Analysis,

Alternativer Bildtext:

dx + e) W y = ax + b <²+bx+c yax y = ax³ + bx² - + cx + d y = ax + bx² + cx² + dx + e Strecken/Stauchen in x Richtung y = f (ax + bx² + cx²³+ dx + e) th 0-1 f>1 Spiegeln y Achse y = al-x) + bl-x)³ + c(-x)² + d(-x)+ e W y-Achsenabschnitt: f(0) Nullstellen: f(x)=0 Extrema: f'(x)=0 Wendepunkte: f" (x) = 0 Strecken/Stauchen in y Richtung y = alx-f) + blx-f) + c(x-f) ² α(x-f) + e W 40-1 f>1 MONOTONIE streng Monoton steigend f'(x) > 0 I f'(x) >0 streng Monoton steigend i (kein VZW f (VZW von nach Sattelpunkt Hochpunkt f(x), f'(x) ]--3[ f'(x) > 0 f(0) f(x) = 2x² - 4x f'(x) = 4x4 = 0 X = 1 Y-ACHSENABSCHNITT V f(x)=x² f(0) = 0² f(0) = 0 1 streng Monoton steigend J-3; 30 streng Monoton fallend f'(x) < 0 x 0 VZW von - nach Tiefpunkt f'(x) < 0 : 'streng Monoton fallend 33; 9 [ 7 f'(x) > 0 streng Monoton steigend J9; +∞ [ f'(x) - 4 1 I 0 I 1 1 2 4 A lokales Minimum X f(x) =(x + 2)² f(0) = (0+2)³ f(0) = 2³ f(0) = 8 Schritt Ableitung von f bestimmen Schritt 2 Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen, also f'(x)=0 Schritt 3: für jede Nullstelle prüfen, ob f (x) nach links oder rechts das Vorzeichen wechselt VZW von nach +: lokales Minimum bei x. (Tiefpunkt) + VZW von + nach -: lokales Maximum bei x,(Hochpunkt) → kein VZW: Sattelpunkt bei x, bis x | sinkt der Graph monoton bei x = 0 ist ein lokales Minimum ab x | steigt der Graph monoton f(x)=(x + 1)" +2 f(0) = (0+1) +2 f(0) = 14 +2 f(0) = 3 ! wenn Teilbereich einer Funktion definiert, dann kann Maximum/ Minimum nur ein Randextrema sein - HP/TP berechnen - Randwerte in f'einsetzen. → immer nur I y-Achsenabschnitt I Zeichnen des Graphen 2 Menü 0000 OOOU 3. Spur oder I Graph definieren f(x)= 2. f(0) NULLSTELLEN quadratische Funktionen: (f(x) = 0 | Nullstelle f(x) = x² 0=x² 0 = x ganzrationale Funktionen f(x) = 0 pht EXTREMPUNKTE f'(x) = 0, f" (x) > 0 lokales Minimum (Tiefpunkt) f'(x) = 0, f'(x) < 0 lokales Maximum (Hochpunkt) f'(x) = 0, f'(x) = 0 Sattelpunkt möglich f(x)=x²-3x ² f'(x) = 3x² - 6x f"(x) = 6x6 GTK x₁ = 0, X₂ = 2 Scheitelpunkt notwendige Bedingung für EST: f'(x) = 0 0 = 3x² - 6x 2 Nullstellen f(x) = -x² +1 0x²+1 -1= x² 1=x² x₁ =√₁ = 1₁ x ₂ = ²√₁ = -1 f(x) = 5x³ + 2x² -x 0 = 5x³ + 2x²-x 1-1 1. (-1) = x (5x² + 2x - 1) X₁ = 0, 5x² + 2x-1 0 = x² + ²x2 X1,2 = x₁ = 0, 53, X₂= 0,93 u 1x Ausklammern Isatz vom Nullprodukt 1:5 1pQ-Formel f(x)= x + 1 0 = x² + 1 - 1 = x 4 Schritt 1: und 2 Ableitung von f bestimmen Schritt 3: jede Nullstelle in f" (x) einsetzen. Schritt 2: Nullstellen der I Ableitung, also f'(x)=0 keine Nullstelle hinreichende Bedingung für EST: f'(x)=0, f"(x) = 0 ODER VZW (v. A. bel e-Funktionen)* f'(0)=0 f'(2)=0 f" (0) = -6 <0 