ebene sein. Das gibt dir zwei Gleichungen für die beiden Parameter.

Mit solve() am Taschenrechner findest du $r$ und $s$. Diese setzt du in den Verbindungsvektor ein und berechnest seinen Betrag - fertig ist der Abstand!

Der Lotfußpunkt ist der Punkt in der Ebene, der dem gegebenen Punkt am nächsten liegt. Von dort aus ist der Weg zum gegebenen Punkt am kürzesten.

Geometrie-Hack: Der kürzeste Abstand zur Ebene ist immer senkrecht zur Ebene!

Alternative Methode für Punkt-Ebene-Abstand

Es gibt noch eine zweite, oft elegantere Methode! Du bestimmst zuerst einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene steht.

Dafür löst du das System $\vec{n} \cdot \vec{v_1} = 0$ und $\vec{n} \cdot \vec{v_2} = 0$. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der gesamten Ebene.

Mit diesem Normalenvektor als Richtungsvektor bildest du eine Gerade durch den gegebenen Punkt. Diese Gerade schneidet die Ebene im Lotfußpunkt.

Den Schnittpunkt berechnest du, indem du die Gerade in die Ebenengleichung einsetzt. Der Abstand zwischen Schnittpunkt und ursprünglichem Punkt ist dein gesuchter Abstand!

Vorteil: Diese Methode ist oft schneller, besonders wenn du den Normalenvektor leicht findest!

Winkelberechnungen und Spiegelungen

Winkel zwischen Vektoren berechnest du mit $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$. Bei Geraden nimmst du einfach deren Richtungsvektoren, aber der Winkel liegt zwischen 0° und 90°.

Bei Spiegelungen ändern sich die Vorzeichen bestimmter Koordinaten. An Ebenen ändert sich eine Koordinate, an Achsen ändern sich zwei Koordinaten, am Ursprung alle drei.

Für die x-y-Ebene wird aus $P(a|b|c)$ der Punkt $P'(a|b|-c)$. Die z-Koordinate wechselt das Vorzeichen, weil sie nicht in der Ebenenbezeichnung steht.

Bei Achsenspiegelungen ist es genau umgekehrt: An der x-Achse ändern sich y und z, an der y-Achse ändern sich x und z. Das System ist logisch aufgebaut!

Eselsbrücke: Was nicht im Namen steht, ändert bei Ebenen das Vorzeichen - was im Namen steht, bleibt bei Achsen gleich!