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2.350
•
19. Dez. 2025
•
Maxima
@maxima.hm
Vektoren und analytische Geometrie klingen erstmal kompliziert, aber eigentlich geht's... Mehr anzeigen
Du kennst schon 2D-Koordinaten - im 3D-Raum kommt einfach eine dritte Achse dazu. Die drei Achsen heißen x₁, x₂ und x₃, wobei x₁ nach vorne, x₂ nach rechts und x₃ nach oben zeigt.
Abstände zwischen zwei Punkten berechnest du mit einer erweiterten Version des Satzes von Pythagoras: √. Das ist wie im 2D-Raum, nur mit einer dritten Koordinate.
Vektoren sind super praktisch - sie beschreiben Verschiebungen im Raum. Den Vektor von Punkt P zu Punkt Q berechnest du, indem du P von Q subtrahierst: Q⃗P = Q - P. Der Ortsvektor ist ein Spezialfall: Er startet im Ursprung (0|0|0) und zeigt zu einem bestimmten Punkt.
Merktipp: Bei Vektoren immer "Ziel minus Start" - dann stimmt die Richtung!
Vektoren addieren und subtrahieren ist einfach: Du rechnest einfach koordinatenweise. Bei der Skalarmultiplikation multiplizierst du jede Koordinate mit der gleichen Zahl.
Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du prüfen willst, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Du multiplizierst entsprechende Koordinaten und addierst alles: a⃗ ∘ b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Kommt null raus, sind die Vektoren orthogonal!
Geraden beschreibst du mit der Parameterform: g: x⃗ = a⃗ + r·u⃗. Dabei ist a⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und u⃗ der Richtungsvektor. Der Parameter r bestimmt, wo genau du auf der Gerade landest.
Praxistipp: Zwei Geraden können parallel, identisch, windschief sein oder sich schneiden - prüf zuerst, ob die Richtungsvektoren parallel sind!
Das Gaußverfahren ist deine Geheimwaffe für lineare Gleichungssysteme. Du bringst das System in Stufenform: erste Zeile hat drei Variablen, zweite zwei, letzte nur eine.
So gehst du vor: Erst alle Variablen auf eine Seite, dann durch geschicktes Addieren/Subtrahieren der Zeilen eliminierst du Schritt für Schritt Variablen. Am Ende setzt du von unten nach oben ein.
Das sieht komplizierter aus, als es ist. Bleib systematisch: Eine Variable nach der anderen wegschaffen, dann rückwärts einsetzen. Mit etwas Übung läuft das wie am Schnürchen.
Erfolgstipp: Mach dir die Arbeit leichter - multipliziere Zeilen vorher mit passenden Faktoren, damit sich Variablen sauberer eliminieren lassen!
Ebenen kannst du auf drei Arten beschreiben. Die Parameterform E: x⃗ = p⃗ + r·u⃗ + s·v⃗ braucht einen Stützvektor p⃗ und zwei nicht-parallele Spannvektoren u⃗ und v⃗.
Die Normalenform E: · n⃗ = 0 nutzt einen Normalenvektor n⃗, der senkrecht auf der Ebene steht. In der Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d siehst du den Normalenvektor direkt: (a|b|c).
Zwischen den Formen umzuwandeln ist Standard-Handwerk. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren gibt dir den Normalenvektor: n⃗ = u⃗ × v⃗. Die Formel sieht wild aus, aber du musst sie nur anwenden können.
Wichtig: Die Koordinatenachsen-Ebenen sind Spezialfälle - x₁x₂-Ebene hat x₃=0, x₁x₃-Ebene hat x₂=0, x₂x₃-Ebene hat x₁=0!
Von Parameterform zu Koordinatenform: Berechne das Kreuzprodukt der Spannvektoren für den Normalenvektor, setze den Stützvektor ein, um d zu bestimmen.
Von Koordinatenform zu Parameterform: Finde drei Punkte auf der Ebene (am besten die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen), bilde daraus Spannvektoren.
Bei Gerade-Ebene-Schnitten setzt du beide gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Eine eindeutige Lösung = ein Schnittpunkt. Keine Lösung = parallel. Unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.
