Analysis

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man auch eulerische Zahl (e≈2,718281) Logarithmus-Funktion (natürlicher Logarithmus) f(x) = n(x) → Umkehrfunktion der natürlichen Exponential funktion ex Eigenschaften: >D=R* → es dürfen nur positive zahlen eingesetzt werden >IW=TR >en (1) =0, en(e) = 1 > lim = +∞0 Lim --∞0 X→+∞ x-0 Logarithmengesetze en(u.v) = n(u)+ en (v) en() = ln(u)-en (v) en (u) = v. ln(u) -en (u) = en (4) x€ [0;∞] Wurzelfunktion f(x)=√√√x →einzige NS bei x=0 je großer n,desto flacher der Graph abx=1 →ungerades n: Wurzel darf auch aus negativer Zahl gezogen werden Potenzgesetze ar as arts Umkehrfunktion Spiegelung von f an der Winkelhalbierenden x=y 1. Funktion als y=f(x) schreiben 2. Variablen x und y tauschen 3. Umkehrfunktion als f-1(x) aufschreiben as as (ar)s = ars * Funktion ist nur umkehrbar, wenn jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet ist Betragsfreie Darstellung: |x-2| = Wachstumsfunktion kt Bestandsfunktion B(t) = Bo e Bo Anfangsbestand Bo.qt K: Wachstumskonstante Sx-2 für x22 1-(x-2) für x<2 1. Beispiel Bo5 nach 10 Tagen B (10) = 5.210 Bsp. f(x)=2x+1 y=2x+1 x=2y+1 →y=0,5x -0,5f-^(x) = 0,5x-0,5 Betragsfunktion -abschnittsweise definierte Funktion, die sich aus zwei linearen Funktionen zusammensetzt Bsp: y = |x-21 verdopplung: 9=2 en(x) GLEICHUNGEN LÖSEN > Quadratische Gleichungen Mitternachtsformel > biquadratische Gleichungen z.B 2x4-2x²-12=0 : Substitution + MF > X in jedem Summanden Ausklammern f(x)=e^ = f'(x) e =X en(ex) = x i en(x) = loge (x) Logarithmus zur Basis e" > Logarithmische Gleichungen Log isolieren, exponenzieren >Wurzelgleichung: Wurzel isolieren, dann beide Seiten quadrieren 10 →x²=2 →22²-22-12-0 20 X tr ** 2.B e2x - 3e* +2=0 ex = z → 2²-32 +2=0 L en(x) > (x-9) (x+3)=0 : Nullprodukt >Exponentialgleichung Typ I (gleicher Exponent beiden e-Termen): e-Terme zusammenfassen, isolieren, logarithmieren Typ II (nur e-Terme, verschiedene Exponenten): Ausklammern und dann Typ III (e², e, zahl): Substitution Halbwertszeit: 1960, 10g, HW2:5730 Bo=Bo.e5730k en (¹/₂) = 5730 k K-0,00012 4√x →nur für x>0 Die Definitionsmenge der Umkehr funktion ist die Wertemenge der Ausgangsfunktion X ➡B(t)=10.e -0,00012-t KURVENDISKUSSION 1. Definitions- und Wertebereich bestimmen DfWelche x-Werte darf ich einsetzen? Wf→→ Welche y-Werte nimmt die Funktion an? 2. Schnittpunkte mit den Achsen berechnen Nullstelle (n) →→→ f(x)=0 y-Achsenabschnitt → f(0) =y 3. Die ersten drei Ableitungen bestimmen Ableitungsregeln Potenzregel: f'(x) = (x")' = n・x^-^ Summenregel: f'(x) = (h(x) + g(x))' = h'(x) + g'(x) Faktorregel: f'(x) = (a f(x))' = a. f'(x) Besonderheiten f(x)= ex f'(x)=e* f(x)=√x f(x) = a* f'(x) = a*・ en (a) f(x) = 1 / f(x) = n(x) f'(x) = 4 4.Extrema berechnen Extrema der Ausgangsfunktion werden zu Nullstellen der 1. Ableitung f'(x)=0→→ Bestimmung des x-Wertes des Extrempunkts f"(XEP) >0 Tiefpunkt f"(XEP) <0 Hochpunkt L ㅇㅇ >gebrochenrationale Funktion 6.Grenzwertverhalten Verhalten für x-too >ganzrationale Funktionnöchste Potenz ausklammern Bsp. f(x)=2x³-4x²-x+100 Lim x³(2-4-+ 100) x→+00 1 1. 