Hochpunkt f" (2) = 60 Tiefpunkt f(0) = 0 f (2) = -4 P (010) P (21-4) 1-1 14 X²√x₁,-√x₂ entweder 12 oder 0 Nullstellen I Zeichnen des Graphen 2 Menü 3. Graph analysieren 4. Nullstellen oder 1. Funktion definieren f(x):= 2 Buch - polyRoots(f(x),x) 2 Buch- nsolvelf(x) = 0,x) (bei Exponentialfunktionen). → Ausklammern, Satz vom Nullprodukt oder pQ-Formel → kein Rückschluss auf Sattelpunkte WENDEPUNKTE f" (x) < 0 im Intervall I f(x) > 0 im Intervall I f" (x)0 im Intervall I f"(x) < 0 Rechtskrümmung ]-∞, -3 [ VZW f" Sattelpunkt I → Rechtskrümmung → Linkskrümmung Sattelpunkt VZW f" Wendepunkt f(x), f'(x) T 1 I 1 I x=-2 7 T VZW f" Wendepunkt I if"(x) <0. Rechtskrümmung f"(x) > 0 30,6; 6,8 L Linkskrümmung J-3,06[ 3. Ableitung → Krümmungsverhalten lässt sich nicht angeben Schritt 1: 1, 2 und 3. Ableitung von f bestimmen Schritt 3: jede Nullstelle in f"(x) einsetzen f (x) 0 Wendepunkt bei x f (x)0 keine Aussage möglcih 1 Schritt 2: Nullstellen der 2. Ableitung berechnen, also f"(x)-0 f(x)=x.ex f'(x) = e* + xe* = e*(1+x) f"(x) = e* (₁ + x) + e* - e* (2+x) f" (x)=e* (2+x) + e* = e* (3+x) notwendige Bedingung für WS f"(x) = 0 0=e* (2+ x) f"(x) > 0 Linkskrümmung 36,8; +∞0[ hinreichende Bedingung für WS: f"(x) = 0, f"¹(x) = 0 f" (-2) = 0 fm (-2) = ²² +0 f(-2)= -2e-2 WP (-21-2e-²) Krümmungstabelle: Schritt I: I und 2 Ableitung von f bestimmen Schritt 2: Nullstellen der 2 Ableitung berechnen, also f"(x)=0 Schritt 3 für jede Nullstelle prüfen, ob f"(x) nach links oder rechts das Vorzeichen wechselt VZW = Wendepunkt bei Xo kein VZW - kein Wendepunkt f(x) = x.ex f'(x)=e*+ xe* = e* (1+x) F"(x) = ex (1+x)+ e* = e* (2+x f"(x) = 0 ex (2+ x) = 0 2+ X - 0 ex 2+x f"(x) Graph X 2 x < -2 lex >0 1-2 x>-2 Rechtsgekrümmt Linksgekrümmt Wendestelle Rechtskrümmung in ]-; -2 [ Linkskrümmung in ]-2; +[ Wendepunkt bei W(-21f(-2)= (-21-2e-²) Zeichnen des Graphen oooo 2 Menü ooon ooo 3. Graph analysieren 4. Wendestellen EXTREMWERTAUFGABEN → es werden Voraussetzungen ermittelt, unter denen eine bestimmte Größe extrem (maximal/minimal) wird meist soll dieser Wert berechnet werden Vorgehensweise Schritt I: Größe, für die der Extremwert berechnet werden soll, in Abhängigkeit der relevanten Variablen aufstellen Extremalbedingung Schritt2: nach Nebenbedingungen suchen und Zusammenhänge zwischen Variablen herstellen, um Extremalbedingungen in Abhängigkeit von nur einer Variablen zu erhalten. Schritt 3: sinnvollen Definitionsbereich festlegen aus 2 und 3 Zielfunktion aufstellen Schritt 4: Maximum/Minimum der Zielfunktion berechnen Schritt 5: auf Randextrema überprüfen Gegeben sind die Funktionen f(x) = 4x e und K(x)=-4-e Die Punkte A(010), B(tlk(t)) und C(tlf(t)) sind die