Cleverer Trick: Für die Achsenschnittpunkte setzt du immer zwei Koordinaten gleich null und berechnest die dritte!
Punkt-Gerade-Abstand: Stelle eine Hilfsebene durch den Punkt auf, die senkrecht zur Gerade steht. Der Schnittpunkt (Lotfußpunkt) gibt dir den kürzesten Abstand.
Punkt-Ebene-Abstand geht schnell mit der Hess'schen Normalform: d = |p₁n₁+p₂n₂+p₃n₃-b|/√. Einfach Punktkoordinaten und Normalenvektor einsetzen.
Bei windschiefen Geraden hast du zwei Optionen: Hilfsebene aufstellen oder den orthogonalen Verbindungsvektor finden. Die Hilfsebenen-Methode ist meist einfacher.
Zeitsparer: Wenn nur der Abstand gefragt ist (nicht der Lotfußpunkt), nimm immer die Hess'sche Normalform - das spart Rechenzeit!
Schnittwinkel berechnest du mit dem Kosinus und dem Skalarprodukt. Die Formeln unterscheiden sich je nach Objekttyp.
Zwei Geraden: cos(α) = |u⃗₁ · u⃗₂|/(|u⃗₁| · |u⃗₂|) mit den Richtungsvektoren. Zwei Ebenen: Das Gleiche, aber mit Normalenvektoren statt Richtungsvektoren.
Gerade-Ebene: Hier brauchst du den Sinus: sin(α) = |u⃗ · n⃗|/(|u⃗| · |n⃗|). Richtungsvektor der Gerade mal Normalenvektor der Ebene.
Achtung: Bei allen Schnittwinkel-Formeln steht der Betrag des Skalarprodukts im Zähler - dadurch wird der Winkel immer zwischen 0° und 90°!
Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.
Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.
Ja, du hast kostenlosen Zugriff auf Inhalte in der App und auf unseren KI-Begleiter. Zum Freischalten bestimmter Features in der App kannst du Knowunity Pro erwerben.
App Store
Google Play
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
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Maxima
@maxima.hm
Vektoren und analytische Geometrie klingen erstmal kompliziert, aber eigentlich geht's nur darum, Punkte, Geraden und Ebenen im 3D-Raum zu beschreiben und mit ihnen zu rechnen. Mit ein paar Tricks und Formeln bekommst du alles hin - von einfachen Abstandsberechnungen bis... Mehr anzeigen
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Du kennst schon 2D-Koordinaten - im 3D-Raum kommt einfach eine dritte Achse dazu. Die drei Achsen heißen x₁, x₂ und x₃, wobei x₁ nach vorne, x₂ nach rechts und x₃ nach oben zeigt.
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Vektoren sind super praktisch - sie beschreiben Verschiebungen im Raum. Den Vektor von Punkt P zu Punkt Q berechnest du, indem du P von Q subtrahierst: Q⃗P = Q - P. Der Ortsvektor ist ein Spezialfall: Er startet im Ursprung (0|0|0) und zeigt zu einem bestimmten Punkt.
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Das Skalarprodukt ist dein bester Freund, wenn du prüfen willst, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Du multiplizierst entsprechende Koordinaten und addierst alles: a⃗ ∘ b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Kommt null raus, sind die Vektoren orthogonal!
Geraden beschreibst du mit der Parameterform: g: x⃗ = a⃗ + r·u⃗. Dabei ist a⃗ der Stützvektor (ein Punkt auf der Gerade) und u⃗ der Richtungsvektor. Der Parameter r bestimmt, wo genau du auf der Gerade landest.
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Das Gaußverfahren ist deine Geheimwaffe für lineare Gleichungssysteme. Du bringst das System in Stufenform: erste Zeile hat drei Variablen, zweite zwei, letzte nur eine.
So gehst du vor: Erst alle Variablen auf eine Seite, dann durch geschicktes Addieren/Subtrahieren der Zeilen eliminierst du Schritt für Schritt Variablen. Am Ende setzt du von unten nach oben ein.
