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Alles über ganzrationale Funktionen: 2. bis 4. Grades einfach erklärt!

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Amelie Bettin

18.2.2022

Mathe

Analysis,

Alles über ganzrationale Funktionen: 2. bis 4. Grades einfach erklärt!

Die Analyse von ganzrationalen Funktionen ist ein fundamentaler Bestandteil der mathematischen Funktionslehre.

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die sich durch Polynome darstellen lassen. Der Grad einer solchen Funktion wird durch den höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. Bei einer ganzrationalen Funktion 2. grades haben wir beispielsweise eine Parabel, während eine ganzrationale Funktion 3. grades eine S-förmige Kurve beschreibt. Das Verhalten im Unendlichen dieser Funktionen lässt sich systematisch untersuchen, wobei der führende Term maßgeblich ist. Bei positiven führenden Koeffizienten streben die Funktionswerte für x→∞ gegen +∞, während sie für negative Koeffizienten gegen -∞ streben.

Die Symmetrie von Funktionen spielt eine wichtige Rolle bei der Analyse. Man unterscheidet zwischen achsensymmetrischen und punktsymmetrischen Funktionen. Bei der Symmetrie zum Ursprung spricht man von Punktsymmetrie, die sich durch f(-x) = -f(x) ausdrückt. Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse und erfüllen f(-x) = f(x). Die Symmetrie einer Funktion bestimmen zu können ist essentiell für das Verständnis ihres Verlaufs. Bei ganzrationalen Funktionen mit ausschließlich geraden oder ungeraden Exponenten ergeben sich besondere Symmetrieeigenschaften. Die Nullstellen ganzrationaler Funktionen können durch verschiedene Verfahren wie die Polynomdivision oder den Satz von Vieta bestimmt werden. Diese Schnittpunkte mit der x-Achse sind wichtige Charakteristika der Funktion und helfen bei der Skizzierung des Graphen.

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18.2.2022

6206

a Malycic ² DEFINITION
Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine Funktion der Form:
gangration

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Grundlagen der Ganzrationalen Funktionen und ihre Eigenschaften

Eine ganzrationale Funktion ist eine mathematische Funktion, die sich durch Polynome darstellt. Der Definitionsbereich erstreckt sich über alle reellen Zahlen R. Die allgemeine Form lautet fxx = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n den Grad der Funktion bestimmt und die Koeffizienten an bis a0 reelle Zahlen sind.

Definition: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n ist eine Funktion der Form fxx = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 mit n ∈ ℕ, an ≠ 0 und Koeffizienten aus ℝ.

Das Verhalten im Unendlichen wird maßgeblich durch den höchsten Exponenten n und den Leitkoeffizienten an bestimmt. Bei geraden Exponenten streben beide Seiten in die gleiche Richtung, bei ungeraden in entgegengesetzte. Der Verlauf hängt vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten ab.

Die Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei der Analyse ganzrationaler Funktionen. Man unterscheidet zwischen Achsensymmetrie zur y-Achse f(xf(-x = fxx) und Punktsymmetrie zum Ursprung f(xf(-x = -fxx). Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit nur ungeraden Exponenten und ohne konstantes Glied sind punktsymmetrisch.

a Malycic ² DEFINITION
Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine Funktion der Form:
gangration

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Verlauf und Eigenschaften Ganzrationaler Funktionen

Die Analyse des Funktionsverlaufs erfolgt durch verschiedene charakteristische Merkmale. Der y-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen von x = 0. Die Nullstellen sind die x-Werte, bei denen fxx = 0 gilt.

Beispiel: Bei fxx = x² - 4x + 3 ist der y-Achsenabschnitt f00 = 3, die Nullstellen liegen bei x = 1 und x = 3.

Transformationen wie Verschiebungen, Streckungen oder Stauchungen verändern den Graphen systematisch. Eine Verschiebung in y-Richtung erfolgt durch Addition einer Konstanten, in x-Richtung durch Ersetzung von x durch x±hx±h.