Eckpunkte eines Dreiecks Bestimmen sie rechnerisch t > 0 so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird Extremalbedingung Flächeninhalt A = 2 g h soll maximal werden Nebenbedingungen h=t g=f(t)-k(t) A (t) = 2 ·+·(f(t)-k(t)) = 2 ·+· (4 te = 2e-015+ (+²++) -0.51 -0,5+ Zielfunktion Für alle t> 0 ergeben sich sinnvolle Lösungen D:t>0 A(t)=2e +4e05) (+²+1) mit t=0 Ableitung A' (t)= 2 (-0,5) eoist (†² + 1) + 2e 01st (2+ + 1) -0.5t = e (+²+1 4+-2) -0,5+ = e (+²-31-2) Extremstellen -0,5+ -e (+²3+2) = 0 Randwert A (0) - O Ilm A(t)=0 Flächeninhalt A (+2√17) 5,48 +23+-20 t₁ = 2/² + 2√17 = 3,56 + ₂ = = = = = = = = = √17 = 0,56 & D 1(-e-0₁5+) +0 A (010) Für 1 = ²2 + 1/2 √17 wird der Flächeninhalt maximal g B (tlk (+)) h C (+1f(t)) f(x), K (x) ` f'(xo) = lim Die Ableitung einer Funktion entspricht in jedem Punkt der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion und wird deshalb als Grenzwert der Sekantensteigung bestimmt. x-xo f'(x) = lim f(x)-f(xo) Der Differenzenquotieint x-xo gibt die Steigung einer Sekante im Punkt P.(xolf (xo)) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion f(x) an Der Grenzwert des Differenzenquotienten bei Annäherung der beiden Punkte heißt Differenzialquotient und gibt die Steigung der Tangente im Punkt P an den Graphen von f(x) bzw die Ableitung der Funktion an der Stelle x, an: f(x) = f(xo) х - хо f(xo+h)-f(xo) n ABLEITUNGSREGELN Potenzregel: f(x)=x² mit XER => f'(x) = r.x²² Faktorregel: f(x) a u(x) mit a ETR = f'(x)= a · u'(x) Kettenregel: Summenregel: f(x) = u(x) + v(x) = f'(x) = u(x)+ V'(x) И -.0 Eine Funktion f heißt ableitbar bzw differenzierbar an der Stelle x, wenn dieser Grenzwert existiert und nicht unendlich ist. Produktregel: f(x) = u(x) v(x) = f'(x) = u' (x) • v (x) + u(x) · v'(x) (momentane Änderungsrate) bzw. f(x) - U (V (x)) => f'(x) = v' (v (x)) .V'(x) = e erst produktregel, dann kettenregel! 3x+1 f(x) = (2x²-3) e u 3X+ A f'(x) = 4x e 3x+1 = e ableitung 3x + 1 الم V + (2x²-3) 3 e (4x +(2x²-3)-3) (4x + 6x²-9) f(x) 3x+1 f' f(x)=x" n(x) = x= x=₁ => f'(x) = 4x4-1 = 4x ³ n'(x) =(-1) X² f(x) 5 x² = f'(x) = 5.2 x = 10x f(x)= x³ + e* => f'(x) = 3x² + e* f (x) = ex² - 1 f(x)=x².ex = f'(x) = 2x· ex + x². e* = x. e* (2 +x) ex +1 -=(e^ +1) ·x ²¹ = ex ·x¯₁ + (ex + 1) (-1)-x-² ex_ex+1 f(x) = X => f'(x)= e+² -1 2x = 2x ex² f(x)=( => f'(x) = 0 → f(x)= e* = f'(x) = ex Die natürliche Exponentialfunktion lautet: f(x) = e Definitionsbereich: De = TR Wertebereich: W₂ = 1R* (ex > 0 für alle x¤R) VERLAUF Verschieben in y Richtung f(x) + d +d -d NULLSTELLEN andere Funktion mal e-Funktion f(x) = (x²9) e 0 - f(x) 5x-1 0 = (x²9) e x² -9 = 01+g, x² = 915 X₁ = 3, X₂ = -3 5x-1 5x-1 £20. e² natürliche