Analysis

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>0 → VZW Anderungsrate Anderungsrate Extremstellex 1. Nullsteller von f(x) bestimmen 2. Intervalle 3 Zahl aufstelle aus jedem I f'(x₂) f (x₂) co → rechts hot. Bed.. hin. Bed.. 1. Nullsteller 2. Intervalle 3. Z₂LL ASA {"(x₂) c 14 bestimmen >0 → 20 - (Xu) <0 f"(x) einsetzen. Werdesteller bestimmen 1. hot. Bed.: f^ ( x ) = 0 2. hin. Bed.: F"(x) 70 L f'(x) = 0 f (x) #0 y²-y₁ X₂-X₁ X-Wert in f'(x) einsetzen linksgekrümmt rechts gekrümmt TT > OTP <0 → HP f'(x) einsetzen von f (x) bestimmen aufstellen jeden intervall einsetzen [x2] 2 f' (1) >0 7 Ergebnis 2.B. [²002] strery monoton steijend stren munuton fillend f'(²) = 0 → krummuy → Krummay Ergebnis 2.1 x = 2 → [-2] [ 2; ∞0] vou Vou x=2 [200] Ergebnis 2.B X=2 7 f'(x) > 0 f'(xu) < 0 [2; S) CS; 20 [20; ∞] f'(3) 200 ((7) <00 € (30 >0 A V C in f"(x) einsetzen x=2 nach F ( r sekan engleichung → sekarte verläuft durd P ( x₁ | y₁); Pe (x₂ly₂) ш 3 bestimmen $ Ansatz: m und Shake aufstellen Achsensymmetrie! → hur m = y=m-x tb einer de 6 aufliser ye-ya 1 gerade Exponenten zwei Punkte einsetzen (zur y-Achse) Punktsymmetrie zum Urspring nur ungernde Exponenten gegebene Punkte f(-x) = f(x) f(-x) = f(x) SWV A) L Funktionenscharen -X " ist ==> B a 31+ . "1 Expunkie gemeinsame Punkle Bedeutung des Parameters. Umso größer - Fixpunkle rechnerisch zwei mehrere (meißlens) dre Variable ein Parameter gleichsetzen Beispiele: Parameter /Variablen in einer der Parameter TSL Umbo - " Definition Hochpunkle Tiefpunkle berechnen notwendige Bedingung: fa'(x)=0 hinreichende Bedingung for"(x) = 0 werdepunkt berechnen notwendige Bedingung fk "(x) = 0 hinreichende Bedingung, fa" (x) = 0 Steigung fa (x) < x Wert einsetzen · Startpunkt SC-81f~(-8) herausfinden Möglichkeiten (verschiedene Zahlen für den Parameter) -> Polyrouts ever Punkles Anclortige Steigung -B aller Funktionen Flughöhe Hohe in So hat die Steigay -3 to a Fluglänge. Nullstelle Eine kurven, dever minderers Hockpanel einem pailet : aus rechnen even Fusletion schar dile Chat 0 gleichsetzen) berechn X Schar fit мену Abbildung, vorschritter Paramet Funktion la wie eine normale behandeln wert in die Funktion sehen Unterscheiden Zahl verschiedener sies in Ortskurve: Kurve, auf der alle 2) 3) T 1 • Ortskurven helfen Punkte Parameter ZB. Ortskurve berechnen: 1) Charakt Punkt Bsp + T Bsp. Hochpunk Funktionsschar lregen, die erfüllen. Z.B |y₁ = x- und Gleichung 3 X = 40 a X-Wert 3 X = 40a L in der HP To a 1 3 a + 2) = 15x + 2 alle Hochpunkte, Trefpunkte er ble maximale nach dem Abhängigkeit How bucket berechnen Weil bereclues y-koordinate des charakt. darstellen 9 Y = 3a + 2 소 y-we! Höhe Punkk y = 45-15 + 2 = 287 einer eine bestimude Elgenschaft gegebenen heraus zu finden, unabhi Parameter 40 3 einsetzen hach des Parameters. ble punkte Umstellen - Ortskurve unabhängig 15sek Punktes Vom bestimmen انات to IL 1. 2 3. 