Die Bestimmung von Extrempunkten erfolgt durch die erste Ableitung f(xf'(x = 0), Wendepunkte durch die zweite Ableitung f(xf''(x = 0). Diese Punkte sind entscheidend für den charakteristischen Verlauf der Funktion.

a Malycic ² DEFINITION
Unter einer ganzrationalen Funktion (oder Polynomfunktion) vom Grad n versteht man eine Funktion der Form:
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Monotonie und Extremwertverhalten

Das Monotonieverhalten beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn f'xx > 0, und streng monoton fallend, wenn f'xx < 0.

Highlight: Die Analyse der Monotonie erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten Ableitung
  2. Nullstellen der Ableitung finden
  3. Vorzeichenwechsel untersuchen

Extrempunkte können als Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte auftreten. Ein Vorzeichenwechsel von + nach - kennzeichnet einen Hochpunkt, von - nach + einen Tiefpunkt. Ohne Vorzeichenwechsel liegt ein Sattelpunkt vor.

a Malycic ² DEFINITION
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Praktische Anwendung und Graphische Darstellung

Die graphische Darstellung erfolgt systematisch durch:

  1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts
  2. Berechnung der Nullstellen
  3. Analyse der Extrempunkte
  4. Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen

Beispiel: Für fxx = x³ - 3x² + 2:

  • y-Achsenabschnitt: f00 = 2
  • Nullstellen: x = 0, x = 2
  • Extrempunkte bei x = 1 TiefpunktTiefpunkt
  • Verhalten: x³ dominiert für |x| → ∞

Die praktische Bedeutung zeigt sich in vielen Anwendungsgebieten, von der Physik bis zur Wirtschaft, wo Wachstums- und Optimierungsprobleme modelliert werden.

a Malycic ² DEFINITION
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Ganzrationale Funktionen und Nullstellen

Die Ganzrationale Funktionen sind ein fundamentales Konzept der Mathematik. Bei der Analyse dieser Funktionen spielen Nullstellen eine zentrale Rolle. Besonders wichtig sind dabei die ganzrationalen Funktionen 2. grades und ganzrationale Funktionen 3. grades.

Definition: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert fxx = 0 ist. Bei Ganzrationalen Funktionen können Nullstellen durch verschiedene Verfahren bestimmt werden.

Bei quadratischen Funktionen lassen sich Nullstellen durch die pQ-Formel oder durch Faktorisierung ermitteln. Für eine Funktion fxx = x² gilt beispielsweise:

  • fxx = 0
  • 0 = x²
  • x = 0 ist die einzige Nullstelle

Das Verhalten im Unendlichen spielt bei der Analyse ganzrationaler Funktionen ebenfalls eine wichtige Rolle. Der höchste Exponent bestimmt dabei das Verhalten für x → ∞.

Beispiel: Bei der Funktion fxx = 5x³ + 2x² - x

  • Nullstellen durch Ausklammern: x5x2+2x15x² + 2x - 1
  • x₁ = 0 ist erste Nullstelle
  • Weitere Nullstellen durch quadratische Gleichung
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Extrempunkte und Symmetrie

Die Symmetrie von Funktionen ist ein wichtiges Merkmal zur Charakterisierung. Man unterscheidet zwischen:

  • Symmetrie zum Ursprung
  • Achsensymmetrie
  • Punktsymmetrie

Highlight: Die Symmetrie einer Funktion lässt sich durch Betrachtung der Exponenten bestimmen. Gerade Exponenten führen zu anderen Symmetrieeigenschaften als ungerade.

Für Extrempunkte gilt:

  • Notwendige Bedingung: f'xx = 0
  • Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung
  • Bei f''xx > 0 liegt ein Minimum vor
  • Bei f''xx < 0 liegt ein Maximum vor

Das Verhalten im Unendlichen wird durch systematische Grenzwertbetrachtung untersucht:

  1. Bestimmung des höchsten Exponenten
  2. Analyse des Verhaltens für x → ∞ und x → -∞
  3. Berücksichtigung des Vorzeichens des führenden Koeffizienten
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Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Wendepunkte sind dabei besonders wichtig:

Definition: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung f''xx = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Für die Analyse des Krümmungsverhaltens gilt:

