Steigung von Strecken verstehen

Die Steigung einer Geraden zeigt dir, wie steil sie verläuft. Du berechnest sie mit der Formel: m = Höhendifferenz ÷ Längendifferenz.

Eine positive Steigung bedeutet, dass die Gerade nach oben geht. Bei einer negativen Steigung fällt die Gerade nach unten. Du kannst die Steigung als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent angeben - zum Beispiel ist 1/4 dasselbe wie 0,25 oder 25%.

Merktipp: Eine Steigung von 1/4 bedeutet: Für jeden Meter nach rechts geht es 25 cm nach oben!

Steigung rechnerisch bestimmen

Mit zwei Punkten kannst du die Steigung ganz einfach ausrechnen. Die Formel lautet: m = $y₂ - y₁$ ÷ $x₂ - x₁$. Du nimmst einfach die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte.

Ein Beispiel: Bei den Punkten P(2|1) und Q(4|9) rechnest du: m = $9-1$ ÷ $4-2$ = 8 ÷ 2 = 4. Das entspricht einer Steigung von 400% - ziemlich steil!

Achte besonders auf die Vorzeichen bei negativen Zahlen. Wenn du sorgfältig rechnest, kann hier nichts schiefgehen.

Praxistipp: Zeichne dir die Punkte ins Koordinatensystem - so siehst du sofort, ob deine Steigung logisch ist!

Lineare Funktionen im Überblick

Lineare Funktionen haben die allgemeine Form y = mx + b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet). Der Graph ist immer eine Gerade.

Im Gegensatz zu proportionalen Funktionen $y = mx$ haben lineare Funktionen einen zusätzlichen Wert b. Das siehst du zum Beispiel bei Handytarifen: Die Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt, die Kosten pro Minute die Steigung.

Ein Spezialfall sind proportionale Funktionen mit y = mx + 0. Hier ist b = 0, und die Gerade geht durch den Ursprung.

Alltagsbezug: Beim Tanken sind die Literkosten die Steigung, ein eventueller Grundpreis der y-Achsenabschnitt!

Geradengleichung mit Steigung und Punkt

Wenn du die Steigung und einen Punkt kennst, stellst du die Geradengleichung so auf: Setze die bekannte Steigung in y = mx + b ein. Dann setzt du die Koordinaten des gegebenen Punkts für x und y ein.

Im Beispiel mit m = 5/6 und P(12|4) ergibt sich: 4 = $5/6$ × 12 + b. Das vereinfachst du zu 4 = 10 + b. Durch Umstellen nach b erhältst du b = -6.

Die fertige Funktionsgleichung lautet dann: y = $5/6$x - 6. So einfach ist das!

Erfolgstipp: Mache immer die Probe - setze den gegebenen Punkt in deine fertige Gleichung ein!

Geradengleichung mit zwei Punkten

Mit zwei Punkten musst du zuerst die Steigung berechnen. Bei P(8|4) und Q$-12|-11$ rechnest du: m = $-11-4$ ÷ $-12-8$ = -15 ÷ $-20$ = 3/4. Achte auf die Vorzeichen!

Dann gehst du wie bei der vorherigen Methode vor: y = $3/4$x + b. Wähle einen der beiden Punkte aus und setze ihn ein. Mit P(8|4) erhältst du: 4 = $3/4$ × 8 + b = 6 + b, also b = -2.

Die Funktionsgleichung ist: y = $3/4$x - 2. Du kannst zur Kontrolle den anderen Punkt einsetzen - das Ergebnis muss stimmen.

Kontrolltipp: Setze beide Punkte in deine fertige Gleichung ein - beide müssen korrekte Ergebnisse liefern!