4. S b Zielgroße / Huupt bedingung • Funktion mit - Neben en bedingung 1. Variable 1 Hay HB: NB: 6- Ergebnisse formulieren Nebenbedingungen (eventuell mehrere) Zielfunktion aufstellen → nur noch von b Extrem weitbetruchtung -Zielfunktion ableiten • notwendige Bedingung - hinreichende Bectingung restuche Grüßen ausrechnen. a Optimierungsprobleme alle Seitenlingen a (a-²x)² - x Seiterlänger (a-2x)-(b-2x) - X a & b. HB: A = a-b NB: U= 2a +b mehreren nach Variable unformen nuptbedingung eingehen HB: A =a.26 NB: U= Bu +25 -> Zielfunktion einer Variable abhängig G(a) = (5000 X (= G(a)) X = 5000 + 3004 y = 25 - la aufsteller Preis und Umpang & größle Unbekannten Box größle Plachet (Stückzahl b a Produktion Extrem weit betrachtung 300-). (15 + a) =-3006² +7500! +175000 4 → Zielfunktion Preis) هـ ""Nuer you fount Ben maximale Flide, 40m Jauns a und b = 100m b 6 Ziel Fiedle A=( a. b) 2= (a + b) = 400 [U= 2-(a+b) X- andere Alal = a (200-4) =a² HB: A=a.b NB: U= a +b b= 200-a Aya) = -1₂ + 200 AYCY=O to a = 100 ↳ a out 100m lang, wenn HP A~=? HP ✓ 6 = 200-9 b = 200- 100 = 100 HB: X-(2y +4) -4 ND: 2x +2y +6 a +200- → Zielfunktion Atla: +2 max. Volumen = 400 ausrechnen, Extremwer betrachtung 5000/Monat 25€/po "Verdienst" A 300 wehr a= Preissenseung (€) 1 -2.1 Vur Prei, abticles. um den beilex Prefa 25 IL 6 D A l. S # max. Flächeninhalt: A (u) = f(u) - Zu A (~) = (-1² +9).74 max Umfang Im Graphen - Funktion sip: f(x) = = x² + 9 Punkle: A (-10) 8 (m (0) C(ulf(0)) D(-u] f(-u)) kethe of gegeben • Oberer Eckpunkte • Untre Edepuilele A = a + b Puckle = u(a,b) = 2 · (n +b). U(u) 2. (2u-u² +9) gegeben A(x) = 2x (16-x²) an !! a = 2x b= f(x) = -> Zielfunktion, Extremmert betrachtay U = 1 ui feiyetzer f(x)=16- X ² -> Zielfunktion + x-Achse → a=2u Extremmet betruch to 4₂ u = √3 ➜ b = -4² +9 a=20μm b = -20² + 5 IL O • Unter dem dex x-Achse untere Cirenze S fext dx over therten 甘 Integral IF obere Grenze Sfax) dx = A x + A₂ + Az untere Cirenze Integral von Flacheninhalt Integral berechnung und den Grenzen Funktion □ obere Grenze dB.X mit ↓₂ Stammfunktion ← Stamm funktion! f Regenn: dem atk abgeleitet zu Integral rechnerisch Š{a}dx = [FG1]) a = F(b)-F(a) -> Bsp. f(x) = 3x² ·Stammfunction. 3 $ (3x² )o²x = [x²] * = (3²) - (4²) - 26 Stammt you bilden: CA ffr bestimmen f(x) = x² bi, b der de Cimpu vou t einschließt. ← berechnen Flache geht positiv in dry latesin 4 f (x) = C- g(x) f(x)= abycleitet zu dr Funktion versteht man mit der 1+h(x) Fläche geht negativ in das Integral Stammat von A₂ S · Calculator ->meni - Aanlysis → Nummersaules Integral F 43 <+ Hauptsatz f F(x) = 1+z F(x) = c. 2+4 X [1:3] TC +c F(x) = G(x) +H(x) → unendliche Möglichkeiten IG Integralgleichung / Bestimmen von b S (4x) dx = [²x²) ₁ = (2-6²) - (2-1²) 1 И = 26² - 2 = 301 26² = 32 6² = 16 b = 4 * b T S(4x)dx=30+ Beweisen Regeln berechnen uvo 1+₂ Integral grenzen →nicht S fixtdx z relevant Fläche zwischen Graph und x-Achse Nullstellen berechnen Ś fixida + $ffatel Sf xidx 4 3 3.5 im Intervall (1:5) politiv Integraleert im Intervall [2;6] berechnen → egal ob Nullstellen -> kann negativ sein zwischen Graph und x-Achse 1. Nullstellen f aut [ab] berechnen bestimmen Flächen inhalt auf den Teilintervallen Bei negativ-orientierten Flächen den Beting nehmen. 