  • f''xx > 0: Rechtskrümmung
  • f''xx < 0: Linkskrümmung
  • Wendepunkt: Übergang zwischen den Krümmungsrichtungen

Die systematische Untersuchung erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung
  2. Nullstellen der zweiten Ableitung finden
  3. Vorzeichenwechsel prüfen
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Extremwertaufgaben und Anwendungen

Extremwertaufgaben sind praktische Anwendungen der Differentialrechnung. Sie folgen einem systematischen Lösungsweg:

Beispiel: Maximierung einer Fläche:

  1. Aufstellen der Zielfunktion
  2. Bestimmung der Nebenbedingungen
  3. Ableitung bilden und Nullstellen finden
  4. Extremwerte berechnen

Wichtige Schritte sind:

  • Identifikation der zu optimierenden Größe
  • Aufstellung der Extremalbedingung
  • Berücksichtigung aller Nebenbedingungen
  • Überprüfung auf Randextrema

Die praktische Bedeutung zeigt sich in vielen Anwendungsgebieten:

  • Geometrische Optimierung
  • Wirtschaftliche Maximierung/Minimierung
  • Technische Effizienzsteigerung
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Grenzwertverhalten und Exponentialfunktionen in der Mathematik

Das Verhalten im Unendlichen von Funktionen ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik. Bei exponentiellen Funktionen lässt sich dieses Grenzverhalten Funktionen besonders anschaulich darstellen.

Definition: Das Grenzwertverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn die Variable x gegen unendlich oder minus unendlich strebt.

Bei der Exponentialfunktion fxx = eˣ zeigt sich das Verhalten gegen unendlich e-Funktion wie folgt: Für x → ∞ strebt die Funktion gegen +∞, während sie für x → -∞ gegen 0 strebt. Dies ist ein charakteristisches Merkmal der e-Funktion und grundlegend für das Verständnis exponentieller Prozesse.

Beispiel: Eine Tomatenstaude mit Anfangshöhe 8 cm wächst nach dem exponentiellen Wachstumsmodell Nxx = N₀·eᵏˣ. Nach 30 Tagen erreicht sie eine Höhe von 14 cm. Die Wachstumskonstante k lässt sich durch Einsetzen der bekannten Werte berechnen: k = ln14/814/8/30 ≈ 0,0187.

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Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

 

Mathe

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18. Feb. 2022

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Amelie Bettin

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Die Analyse von ganzrationalen Funktionen ist ein fundamentaler Bestandteil der mathematischen Funktionslehre.

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die sich durch Polynome darstellen lassen. Der Grad einer solchen Funktion wird durch den höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. Bei einer ganzrationalen Funktion 2. grades... Mehr anzeigen

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Grundlagen der Ganzrationalen Funktionen und ihre Eigenschaften

Eine ganzrationale Funktion ist eine mathematische Funktion, die sich durch Polynome darstellt. Der Definitionsbereich erstreckt sich über alle reellen Zahlen R. Die allgemeine Form lautet fxx = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0, wobei n den Grad der Funktion bestimmt und die Koeffizienten an bis a0 reelle Zahlen sind.

Definition: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n ist eine Funktion der Form fxx = anx^n + an-1x^n-1 + ... + a1x + a0 mit n ∈ ℕ, an ≠ 0 und Koeffizienten aus ℝ.

Das Verhalten im Unendlichen wird maßgeblich durch den höchsten Exponenten n und den Leitkoeffizienten an bestimmt. Bei geraden Exponenten streben beide Seiten in die gleiche Richtung, bei ungeraden in entgegengesetzte. Der Verlauf hängt vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten ab.

Die Symmetrie spielt eine wichtige Rolle bei der Analyse ganzrationaler Funktionen. Man unterscheidet zwischen Achsensymmetrie zur y-Achse f(xf(-x = fxx) und Punktsymmetrie zum Ursprung f(xf(-x = -fxx). Funktionen mit ausschließlich geraden Exponenten sind achsensymmetrisch, solche mit nur ungeraden Exponenten und ohne konstantes Glied sind punktsymmetrisch.