2. √x Lim X-t∞ 3x+4 lim X-100 f'(x)=√x f'(x) = -1/2 5 Wendepunkte berechnen Wendepunkte der Ausgangsfunktion werden zu Extrema der 1. Ableitung und somit zu NS der 2. Ableitung f"(x)=0→Bestimmung des x-Wertes des WP y-Wert: Einsetzen des x-Werts in die Ausgangsfunktion f (xwp) >0 = WPR-L→mmax f (xwp) <OWPL-R → mmin Merke: größer Null →Rzuerst KLeiner Null →L zuerst = +∞ 0 lim x³(2--+ 1000) = -∞ (da ungerader Exponent) X4.8 1 x²+2x-500x²(1+2 ²2 2² - 3 / 2² 1x (3+4) = verlang+ x +0 verlangt x ²0 ausklammern Kettenregel: f(x) = (u(x) ² Produktregel: f(x) = u(x)-V(x) Quotientenregel: f(x) = (x) >x im Nenner nach umformen →lim-0 +5 X:00 23-2 -1 (2-2) - Î º 2x³-2 x³ 3. en (x) verlangt x>0 alle anderen Funktionen →→D=R = 1 ∞ (da ungerader Exponent y-wert Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunktion f" (XEP)=O=Sattelpunkt 。 > gebrochenrationale Funktion mit gleichem Exponent in Zähler und Nenner → Faktor vor x = Asymptote @x² +5 2x² -2 g f'(x) = 2 (u(x)) ·u'(x) f'(x)= u(x) v(x) + u(x). V'(x) u'(x) v(x) - u(x)-v'(x) f'(x) = (v(x))² f(-x) = -f(x) →→→punktsymmetrisch zum Ursprung f(-x) = f(x)achsensymmetrisch zur y-Achse 7. Symmetrie > NUR gerade Exponenten Punktsymmetrisch > NUR ungerade Exponenten Achsensymmetrisch bei Exponentialfunktionen > MIX keine Symmetrie allgemein: Zählergrad Nennergrad Zählergrad Nennergrad Záhlergrad Nennergrad = ±∞ = Zahl davor anschauen -O 8. Monotonieverhalten f'(x) 20 f'(x) ≤0 f(x) = monoton steigend f(x) = monoton fallend 9. Krümmungsverhalten f"(x) >Of(x) linksgekrümmt f"(x) <Of(x) rechtsgekrümmt STECKBRIEFAUFGABEN In Worten Eine Funktion n-ten Grades ... -gent durch den Punkt P(x^ly₁) ... nat einen TP/HP in P(xalyn) -- nat in x-x₁ eine NS ... geht durch den ursprung ..... hat in Punkt P(lyn) die Steigung m f'(x) >Of(x) = streng monoton steigend f'(x) <Of(x) = streng monoton fallend ... hat bei x = x₁ eine zur X-Achse parallele Tangente -. ist symmetrisch zur y-Achse ... ist symmetrisch zur x-Achse Algeabrisch f(x) = ax + an-x-1 +...+x+ao f(x) = y₁ f'(x₁) = f(x₁) = 0 f(0) = 0 f'(x₁) = m f(x₁) = y₁ f"(x₁) +0 f(x₁) = y₁ f'(x₁) = f(x₁) *0 f(-xo) = f(xo) bew. Funktion besitzt nur gerade Exponenten f(-xo) = -f(xo) bzw. Funktion besitzt nur ungerade Exponenten SEKANTE, TANGENTE, NORMALE Sekante y=mx++ m-Steigung durch 2 Punkte 42-4₁ X2-X₁ t: mund einen Punkt einsetzen →Durchschnittliche Änderungsrate Tangente y=mx++ im Punkt P m: f'(x) der Funktion bestimmen und Punkt einsetzen →→→ momentane Änderungsrate t: wird berechnet indem man den gemeinsamen Punkt in