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Leah
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-Ableitungsregeln -1. Ableitung -2. Ableitung -3. Ableitung -Extremalproblem -Rekonstruktion -Exponentialfunktion -natürliche Exponentialfunktion -trigonometrische Funktionen -Produktregel und Kettenregel
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Regeln (Ableitung) Konstantenregel Summenregel Fautorregel Reziprokenregel C Für jede reek konstante ( gilt: (C) = 0 Beweis: f'(x) = lim f(x+h)-fcx) = lim h-o h h-o f Konstante function. Sleigung:0 X Werm die Funktionen f und g auf dem Intervall I differenzierbar sind, so ist auch ihre Summenfunction f+g dort differenzierbar und es gilt: (f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x) Beweis: S(x) = fcx) + gcx) s'cx) = lim ho S'(x) = lim h→0 s'(x) = lim [fcx+n) + g(x+h)] - [ f(x) +g(x)] hoo h s'(x) = lim f(x+h)-f(x) + lim g(x+h)-g.(x) h-o h s'(x) = f'(x) + g'(x) g(x) = g'cx) = lim no g'cx) - I'm hoo S (x+h)-S (x) h Wenn f auf einem Intervall I differenzierbar ist, so ist auch die Verviel- fachung af mit einer beliebigen Konstante a dort differenzierbar. Es gilt: (a fcx))' = a: f'(x) → konstante Paktoren bleiben erhalten Beweis: afcx) f'(x)= lim no fcx+h)-f(x) + g(x+h) - g(x) h g'cx) = a. lim no f'(x) = lim h→0 g'cx) = a₁∙ f'cx) f'cx) = lim no fcx) = lim h-o gex + h) - g(x) h f'(x) = lim h→0 a fex+h)- a. fcx) n For X+0 gilt die Ableitungsregel: (+)' = - = ² bzw. (x-¹)' = -x-² Beweis: f(x)=1/2² fcx+h)-fcx) h f(x+h)-f(x) h C-C = lim h ho 1 1 ਹੀ x+h X n x-(x +h) x.(x+h).h -h x(x+h).h x. (x+h) O FO = x² Regeln (Ableitung) 2 Ableitung von f(x) = = = /²2 Quadratwurzelregel Zeichnen der 1 Ableitung For x+0 gilt die Ableitungsregel: (+=+=)' = - = bzw. (x^²) = -2x-³ Beweis: fcx)=x2 f'(x) = I'm fexth) - fcx). ho h f'(x) = lim h40 f'(x) = I'm hoo f'(x) = lim hoo f'(x) = lim ho f(x)=√x f'(x) = 2 -1x² Beweis: f'(x)...
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= lim ho f'(x) = lim ho f'(x) = lim ho f'(x) = lim h→0 1 (x+h)² f'(x) = lim ho h x² x²-(x²+2xh+h²) 2 x². (x+h) ².h -2xh-h x²(x+h)² -2x X₁ flcx) = lim (√x+n² + √x') (√x+n²-√x²) no 2 x3 f(x+h)-fox). √x+h² − 1 x² h f'(x)=√x+√x h・√√√x+n +1h²) 2 √x+h²-x² h(√x+h+√x) (x+h)-x h(√x+h+1x²) √x+h² + 1x² 2-x X Erste Anwendungen der Ableitung Steigung und Steigungs- winkel Hoch- und Tiefpun lite Gleichung der Tangente. an einer Kurve Der Schnittwinkel von zwei Kurven Das Monotonie kriterium Steigung von f an der Stelle xo: f'(xo) Steigungswinkel von f an der Stelle xo: x = tan" (f'(x)) Hoch- und Tiefpunkte besitzen waagerechte Tangenten. Sie erfüllen not- wendigerweise die Bedingung f'(x)=0. Ansatz: +(x) = mx +n I m = f'(xo) gleiche Steigung II: + (xo) = f(xo) →gleiche Funktionswerte (Punlite) Es gilt: K= tan" (f'(x)), B = tan¹ (g'(xo)). ↓ ↑ ist dann der kleinere Wert aus 1k-ß) und 180° -1.x-11 Die Funktion f sei auf dem Intervall I differenzierbar. Dann gelten folgende Aussagen: 1st f'(x) >0 für alle 1st f'(x) <0 für alle 1st flux 20 for alle 1st f'(x) ≤0 für alle XEI, so ist fcx) streng monoton steigend auf 1. x61, so ist fcx streng monoton fallend auf 1. XE 1, so ist fex) monoton steigend auf 1. XEI, so ist fcx) monoton fallend auf 1. Krümmung und 2. Ableitung Krümmungskriterium Notwendiges Kriterium für Hoch- und Tiefpunkte Hinreichendes Kriterium für Hoch- und Tief- punkte Rechts- krümmung 17340 Linkskrümmung ➜3840 Wenn an der Stelle XE ein lokaler Extrempunkt vorliegt dann ist fi (Xe) =0 Gilt f'(X) = 0 und f"(Xe) <0, so hat fan der Stelle lokalen Hochpunkt. Wenn Gilt f") <0, so ist die Funktion an dieser Stelle rechtsgekrümmt. Gilt f"20, so ist die Funktion an dieser linksgekrümmt. von Gilt f'(XE)=0 und f" (XE) >0, so hat f an der Stelle XE einen lokalen Tiefpunkt Wenn f'(x) = 0 und f" (XE) = 0 J Wenn die Ableitung der Stelle XE von + nach XE ein - so liegt bei die Ableitung nach + an f' an , so liegt bei XE einen der Stelle XE ein lokales Minimum XE einen Vorzeichenwechsel hat, lohales Maximum von f vor. Stelle einen Vorzeichenwechsel hat, von f vor. Wenn die Ableitung f'an der Stelle XE keinen so liegt bei XE kein Extremum von f vor. → bei ganzrationalen Funktionen Sattelpunkt Vorzeichenwechsel hat, A v t for X Wendepunkte und 3. Ableitung Notwendiges Kriterium für Wendepunkte Hinreichendes Kriterium für Wende punkte Wenn an der Stelle xw ein wendepunkt von f vorliegt, dann ist f" (x₁) = 0 1 so liegt an der Stelle xw ein Gilt f" (x₁) = 0 und f"" (xw) #0 wende punkt von f vor. →Links-Rechts-Wendepunkt f" (xw) <0 Rechts-Links-Wendepunkt f" (Xw) > 0 Wenn die Ableitung f" von + nach vor. Wenn von vor. an 1 so liegt bei der Stelle XE XE einen Vorzeichenwechsel hat, ein Links-Rechts- wende punkt. die Ableitung nach + der Stelle XE XE ein K L f" an I so liegt bei Links - Rechts-Krümmung einen Vorzeichenwechsel hat, Rechts-Links-wendepunkt. Rechts-Links-Krümmung
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