EXPOTENTIALFUNKTION #0 immer = 0 Verschieben in x Richtung f(x+c) Spiegeln x Achse y = -f(x) 1 Satz vom Nullprodukt f50 Strecken/Stauchen in y Richtung a-f(x) f> 1 Nullstellen möglich wenn: Spiegeln y Achse f(-x) f0-1 + g(x)=2e³x+6 +2 0 = g(x) 0 = 2 e ³x+6 +2. -2 = -2e³x+6 1 = 3x +6 0-3x+6 -2 = x - die e-Funktion hat keine Nullstellen → Potenzregeln: 1) aman am+n -am-n am.n 57 2) an 3) (an)m 4) an Strecken/Stauchen in x transformierte e-Funktion. f>1 fla x) f0-1 1-2 1: (-2) | in 1-6,:3 natürlicher Logarithmus nur bei positiven Zahlen möglich Cung GRENZWERTVERHALTEN Wichtige Grenzwerte: lim e* -0* X--- lim ex = +∞0 Berechnung von N₂: N(0) - No eko EXPONENTIELLES WACHSTUM UND EXPONENTIELLER ZERFALL Exponentielle Wachstum und exponentieller Zerfall N(X) = No ex N: Startwert für x=0; N₂>O X: Zeit an einem bestimmten Startpunkt x>0 k: Wachstums- bzw Zerfallskonstante, k>0 N(x) Wert nach der Zeit x Berechnung von k: N (30) 8-e f(x)= e* .30 ex + 1 , Df = TR Funktionswert an der Stelle in 2 en2+1 2+1 3 f(In2) 14 = 8.ek 30 18=k-30 in (14²) = K-30 0.0187 K - No No - 8 1:8 | In 1:30 P Eine Tomatenstaude hat zum Zeitpunkt des Auspflanzes eine Höhe von 8cm Nach 30 Tagen ist sie schon 14cm hoch. Das Wachstum der Staude lässt sich in den ersten zwei Monaten näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit der Gleichung (N(x) = N₁ ·e** (x in Tagen: N(x) in Zentimetern) beschreiben Bestimmen sie N, und k rechnerisch N(0)-8, N(30)= |4 Grenzwertverhalten: lim f(x) = lim (=²+2x) = m (₁ + ² =) - 1 lim f(x) = lim (1 + x) = lim e = 1 + e Exponentielle Zerfallsfunktion N(X) - No ex oooo Zeichnen des Graphen. ooon OOOU STAMMFUNKTION Eine Funktion von F ist Stammfunktion der Funktion f, wenn gilt: F'(x) = f(x) Es bestehen folgende Zusammenhänge: o Vorzeichen f Steigung von F o Nullstellen von f mit VZW - Extrema von F o Extremstellen von f Wendestellen von F Stammfunktion and UNEBSTIMMTES INTEGRAL Sf(x) dx f(x) dx F(x) + C, CER Dabei gilt stets: F'(x) = f(x) wichtige unbestimmbare Integrale Elementare Stammfunktionen: √x² dx = √² + ₁x² +^+ ( ; r +-1 r+1 √e* dx = e* + c f(x) 2. f (x) > 0 F steigt streng monoton in ]-∞; -2 [ f(x) dx = e "+C L S (5x³ 3x + e* )ax = 54x² - 3 ½ x ² + e* + C 튜X 432 + ex + C VZW 1 (2x - 5)³ ax = (2x - 5) + C = (2x + 5)² + ( Nach Regel (2) mit f(x) = x ³, F(x) = 4x4, a = 2, b= -5 Extremstelle von f ↑f(x) UNBESTIMMTES INTEGRAL Das unbestimmte Integral einer Funktion f ist die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion: 1 I 1 T 1 Integrationsregeln: (1) Sf'(x) e' (2) Sf (ax + b) dx = a · F (ax + b) + C, wobei F Stammfunktion von f ist (lineare Substitution) 1 I I T f (x) < 0 F fällt streng monoton in J-2; 