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Verlauf und Eigenschaften Ganzrationaler Funktionen

Die Analyse des Funktionsverlaufs erfolgt durch verschiedene charakteristische Merkmale. Der y-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen von x = 0. Die Nullstellen sind die x-Werte, bei denen fxx = 0 gilt.

Beispiel: Bei fxx = x² - 4x + 3 ist der y-Achsenabschnitt f00 = 3, die Nullstellen liegen bei x = 1 und x = 3.

Transformationen wie Verschiebungen, Streckungen oder Stauchungen verändern den Graphen systematisch. Eine Verschiebung in y-Richtung erfolgt durch Addition einer Konstanten, in x-Richtung durch Ersetzung von x durch x±hx±h.

Die Bestimmung von Extrempunkten erfolgt durch die erste Ableitung f(xf'(x = 0), Wendepunkte durch die zweite Ableitung f(xf''(x = 0). Diese Punkte sind entscheidend für den charakteristischen Verlauf der Funktion.

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Monotonie und Extremwertverhalten

Das Monotonieverhalten beschreibt, ob eine Funktion steigt oder fällt. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn f'xx > 0, und streng monoton fallend, wenn f'xx < 0.

Highlight: Die Analyse der Monotonie erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten Ableitung
  2. Nullstellen der Ableitung finden
  3. Vorzeichenwechsel untersuchen

Extrempunkte können als Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte auftreten. Ein Vorzeichenwechsel von + nach - kennzeichnet einen Hochpunkt, von - nach + einen Tiefpunkt. Ohne Vorzeichenwechsel liegt ein Sattelpunkt vor.

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Praktische Anwendung und Graphische Darstellung

Die graphische Darstellung erfolgt systematisch durch:

  1. Bestimmung des y-Achsenabschnitts
  2. Berechnung der Nullstellen
  3. Analyse der Extrempunkte
  4. Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen

Beispiel: Für fxx = x³ - 3x² + 2:

  • y-Achsenabschnitt: f00 = 2
  • Nullstellen: x = 0, x = 2
  • Extrempunkte bei x = 1 TiefpunktTiefpunkt
  • Verhalten: x³ dominiert für |x| → ∞

Die praktische Bedeutung zeigt sich in vielen Anwendungsgebieten, von der Physik bis zur Wirtschaft, wo Wachstums- und Optimierungsprobleme modelliert werden.

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Ganzrationale Funktionen und Nullstellen

Die Ganzrationale Funktionen sind ein fundamentales Konzept der Mathematik. Bei der Analyse dieser Funktionen spielen Nullstellen eine zentrale Rolle. Besonders wichtig sind dabei die ganzrationalen Funktionen 2. grades und ganzrationale Funktionen 3. grades.

Definition: Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Funktionswert fxx = 0 ist. Bei Ganzrationalen Funktionen können Nullstellen durch verschiedene Verfahren bestimmt werden.

Bei quadratischen Funktionen lassen sich Nullstellen durch die pQ-Formel oder durch Faktorisierung ermitteln. Für eine Funktion fxx = x² gilt beispielsweise:

  • fxx = 0
  • 0 = x²
  • x = 0 ist die einzige Nullstelle

Das Verhalten im Unendlichen spielt bei der Analyse ganzrationaler Funktionen ebenfalls eine wichtige Rolle. Der höchste Exponent bestimmt dabei das Verhalten für x → ∞.

Beispiel: Bei der Funktion fxx = 5x³ + 2x² - x

  • Nullstellen durch Ausklammern: x5x2+2x15x² + 2x - 1
  • x₁ = 0 ist erste Nullstelle
  • Weitere Nullstellen durch quadratische Gleichung
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Extrempunkte und Symmetrie

Die Symmetrie von Funktionen ist ein wichtiges Merkmal zur Charakterisierung. Man unterscheidet zwischen:

  • Symmetrie zum Ursprung
  • Achsensymmetrie
  • Punktsymmetrie

Highlight: Die Symmetrie einer Funktion lässt sich durch Betrachtung der Exponenten bestimmen. Gerade Exponenten führen zu anderen Symmetrieeigenschaften als ungerade.

