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1: Die Zahl ist, wie in unserem Beispiel, positiv und größer als 0, dann gibt es 2 Lösungen, nämlich ● ● f(x)=x²-9 Kapitel 2 - gemischt quadratische Funktionen Definition 2.1. (gemischt quadratisch) Eine gemischt quadratische Funktion ist eine Funktion f mit f(x) = ax² + bx + c x = ±3 Fall 2: x² = 0. Dann gibt es nur eine Lösung, nämlich x = 0. Fall 3: Die Zahl ist negativ (kleiner als 0), z.B. x² = −9, dann gibt es keine Lösung! Bemerkung: Wenn bx = 0, d.h. nicht vorkommt, wird die Funktion ,,rein quadratisch" genannt. Siehe dazu Definition 1.1. ● Beispiele für gemischt quadratische Funktionen: f(x) = x² + x y = x² − 3x +9 - x2 + 5x − 3 = 40 4x² - x = 0 ● Lemma 2.2. (p-q-Formel) Die „p − q – Formel“ | x1,2 sind 2 Voraussetzungen zu prüfen. == ·± √(²) ² − - q ) ist dafür da, um Nullstellen zu bestimmen. Dafür 1. Die Funktion ist gleich 0 gesetzt, d.h. x² + 3x − 1 = 0 2. Das x² steht alleine, d.h. 3x² + 6x − 9 = 0 muss zu x² + 2x − 3 = 0 umgeformt werden. (Im Beispiel haben wir dafür die Funktion durch 3 geteilt) In der Regel benutzen wir die p-q-Formel nur bei gemischt quadratischen Funktionen, da es für rein quadratische Funktionen eine einfache Methode zur Lösung gibt, siehe „Lemma 1.2.“ Wir werden die p-q-Formel anhand 2 Beispielen besser kennen lernen. f(x) = 4x² + 16x − 4 und 3x²9x = -18 Nun führen wir folgende Schritte aus. Schritt 1: Setzen die Funktion = 0. 4x² + 16x-4 = 0 und 3x²9x + 18 = 0 Schritt 2: Normieren die Funktion, d.h. x² steht alleine. Das machen wir indem wir die Funktion durch die Zahl vor dem x² teilen. Achtung: Steht das x² schon alleine, überspringe Schritt 2! x² + 4x 1 = 0 x²-3x+6=0 Schritt 3: Schreibe p und q auf. Wichtig: Nimm das Vorzeichen stets mit! In der ersten Funktion: p = 4 In der zweiten Funktion: p q = -1 = -3 q=6 Schritt 4: Setze p-q-Formel ein. Also für unsere Beispiele gilt: X1,2 = D = 4 2 X1,2 = und Für Funktion 2: +1 2 bedeutet, nimm p mit anderem Vorzeichen und teile durch 2. 3 X₁,2 = ² ± √√(²) ² Schritt 5: Diskriminante D und √D bestimmen. (Das ist der Ausdruck unter der Wurzel) und X1 = ± (²) x₂ = = +1 2 (² + 1 = 4+1 = 5 √D = √5 2.24 Schritt 6: Überprüfe Diskriminante. Wenn D > 0: Es gibt 2 Lösungen X₁, X2 D = 0: Es gibt 1 Lösung, nämlich x = − 2 D< 0: Es gibt keine Lösung, da man aus eine negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. 4 4 2 und hier ist das p immer positiv, √da ( )² und g nimm q mit anderm Vorzeichen In unserem Beispiel ist in Funktion 1 D > 0, d.h. dort gibt es 2 Lösungen. In Funktion 2 allerdings gibt es keine Lösung, da D < 0. (Bei jeder Aufgabe immer die Begründung nennen!) Schritt 7: Lösung aufschreiben. Für Funktion 1: = +2.24 0.24 D = √D - 2.244.24 6 Es gibt keine Lösung, da D < 0. 2 (-)² - 6 = 2.25-6= -3,75 -3,75 Lemma 2.3. (Quadratische Ergänzung) Die „quadratische Ergänzung“ ist dafür da, um Nullstellen zu bestimmen. Dafür ist folgende Voraussetzungen zu prüfen. 1. Das x² steht alleine, d.h. 3x² + 6x − 9 = 0 muss zu x² + 2x − 3 = 0 umgeformt werden. (Im Beispiel haben wir dafür die Funktion durch 3 geteilt) = Achtung: Hier darf die Funktion # 0 sein, d.h. 3x² + 6x 9 ist erlaubt. Wichtig ist, dass alle x Zahlen, wie x², x auf einer Seite der Gleichung stehen, und alle ,,nackten" Zahlen auf der anderen Seite stehen. In der Regel benutzen wir die quadratische Ergänzung nur bei gemischt quadratischen Funktionen, da es für rein quadratische Funktionen eine einfache Methode zur Lösung gibt, siehe „Lemma 1.2.