Hausübung: Kurvendiskussion einer Funktion

Diese Aufgabenstellung enthält eine typische Kurvendiskussion Aufgabe mit Lösungen, wie sie häufig in einer E-Funktion Klausur PDF zu finden ist.

Aufgabenstellung:

• Funktion: $f(x) = (2x+1)^{x^2}$
• Zu untersuchen: Definitionsmenge, Grenzwerte, Symmetrien, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte
• Graph soll von -1 bis 2 gezeichnet werden

Zweite Aufgabe:

• Berechne die 1. Ableitung von $f(x) = x^2e^{x^3}$
• Untersuche die Funktion auf Extrempunkte

Wichtiger Hinweis: Bei der Kurvendiskussion müssen systematisch alle geforderten Eigenschaften einer Funktion untersucht werden. Ein Spickzettel mit den Untersuchungsschritten kann hilfreich sein: Definitionsmenge → Grenzwerte → Symmetrie → Nullstellen → Extrempunkte → Wendepunkte → Zeichnung.

Solche e-Funktionen Aufgaben mit Lösungen sind ideal zur Klausurvorbereitung, da sie sowohl grundlegende als auch anspruchsvollere Aspekte der Funktionsanalyse abdecken.

Lösungen zur Kurvendiskussion

Die Lösung der Kurvendiskussion für $f(x)=(2x+1)^{x^2}$ zeigt alle wichtigen Schritte:

Definitionsmenge und Grenzwerte:

• Definitionsmenge: $D=\mathbb{R}$
• Grenzwerte: $\lim_{x\to+\infty} (2x+1)^{x^2} =+\infty$
• $\lim_{x\to-\infty} (2x+1)^{x^2} =-\infty$

Symmetrie und Nullstellen:

• Keine Symmetrie vorhanden
• Nullstelle bei $x=-\frac{1}{2}$

Extrempunkte:

• 1. Ableitung: $f'(x) = -4x \cdot e^{-2x}$
• 2. Ableitung: $f''(x) = (8x-4) \cdot e^{-2x}$
• Extrempunkt bei $x=0$ (Maximum)
• Hochpunkt $H(0|1)$

Wendepunkte:

• Wendepunkt bei $x=\frac{1}{2}$
• Wendepunkt $W(0,5|0,74)$

Merkblatt zur Kurvendiskussion: Bei der Untersuchung auf Wendepunkte ist das Verfahren: 1) $f''(x)=0$ lösen, 2) prüfen, ob $f'''(x) \neq 0$ für diese Stelle. Bei einem Sattelpunkt wäre $f''(x)=0$ und $f'''(x)=0$.

Lösung der zweiten Aufgabe:

• Ableitung von $f(x)=x^2e^{x^3}$ ist $f'(x)=(3x^2+2)x \cdot e^{x^3}$
• Extrempunkt bei $x=-\sqrt{\frac{2}{3}} \approx -0,87$
• Hochpunkt $H(-0,87|0,39)$
• Tiefpunkt $T(0|0)$

Diese Anwendungsaufgaben zur e-Funktion demonstrieren das systematische Vorgehen bei einer Kurvendiskussion, wie es in Funktionenschar e-Funktion Aufgaben mit Lösungen üblich ist.