3. Teilflächen addieren 2 र 1. 2. Flächeninhalt 3- Flächen von zwischen zwei Graphen Schnittpunkte you & und Teilflicher berechnen Š (f(x) - g(x)) dx a ↑ die obere Teilflächen addieren mit g aut [a; b) berechnen. y-Achu 6 /9(x) If(x) A₁ 7 x-Achr 27.11.20 Achie d Exponential funktionen Berechnung über explosionsartigen Wachstum | Perfall → es wird immer Schnelle immer mehr · es wird immer langsume, immer weniger f(x) = = C Startwest at ERAT Sai Asland Wachstumsfaktor/ Basiy со Oca < 1 C ist der y-Achsenabschnitt der Faktor & entspricht dem Anfangsbestand f(0) zum Zeitpunkt x=0 Wenn & positiv ist: wenn & negativ ist Ocak 1: streng monoton steigend a >1 streng monoton fallend Eigen Eigenschaften у дене Ok dc 1: Streng monoton fallend as 1 streng monoton steigend =Wachstum / zerfall keine Nullstellen : nur Annäherungen an CPO a po Exponentialfunktion mit Hilfe Beispiel: P(012); Q (2 14,5) P(012) C = 2 Q einsetzen: f(x) = 2-1,5 -ALL X ao an 4,5 = 2-a² 2,25 = ² 115 = α₁ - 115 = a ₂ Exponentialfunktionen mit Hilfe →Prozent zahlen lassen sich 30%." - Erhöhung um -". Redutierung um 30%." • Redurierung auf 30%. " -α = 1 → Graph ist weder fullend huch steigend: konstante -C51 -CC11 Streckung richtung y-Achie Stackhung richtung y-Achse c≤0 ac 1 → f(x) = 2-a² 1:2 x-Achse You qwei Rinklen aufstellen y-Achse a = 1,3 1 a = 0₁7 : a = 0,3 →irrelevant CLO a 21 in Desimalzahlen Umwandeln *-Achie von Prozentangaben aufilellen? (20% -0,2) Funktion ln (1) kx >0 Wachstum kxco kerfill ↑ Exponent natürliche Exponentialfunktion Eulesche Zahl:! e = 2,7 18 28 (Basis) die Exponentialfunktion mit f(x)=e* stimmt Ableitungsfunktion überein f(x) = ex - F(x) = ex L die natürliche Logarithmus! -A Lacho 10x-4 ist eine Stammfunktion a = b | lug loga (b) X = → natürliche Exponentialfunktion Beispiele 1,5 * = 4 | log = log115 X = 10X-4= 10k = 3+x4 = 2 1 lug x + 4 = log₂ (2) 1-47 log's (2) -4 X = Exponentialfunktion zeichnen = 64 | log -Achie logy (64) logy (64) +4 X = (log 4 (64) + 4): 10 +9 VO₂ + exakt 1:40 mit et > 0 - a² = b ist eine Exponentialgleichung die Lösung von x ist = x = log (6) - X? ist die Zahl, mit der man ar putenzieren muss, um b erhalten -Y-Achsenabschnitt P(011) - Q (-210.14) -R (-110, 37) - S ( 1 1 2,72) -T (2 17,35) - U ( 3 | 20,09) FO der natürliche Logarith - Logarithmus zur Beispiel: gift. Ableitung und: Beisprece: Funktion - der natürliche Logarithmus lu(x) ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentinifunktion →nur für x>0 definiert - Es e² = e³ len x = ln (e¹) X = 3 ithmus / f"(x) = Eulerischen elu (b) = b en (e) = c f(x) = 3 * =e. f'(x) = ln (3) · e 