“ Hier ein Beispiel. Folgende 2 Formen können auftreten: 7x² + 14x21 = 0 7x² + 14x = 21 Es ist zu empfehlen, in die zweite Form umzuwandeln. (Oben haben wir in der ersten Form einfach +21 gerechnet um die zweite Form zu bekommen) Schritt 1: Voraussetzung erfüllen, d.h. x² muss alleine stehen! 7x² + 14x = 21 : 7 x² + 2x = 3 Schritt 2: Wende die quadratische Ergänzung an. Wir nehmen dafür die Hälfte der ,,x-Zahl" (In unserem Beispiel ist die x-Zahl=2x) zum Quadrat und ergänzen diese auf beide Seiten der Gleichung. x² + 2x + 1² = 3 + 1² Schritt 3: Binomische Formel anwenden. In unserem Beispiel sehen wir auf der linken Seite der Gleichung die erste binomische Formel. Die Rechte Seite der Gleichung können wir auch ruhig schon zusammenrechnen. (x + 1)² = 4 Schritt 4: Wurzel ziehen. Aber Achtung! Ist die Zahl auf der rechten Seite größer 0, also positiv, dann gibt es 2 Lösungen X1, X2 gleich 0, dann gibt es nur eine Lösung x kleiner 0, also negativ, dann gibt es keine Lösung, da man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann. In unserem Beispiel ist sie größer 0, das bedeutet es gibt 2 Lösungen x₁ und x₂. (x + 1)² = 4 √√ und und ● ● X₁+1=2 x₁ = 1 X₂ + 1 = -2 x₂ = -3 Lemma 2.4. (Probe) Sind Nullstellen x₁, x₂ gefunden worden, dann setzen wir diese Lösung in die Ursprungsfunktion ein. Nehmen wir das Beispiel aus Lemma 2.3. aus der Quadratischen Ergänzung. 7x² + 14x = 21 X1 Zuerst setzen wir x₁ ein, danach x₂, also 7 · (−3)² + 14 · (−3) = 21 21 = 21 (w) Wenn nach einsetzen beide Gleichungen wahr sind, dann sind unsere gefundenen Lösungen richtig. ● Kapitel 3-Zahlenrätsel Um Zahlenrätsel zu lösen müssen wir unter anderem folgende Wörter verstehen ● = addieren = Plus rechnen subtrahieren = Minus rechnen multiplizieren = Mal rechnen dividiere = geteilt rechnen Summe = Ergebnis einer Addition = Ergebnis einer Plusrechnung Differenz = Ergebnis einer Subtraktion = Ergebnis eine Minusrechnung Produkt = Ergebnis einer Multiplikation = Ergebnis einer Malrechnung Quotient = Ergebnis einer Division = Ergebnis einer Geteiltrechnung ● Vorgänger einer Zahl = (x - 1) Nachfolger einer Zahl = (x + 1) Eine Zahl = x ● 1 und x₂ = -3 O Eine natürliche Zahl = x 7.1² + 14.1 = 21 21 = 21 (w) Da Tobias 3 Jahre älter ist: (x + 3) Alter der Freundin Steffi: x Beispiel: 1. Multipliziert man eine Zahl mit ihrem 7-fachen, so erhält man 56. Der Satz sagt aus, dass wenn wir irgendetwas multiplizieren, man 56 erhält. Dieses irgendetwas ist hier eine Zahl mit ihrem 7-fachen., also 7x = 56. (Lösung wäre x = = 8) 2. Tobias ist 3 Jahre älter als seine Freundin Steffi. Multipliziert man das Alter der beiden miteinander, so erhält man 130. Multipliziere beide Alter zusammen: (x + 3) · x = x² + 3x Man erhält 130: x² + 3x = 130 Wir nutzen entweder die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung um die Lösung für x herauszufinden, man erhält dann x₁ -13 und X₂ = 10. Da ein Alter allerdings nicht negativ sein kann, kommt nur x₂ = 10 als einzig richtig (logische) Lösung in Frage. Daraus folgt, dass x = 10. Somit ist Steffi 10 Jahre und Tobias 13 Jahre (da 3 Jahre älter)