Für Extrempunkte gilt:

  • Notwendige Bedingung: f'xx = 0
  • Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung
  • Bei f''xx > 0 liegt ein Minimum vor
  • Bei f''xx < 0 liegt ein Maximum vor

Das Verhalten im Unendlichen wird durch systematische Grenzwertbetrachtung untersucht:

  1. Bestimmung des höchsten Exponenten
  2. Analyse des Verhaltens für x → ∞ und x → -∞
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Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Das Krümmungsverhalten einer Funktion wird durch die zweite Ableitung bestimmt. Wendepunkte sind dabei besonders wichtig:

Definition: Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung f''xx = 0 ist und ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Für die Analyse des Krümmungsverhaltens gilt:

  • f''xx > 0: Rechtskrümmung
  • f''xx < 0: Linkskrümmung
  • Wendepunkt: Übergang zwischen den Krümmungsrichtungen

Die systematische Untersuchung erfolgt durch:

  1. Bestimmung der ersten und zweiten Ableitung
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Extremwertaufgaben und Anwendungen

Extremwertaufgaben sind praktische Anwendungen der Differentialrechnung. Sie folgen einem systematischen Lösungsweg:

Beispiel: Maximierung einer Fläche:

  1. Aufstellen der Zielfunktion
  2. Bestimmung der Nebenbedingungen
  3. Ableitung bilden und Nullstellen finden
  4. Extremwerte berechnen

Wichtige Schritte sind:

  • Identifikation der zu optimierenden Größe
  • Aufstellung der Extremalbedingung
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  • Geometrische Optimierung
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Grenzwertverhalten und Exponentialfunktionen in der Mathematik

Das Verhalten im Unendlichen von Funktionen ist ein fundamentales Konzept der höheren Mathematik. Bei exponentiellen Funktionen lässt sich dieses Grenzverhalten Funktionen besonders anschaulich darstellen.

Definition: Das Grenzwertverhalten beschreibt, wie sich eine Funktion verhält, wenn die Variable x gegen unendlich oder minus unendlich strebt.

Bei der Exponentialfunktion fxx = eˣ zeigt sich das Verhalten gegen unendlich e-Funktion wie folgt: Für x → ∞ strebt die Funktion gegen +∞, während sie für x → -∞ gegen 0 strebt. Dies ist ein charakteristisches Merkmal der e-Funktion und grundlegend für das Verständnis exponentieller Prozesse.

Beispiel: Eine Tomatenstaude mit Anfangshöhe 8 cm wächst nach dem exponentiellen Wachstumsmodell Nxx = N₀·eᵏˣ. Nach 30 Tagen erreicht sie eine Höhe von 14 cm. Die Wachstumskonstante k lässt sich durch Einsetzen der bekannten Werte berechnen: k = ln14/814/8/30 ≈ 0,0187.

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Exponentielles Wachstum und Zerfall in der Praxis

Das exponentielle Wachstum und der exponentielle Zerfall folgen der allgemeinen Formel Nxx = N₀·eᵏˣ, wobei:

  • N₀ den Startwert bei x=0
  • k die Wachstums- bzw. Zerfallskonstante
  • x die vergangene Zeit
  • Nxx den Wert zum Zeitpunkt x darstellt

Hinweis: Bei Wachstumsprozessen ist k positiv, bei Zerfallsprozessen negativ. Die Exponentialfunktion ist stets streng monoton.

Die praktische Bedeutung zeigt sich in vielen Bereichen der Naturwissenschaften, von biologischem Wachstum bis zum radioaktiven Zerfall. Bei der Modellierung realer Prozesse muss beachtet werden, dass das exponentielle Modell oft nur in bestimmten Zeitintervallen gültig ist, wie im Beispiel der Tomatenstaude während der ersten zwei Monate.

Beispiel: Bei der Berechnung des Grenzwertverhaltens komplexerer Funktionen, wie limxx→∞ex2+2xex²+2x, muss man die Dominanz der höchsten Exponenten berücksichtigen. Der Term ex² dominiert hier über 2x, weshalb der Grenzwert gegen unendlich strebt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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