Die Analyse von ganzrationalen Funktionen ist ein fundamentaler Bestandteil der mathematischen Funktionslehre.
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die sich durch Polynome darstellen lassen. Der Grad einer solchen Funktion wird durch den höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. Bei einer ganzrationalen Funktion 2. grades haben wir beispielsweise eine Parabel, während eine ganzrationale Funktion 3. grades eine S-förmige Kurve beschreibt. Das Verhalten im Unendlichen dieser Funktionen lässt sich systematisch untersuchen, wobei der führende Term maßgeblich ist. Bei positiven führenden Koeffizienten streben die Funktionswerte für x→∞ gegen +∞, während sie für negative Koeffizienten gegen -∞ streben.
Die Symmetrie von Funktionen spielt eine wichtige Rolle bei der Analyse. Man unterscheidet zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen. Bei der Symmetrie zum Ursprung spricht man von Punktsymmetrie, die sich durch f(-x) = -f(x) ausdrückt. Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse und erfüllen f(-x) = f(x). Die Symmetrie einer Funktion bestimmen zu können ist essentiell für das Verständnis ihres Verlaufs. Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden oder ungeraden Exponenten ergeben sich besondere Symmetrieeigenschaften. Die Nullstellen ganzrationaler Funktionen können durch verschiedene Verfahren wie die Polynomdivision oder den Satz von Vieta bestimmt werden. Diese Schnittpunkte mit der x-Achse sind wichtige Charakteristika der Funktion und helfen bei der Skizzierung des Graphen.
