Lösung der Extremwertaufgabe

Diese Seite zeigt die detaillierte Lösung der Aufgabe zur Berechnung der Extrempunkte der Funktion f(x) = 2x³ - x².

Der Lösungsweg umfasst folgende Schritte:

1. Berechnung der ersten und zweiten Ableitung
2. Anwendung der notwendigen Bedingung (f'(x) = 0)
3. Lösen der resultierenden Gleichung
4. Überprüfung der hinreichenden Bedingung mittels der zweiten Ableitung
5. Bestimmung der y-Koordinaten der Extrempunkte

Die Lösung zeigt, dass die Funktion einen Hochpunkt bei (0,0) und einen Tiefpunkt bei (1/3, -2/27) hat.

Example: f'(x) = 6x² - 2x = 2x(3x-1) = 0 führt zu den x-Koordinaten 0 und 1/3.

Highlight: Die Anwendung der notwendigen und hinreichenden Bedingung ist entscheidend für die korrekte Bestimmung und Klassifizierung von Extrempunkten.

Textaufgabe: Robbendressur

Diese Seite präsentiert eine komplexe Textaufgabe zur Robbendressur, die verschiedene Aspekte der Funktionsanalyse abdeckt. Die Aufgabe modelliert die Sprung- und Tauchbahn einer Robbe mit einer kubischen Funktion.

Die Teilaufgaben umfassen: a) Berechnung der Höhe des Kunstfelsens b) Ermittlung der Ein- und Auftauchpunkte c) Bestimmung der maximalen Höhe und Tauchtiefe d) Berechnung des Punktes mit der steilsten Abwärtsbewegung e) Erstellung einer Wertetabelle und Zeichnung einer zweiten Funktion f) Vergleich der Auftauchpunkte zweier Robben

Vocabulary: Kubische Funktion - Eine Funktion dritten Grades der Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Highlight: Diese Aufgabe verbindet mathematische Konzepte mit einer realistischen Situation und erfordert die Anwendung verschiedener Analysemethoden.

Lösung der Robbendressur-Aufgabe (Teil 1)

Diese Seite zeigt die Lösungen für die ersten Teile der Robbendressur-Aufgabe.

a) Die Höhe des Kunstfelsens wird durch Einsetzen von x=0 in die Funktion berechnet und beträgt 0,8 m.

b) Die Ein- und Auftauchpunkte werden durch Nullstellen der Funktion bestimmt: x₁ = 5,5 m und x₂ = 13 m.

c) Zur Bestimmung der maximalen Höhe und Tauchtiefe werden die Extremstellen berechnet:

• Hochpunkt: (1,17 / 0,908)
• Tiefpunkt: (9,83 / -0,908)

Example: f'(x) = 12/65 x² - 12/11 x + 69/715 = 0 führt zu den Extremstellen.

Highlight: Die maximale Höhe und Tauchtiefe betragen jeweils 0,908 m über bzw. unter der Wasseroberfläche.

Lösung der Robbendressur-Aufgabe (Teil 2)

Diese Seite setzt die Lösung der Robbendressur-Aufgabe fort.

d) Der Wendepunkt der Funktion wird berechnet:

• x-Koordinate: 5,51 m
• y-Koordinate: -0,003 m

An diesem Punkt zeigt die Flugbahn der Robbe am steilsten nach unten, mit einem Übergang von einer Rechts- zur Linkskrümmung.

Definition: Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich die Krümmung einer Funktion ändert.

Highlight: Die Berechnung des Wendepunkts erfordert die Anwendung der zweiten Ableitung und zeigt den Übergang von der Aufwärts- zur Abwärtsbewegung der Robbe.