Grundlagen Funktionen & Differentialrechnung

Lineare und quadratische Funktionen sind deine Basis. Bei linearen Funktionen ist y=mx+n, bei quadratischen y=ax²+bx+c. Die Normalparabel y=x² kannst du in alle Richtungen verschieben - nach oben/unten mit +a oder -b, nach rechts/links mit $x-c$² oder $x+d$².

Der Faktor a vor x² entscheidet alles: a>1 streckt die Parabel, 0<a<1 staucht sie. Ein negatives Vorzeichen vor der ganzen Funktion spiegelt sie an der x-Achse.

Polynomfunktionen haben verschiedene Grade - der höchste Exponent bestimmt den Grad. Eine Funktion 3. Grades kann maximal 3 Nullstellen haben, eine 4. Grades maximal 4.

💡 Merktipp: Der Grad einer Polynomfunktion = maximale Anzahl der Nullstellen

Die Differentialrechnung startet mit dem Differenzenquotienten - das ist die mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente an einem Punkt und wird durch f'(x₀) berechnet. Die wichtigsten Ableitungsregeln: Potenzregel (xⁿ wird zu n·xⁿ⁻¹), Summenregel (ableiten der einzelnen Summanden) und Faktorregel (Konstanten bleiben stehen).

Funktionsuntersuchung: Nullstellen & Extrema

Bei jeder Funktionsanalyse untersuchst du systematisch: Nullstellen, y-Achsenabschnitt, Extrempunkte, Wendepunkte, Krümmung, Symmetrie und Verhalten im Unendlichen.

Nullstellen findest du mit verschiedenen Methoden: pq-Formel bei quadratischen Funktionen, Ausklammern, Linearfaktorzerlegung oder Substitution $z.B. x²=t$. Bei komplizierteren Funktionen hilft der GTR.

Für Extrempunkte brauchst du zwei Bedingungen: Die notwendige $f'(x₀)=0$ und die hinreichende. Beim Vorzeichenwechsel von f' erkennst du: von - zu + = lokales Minimum, von + zu - = lokales Maximum. Alternativ prüfst du f''(x₀): f''(x₀)>0 bedeutet Minimum, f''(x₀)<0 bedeutet Maximum.

💡 Praxistipp: Bei Intervallen immer die Randwerte checken - dort können sich die absoluten Extrema verstecken!

Wendepunkte entstehen, wenn die Krümmung wechselt. Notwendige Bedingung: f''(x₀)=0. Hinreichende Bedingung: f'''(x₀)≠0 oder Vorzeichenwechsel von f''. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.

Symmetrie, Monotonie & Geradengleichungen

Symmetrie erkennst du schnell: f$-x$=f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse, f$-x$=-f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung. Das Verhalten im Unendlichen checkst du, indem du sehr große oder sehr kleine Werte einsetzt.

Die Monotonie zeigt das Steigungsverhalten: f'(x)≥0 = monoton steigend, f'(x)≤0 = monoton fallend. Bei f'(x)>0 oder f'(x)<0 ist die Funktion sogar streng monoton.

Definitionsbereich = welche x-Werte erlaubt sind. Wertebereich = welche y-Werte rauskommen können. Die Intervallschreibweise ist praktisch: $a,b$ = a≤x≤b, (a,b) = a<x<b.

💡 Eselsbrücke: Eckige Klammern schließen die Grenze ein, runde Klammern schließen sie aus!

Für Sekantengleichungen berechnest du die Steigung mit m=$y₂-y₁$/$x₂-x₁$ und setzt dann in y=mx+b ein. Bei Tangentengleichungen ist m=f'(x₀) an der Berührungsstelle.

Lineare Gleichungssysteme löst du mit drei Methoden: Einsetzungsverfahren (eine Variable isolieren), Gleichsetzungsverfahren (nach gleicher Variable auflösen) oder Additionsverfahren (Variablen eliminieren).

Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Funktionen können sich auf drei Arten verhalten: parallel $m₁=m₂, aber n₁≠n₂$, identisch $m₁=m₂ und n₁=n₂$ oder sie schneiden sich (m₁≠m₂).

Das Einsetzungsverfahren ist meist am einfachsten: Eine Gleichung nach einer Variable auflösen, in die andere einsetzen, weiter auflösen bis alle Variablen bestimmt sind.

Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt sie gleich. Das Additionsverfahren $auch Gauss-Verfahren$ eliminiert Variablen durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen.

💡 Strategietipp: Bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten immer systematisch vorgehen - erst eine Variable eliminieren, dann die nächste!

Ein typisches LGS sieht so aus: I 3x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 4
II -2x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 0
III 4x₁ + 3x₂ - 2x₃ = 3

Du arbeitest systematisch: erst x₁ eliminieren, dann x₂, bis nur noch x₃ übrig ist.

Integralrechnung Grundlagen

Die Stammfunktion ist das Gegenteil der Ableitung. Wenn f(x)=x², dann ist F(x)=x³/3+c. Das "+c" ist wichtig - es gibt unendlich viele Stammfunktionen!

Das unbestimmte Integral ∫f(x)dx ist die Menge aller Stammfunktionen. Die wichtigste Rechenregel: ∫kxⁿdx = kxⁿ⁺¹/$n+1$+c. Konstante Faktoren bleiben erhalten, und du darfst summandenweise integrieren.

Das bestimmte Integral ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)-F(a) berechnet die Fläche unter der Funktion zwischen den Grenzen a und b. Der Hauptsatz verbindet Differential- und Integralrechnung elegant.

💡 Wichtig: Flächeninhalte sind immer positiv - bei negativen Bereichen Betragsstriche verwenden!

Bei Flächenberechnungen gehst du strategisch vor: Skizze zeichnen, Nullstellen bestimmen, Intervalle festlegen, Teilflächen berechnen und summieren. Niemals über Nullstellen hinwegintegrieren!

Für Flächen zwischen Funktionsgraphen bildest du die Differenzfunktion h(x)=f(x)-g(x) und integrierst: A=∫ₐᵇ|f(x)-g(x)|dx.

Erweiterte Integralrechnung

Uneigentliche Integrale haben eine oder beide Grenzen im Unendlichen. Du führst eine Variable k ein, integrierst und bildest dann den Grenzwert für k→∞.

Bei Rotationskörpern rotiert eine Funktion um die x-Achse. Das Volumen berechnest du mit V=π∫ₐᵇ$f(x)$²dx. Das ist super praktisch für Vasen, Flaschen oder andere runde Körper!

Der Mittelwertsatz gibt dir den Durchschnitt aller y-Werte: m = 1/$b-a$ · ∫ₐᵇf(x)dx.

💡 GTR-Tipp: F5→F6→F3 für Integrale, F2 für Flächen zwischen Nullstellen, F3 für Flächen zwischen Schnittpunkten!

Zusammenhänge in der Praxis sind entscheidend: Die Geschwindigkeit ist die Ableitung des Weges, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit. Umgekehrt: Der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit.

Typische Beispiele: Bevölkerung→Zuwachsrate, Weg→Geschwindigkeit, Wasserhöhe→Zu-/Abflussrate. Bei einer Nullstelle der Änderungsrate wechselt die Richtung $Zu- wird zu Abfluss$.

Extremwertprobleme & Funktionsscharen

Extremwertprobleme sind Optimierungsaufgaben aus dem echten Leben. Du suchst maximales/minimales Volumen, Flächeninhalt oder Längen unter bestimmten Bedingungen.

Die Lösungsstrategie ist immer gleich: 1) Skizze mit Beschriftung, 2) Hauptbedingung aufstellen (was soll optimiert werden?), 3) Nebenbedingungen formulieren (welche Beschränkungen gibt es?), 4) Eine Variable eliminieren, 5) Zielfunktion mit nur einer Variable bilden, 6) Extremwert berechnen, 7) zweite Variable bestimmen.

Beispiel: Rechteck mit 400m Zaun - Hauptbedingung A(a,b)=ab, Nebenbedingung 2$a+b$=400, also b=200-a. Zielfunktion: A(a)=a$200-a$=200a-a².

💡 Definitionsbereich beachten: Nicht jeder mathematische Wert macht in der Realität Sinn!

Funktionsscharen enthalten einen Parameter $z.B. fₐ(x)=e^(-(x-a))$. Du behandelst den Parameter wie eine normale Konstante.