Das sieht komplizierter aus, als es ist. Bleib systematisch: Eine Variable nach der anderen wegschaffen, dann rückwärts einsetzen. Mit etwas Übung läuft das wie am Schnürchen.
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Ebenen kannst du auf drei Arten beschreiben. Die Parameterform E: x⃗ = p⃗ + r·u⃗ + s·v⃗ braucht einen Stützvektor p⃗ und zwei nicht-parallele Spannvektoren u⃗ und v⃗.
Die Normalenform E: · n⃗ = 0 nutzt einen Normalenvektor n⃗, der senkrecht auf der Ebene steht. In der Koordinatenform E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = d siehst du den Normalenvektor direkt: (a|b|c).
Zwischen den Formen umzuwandeln ist Standard-Handwerk. Das Kreuzprodukt der Spannvektoren gibt dir den Normalenvektor: n⃗ = u⃗ × v⃗. Die Formel sieht wild aus, aber du musst sie nur anwenden können.
Wichtig: Die Koordinatenachsen-Ebenen sind Spezialfälle - x₁x₂-Ebene hat x₃=0, x₁x₃-Ebene hat x₂=0, x₂x₃-Ebene hat x₁=0!
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Von Parameterform zu Koordinatenform: Berechne das Kreuzprodukt der Spannvektoren für den Normalenvektor, setze den Stützvektor ein, um d zu bestimmen.
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Bei Gerade-Ebene-Schnitten setzt du beide gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. Eine eindeutige Lösung = ein Schnittpunkt. Keine Lösung = parallel. Unendlich viele Lösungen = Gerade liegt in der Ebene.
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Punkt-Gerade-Abstand: Stelle eine Hilfsebene durch den Punkt auf, die senkrecht zur Gerade steht. Der Schnittpunkt (Lotfußpunkt) gibt dir den kürzesten Abstand.
Punkt-Ebene-Abstand geht schnell mit der Hess'schen Normalform: d = |p₁n₁+p₂n₂+p₃n₃-b|/√. Einfach Punktkoordinaten und Normalenvektor einsetzen.
Bei windschiefen Geraden hast du zwei Optionen: Hilfsebene aufstellen oder den orthogonalen Verbindungsvektor finden. Die Hilfsebenen-Methode ist meist einfacher.
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Schnittwinkel berechnest du mit dem Kosinus und dem Skalarprodukt. Die Formeln unterscheiden sich je nach Objekttyp.
Zwei Geraden: cos(α) = |u⃗₁ · u⃗₂|/(|u⃗₁| · |u⃗₂|) mit den Richtungsvektoren. Zwei Ebenen: Das Gleiche, aber mit Normalenvektoren statt Richtungsvektoren.
Gerade-Ebene: Hier brauchst du den Sinus: sin(α) = |u⃗ · n⃗|/(|u⃗| · |n⃗|). Richtungsvektor der Gerade mal Normalenvektor der Ebene.
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Entdecken Sie die Grundlagen von Vektoren und deren Anwendung in der Geometrie. Dieser Lernzettel behandelt den Mittelpunkt einer Strecke, den Abstand zwischen Punkten, die vektorielle Darstellung von Geraden und die Lagebeziehungen zwischen ihnen. Ideal für Schüler, die ihre Kenntnisse in der Geometrie vertiefen möchten.
MatheUmfassende Zusammenfassung der analytischen Geometrie, die wichtige Konzepte wie kollineare Vektoren, orthogonale Linien, Abstandsberechnungen und die Hesse-Normalform abdeckt. Ideal für Studierende, die sich auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Verständnis der geometrischen Beziehungen im Raum vertiefen möchten.
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MatheApp Store
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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.
Stefan S
iOS user
Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.
Samantha Klich
Android user
Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.
Anna
iOS user
Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!
Jana V
iOS user
Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!
Lena M
Android user
Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️
Timo S
iOS user
Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!
Sudenaz Ocak
Android user
Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android user
Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼
Julia S
Android user
Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!
Marcus B
iOS user
Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben
Sarah L
Android user
Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.
Hans T
iOS user
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Sudenaz Ocak
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