y=mx++ einsetzt und nach + auflöst Normale lineare Funktion (y=mx++) schneidet die Funktion in dem Punkt (x₁/4₁) senkrecht, also orthogonal m: -f(x) M₁ M₂ = -1 →sie stehen senkrecht aufeinander t: einsetzen und umformen y EXTREMWERTPROBLEME 1. Problemstellung: Verständnis der Problemstellung, Anfertigung einer Planskizze, Einführung geeigneter Bezeichnungen 2. Hauptbedingung aufstellen 3. Nebenbedingung aufstellen 4. Zielfunktion aufstellen 5. Extremwertberechnung (1 Ableitung = 0,2. Ableitung → HP) 6. y-Wert berechnen INTEGRALRECHNUNG Ober- und Untersumme →Fläche kann näherungsweise berechnet werden n=Balkenanzahl, Intervall [0;x], Balkenbreite = Balkenbreite wird multipliziert mit dem zugehörigen Funktionswert Integrationsregeln Potenzregel: Sxdx = xn+₁ n+₁ +C Faktorregel: Sc f(x) dx = c. ff(x) dx Summenregel: Sglx) + f(x) dx = f glx) dx = f(x) dx [filde [fuick + [fixude = -¡fix) dx fix) dx = - bestimmte Integrale |A|F f(x) dx Flächenberechnung unbestimmtes Integral: beschreibt die Menge aller Stammfunktionen von f. √f(x) dx = F(x)+c bestimmtes Integral: klare Intervall grenzen (a,b) sind gegeben, zur Berechnung des Flacheninhalts. Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse: + f(x) X₂ Das Integral einer Funktion entspricht dem Flächeninhalt `f(x) Beispiel für Parabel mit n=4 = 44 = 1 [0² + ( ² )² + ( ² ) ² + (2) ²] = 144 0₁-¹₁ · [(¹) ²¹ (²) ² + ( ² ) ² +₁²]- 300 unbestimmte Integrale Der Graph der Funktion liegt auf dem gesamten Intervall [a,b] oberhalb oder unterhalb der x-Achse Der Graph der Funktion liegt auf dem Intervall [a,b] teilweise oberhalb und unterhalb der x-Achse, dh der Graph hat auf dem Intervall NS Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f(x) und g(x). glx) Liegt auf dem gesamten Intervall [a;b] der Graph von f oberhalb vong, so gilt: obere untere A= | √ (f(x) = g(x)) dx | allgemeines Vorgehen: 1. Nullstellen bestimmen: f(x)=0 Grundintegrale: Sdx = enlx| +c Sex dx = ex+c Sen(x) dx = x-In(x) -x +C f(x) A = += [[NS FINCK | + | PS, FINAX | | f(x) dx NS₁ ^^ g(x) → bei der Obersumme ist die erste Balkenbreite=0 X₂ F(x) dx = [F(w)] = F(b)-F(a) 2. Vergleichen, ob NS in dem Intervall liegen, in dem Flächeninhalt berechnet werden soll 3. Den Flächeninhalt abschnittsweise berechnen flx) wechselt der Graph, der oben" liegt, so gilt: A= |(gix)-fix) dx | + | (fix)-glsx)) dx | Uneigentliches Integral → wenn die Fläche unter einem Funktionsgrafen unbegrenzt ist, sich also ins unendliche ausdehnt →Die Funktion ist an einer Intervallgrenze nicht definiert f(x) d 1. Die undefinierte Intervallgrenze wird durch den Parameter, k" ersetzt, so kann mit bestimmten Integral gerechnet werden 2. Stammfunktion bilden, Intervall in Abhängigkeit von k berechnen 3. K gegen unendlich laufen lassen → Integral existiert, wenn für A ein fester wert rauskommt