4 [ VZW A T 1 1 f(x) > 0 F steigt streng monoton in ]4; +00[ Verschiebung des Graphen F nach oben oder unten hat keinen Einfluss auf den Verlauf des Graphen f → unendlich viele Stammfunktion möglich -G(x) = F(x) + C, CER BESTIMMTES INTEGRAL Das bestimmte Integral ist eine Zahl. Sie drückt die Flächenbilanz der Flächen aus, die der Graph einer Funktion f im Intervall [ab] mit der c-Achse einschließt. Obergrenze-Untergrenze f(x) dx = [F(x)] = F(b) - F(a) wobei F Stammfunktion von f ist. Gilt für die Integrationsgrenzen a <b, dann gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv in die Bilanz ein und Flächen unterhalb der x-Achse negativ. a (+) bestimmtes Integral FLÄCHEN- UND VOLUMENBERECHNUNG 2. √ f(x) dx = -√ f(x) dx ASK.. Eigenschaften des bestimmten Integrals f(x) ax = 0 Xn -f(x) dx = k·a√f(x) dx FLÄCHENBERECHNUNG A- • Sf(x) dx =] f(x) dx + ²√ f(x) dx 5. Schritt I Schnittpunkt mit der x-Achse O • 2 √ (f(x) = g(x)) dax= a√ f(x) dx = √g(x) ax Summenregel 4. Schritt 2 Integrale zwischen Schnittpunkten berechnen Xm [^ √√(x) ax + x = √(x ax + f Ⓒ (nur für ganzrationale funktionen) ! b √ f(x)αax + xm √ f(x) ax / b Schritt 3 Flächen addieren (Betragsstriche kennzeichnen negative Flächen) Flächenbilanz > Berechnung des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse Zur Berechnung des Inhalts der vom Graphen der Funktion f und von der x-Achse im Intervall [ab] eingeschlossenen Fläche muss in diesem Bereich über f(x) integriert werden. Dabei müssen die Teilflächen ober- und unterhalb der x-Achse getrennt betrachtet werden = < (Vertauschung der Integrationsgrenzen) wobei KEIR (Faktorregel) bestimmtes Integral >0 bestimmtes Integral -0 bestimmtes Integral <0 wobei a < c < b (Intervall-additivität) 1 I [a lxn] Xm T 1 1 1 → F'(x) = f(x) b I I I [xnlxm] I[xm [b] Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Graphen Zur Berechnung des Inhalts der von den Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall [ab] eingeschlossenen Flächen muss über die Differenz von f(x) und g(x) integriert werden Dabei ist es egal, ob die eingeschlossene Fläche ober- oder unterhalb der x-Achse liegt, allerdings müssen sie Teilflächen zwischen den Schnittstellen der beiden Graphen getrennt betrachtet werden. Vorgehensweise Schritt I: Schnittstellen von f und g berechnen f(x) = g(x) mit a <x<b ADE · | Jacxiax | + 1x²₁ Sacx ax | + + √x | A = d(x) (x) f Schritt 2: Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen f und g Summe der Beträge der Einzelintegrale über die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x) 0000 oooU Flächeninhalt kann auch ohne Bestimmung der Schnittstellen berechnet werden! → Menu 4-2 •bf1d (x)1 α (x)