Ortskurven verbinden charakteristische Punkte aller Funktionen der Schar, z.B. alle Tiefpunkte. Du bestimmst die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter und eliminierst dann den Parameter.

Exponentialfunktionen & Logarithmus

Exponentialfunktionen f(x)=a·bˣ beschreiben exponentielles Wachstum. a ist der Anfangswert, b der Wachstumsfaktor. Die natürliche Exponentialfunktion f(x)=eˣ ist besonders elegant: Ihre Ableitung ist sie selbst!

Die Eulersche Konstante e≈2,7182 macht die Ableitung super einfach: (eˣ)'=eˣ. Jede andere Exponentialfunktion aˣ lässt sich als e^(ln(a)·x) schreiben.

Exponentialgleichungen eˣ=b löst du mit x=ln(b). Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die Umkehrfunktion von eˣ.

💡 Wichtige Eigenschaften: ln(1)=0, ln(ab)=ln(a)+ln(b), ln$a/b$=ln(a)-ln(b), ln(aᵇ)=b·ln(a)

Die Logarithmusfunktion f(x)=ln(x) ist nur für x>0 definiert. Ihr Graph ist symmetrisch zu eˣ bezüglich der ersten Winkelhalbierenden. Die y-Achse ist senkrechte Asymptote.

Eigenschaften von ln(x): Keine Extrema oder Wendepunkte, für x→∞ geht ln(x)→∞, für x→0⁺ geht ln(x)→-∞. Die Rechenregeln für Logarithmen sind beim Vereinfachen extrem hilfreich.

Zusammengesetzte Funktionen & Ableitungsregeln

Zusammengesetzte Funktionen entstehen durch Verknüpfung. Produktverknüpfung: u(x)·v(x)=eˣ·$x²+4$. Verkettung: u(v(x)) - erst v anwenden, dann u. Beispiel: x→x²+4→e^$x²+4$.

Die Produktregel für f(x)=u(x)·v(x): f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x). Merksatz: "Ableitung der ersten mal zweite plus erste mal Ableitung der zweiten."

Die Quotientenregel für f(x)=u(x)/v(x): f'(x)=$u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)$/$v(x)$². Das ist komplizierter - oft lohnt es sich, vorher umzuformen.

💡 Produktregel-Tipp: Bei eˣ·irgendwas bleibt nach der Produktregel immer eˣ als Faktor stehen!

Beispiel Produktregel: f(x)=eˣ·$x²+4$ gibt f'(x)=eˣ·$x²+4$+eˣ·2x=eˣ$x²+2x+4$.

Beispiel Quotientenregel: f(x)=$x³+2$/x⁵ wird zu f'(x)=$3x²·x⁵-(x³+2)·5x⁴$/(x⁵)². Nach Vereinfachen: $-2x⁷-10x⁴$/x¹⁰.

Kettenregel & Exponentialfunktion-Modellierung

Die Kettenregel ist für Verkettungen: f'(x)=u'(v(x))·v'(x). Du leitest die "äußere Funktion" ab und multiplizierst mit der Ableitung der "inneren Funktion".

Kettenregel-Beispiele: f(x)=$x²+2x$⁵ wird zu f'(x)=5$x²+2x$⁴·$2x+2$. Bei f(x)=e^(4x) ist f'(x)=e^(4x)·4=4e^(4x). Bei f(x)=e^$x²-4$ ist f'(x)=e^$x²-4$·2x.

Modellierung mit Exponentialfunktionen machst du aus Tabellenwerten: Entweder über Mittelwerte der Quotienten, über Anfangswert und einen weiteren Punkt, oder mit dem GTR (Menü 2→Statistik→exp aebˣ).

💡 GTR-Trick: Für Ausgleichsfunktionen immer Datenpunkte wählen, die möglichst weit auseinander liegen!

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Funktionsgraph beliebig stark annähert. Bei f(x)=eˣ ist die x-Achse Asymptote für x→-∞, da eˣ nie negativ wird, aber beliebig nah an 0 kommt.

Zweite Ableitung mit Kettenregel: f(x)=e^$x²-4$ gibt f'(x)=2x·e^$x²-4$ und f''(x)=2·e^$x²-4$+2x·e^$x²-4$·2x=$4x²+2$·e^$x²-4$.