1. Ableitung Stammfunktion WREXA = a f(x) = f'(x) = ln (015). e = ln (0.5) - Os en ² (015) e en² (015).015* + en (3) X = ln (3) 3* en ² (3) · e² en (3)x = ln² (3) 3* f(x1= 3 m (x) + ^ f(x) = 3 ⋅ x 0,5851 Ableitung und Stamm funktion → man kann jede Exponential funktion darstellen, und daher auch mit Hille lu (21x e bisher bekannt f(x) = ax f'(x) = f'(0) · ax Zahl e 1 2 3 Best 3x en (0₁5)x en (0,5x P ln (a-b) = en(a) + en (b) ln (96) = 6 en (a) (a^)" = a*-y x 7. Penje 3 X f(x)=e* new K als R- Funktion are Ableitung jeder Exponential funktion des natürlichen Logarithmus angehen g(x) = ln(x) OS f (x) = ax f'(x) = &n (a). at F(X) = n(a)a^ Auswendy ln (^) = ln (ep) = 0 lu (e) = l (e^) = 1 5 $10 von a - a lesher Ach " دای دال e-Funktion f'(x) = k·ekx F(x) = ex Beispiel faktioner Hoch- und Tiefpunkle notwendige Bedingung: f'(x) = 0 hinreichende Bedingung. f (x) * 0 Maximum f" (x) > 0 → lokales Minimum y- Wet berechnen ('(x) = ex - 1 f(x) = ex notwendige Bedingung: f'(x) = 0 et 1 = O 1+1 e² = 1 | log x = loge (1) hinreichende Bedingung {"(x) = 0 f(0) = eº 1 X-Wert f(0) = e°-0 = 1 in be Audgiven anwenden >0 f(x) einsetzen: 1+6 e² = 6 lly X= love (6) →lokale Minimum = TP (O1) Wendepunkle notwendige Bedingung: f" (x) = 0 hinreichende Bedinguy f" (x)/0 f" (x) < 0 ⇒ f andert die Krümmung von links nach recht F"(x) > 0 → ändert die krammung vor recit, nach links y-Wert berechnen Beispiel: f(x)=e^ - 3x² notwendige Bedingung: F"(x) = 0 ex-6=0 = 1₁81 f'(x) = ex² - 6x _f"(x) = e²-6 (₁¹(x) = ex X-Wert berechnen f (110) = -19, 87/ W (1181-19.87) hinreichende Bedingung: {"(x)=0 fm (118) - e¹¹3 = 6.05 >0 → vun ir nach I IC (a (x) = e²/ b(x) = 0.5-ex C(x) = 2 - ex d (x) = -2- e*: e(x) = -e-* f (x) = -Oiset* -4 -Achie Mormal en der X-Ace gespiegelt →negatives c "umjed next" → negativer Exponent 5 Halbwertszeit! f (x) == f (0) Beispret: f(x) = 2₁5 -1₁02* Halbwertzeit: 215-1,02* 1.02* Verdopplungszeit f(x) = 2. f(0) X Beispiel: f(x) = 2√5 - 1,02* Verdopplungs zeit 251,02* # 2 2,5 E 12 # Logan (0₁5) = 102 = 2 2-2,5 x = log₁.02 (2) 215 log 1:2,5 flog 3,8 = 35 IL Tangenie Ansure: -m= -M f (xo) und →nach P einsetzen - autlosen ・Tangentey leichung aufstellen Beispiel: Es Ansatz : Y gilt y P einsetzen: y=m/²x Integrate Beispiel mx +h f (x) = 0₁5 ex f'(x) = 056* $(-x 6 = -2 = m-x +n ME = Oise - x tn f'(x) = 0.5e² = t()= ose-x P(u(v) → Lervizettel V = m.x tn f(x) = -x + ex - x +ex) dx = [- ² x² +ex lo te -1 = 1,5 +e ¡X0=1 0.5e = 0.5e 1 th Oise = ose th 0 = n "Integrale" →P(410.5e) I [0:1] = te 4, 22 [F.E.] - (1) គ C Ortskure → Kure (/Linie) auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen (z.B aller Hoch-/Trefpunkte) Beispret fa (x) = 3²¹4₁ -X³ - x² →TP (2a 1-3-4²) Koordinaten umformen 4x = 2a 3 a (2) Darstellung der X-koordinate nach a auflöten! ₂x = 2a 1:2 5 با x3² in : = (2) m Beispiel: die عاني علابي خوبي نا X² angeben 19 Ortskure ↳₂ y=-3-x² ↳Ortskurve der Trefpunkte Ansatz! y = m-x +b y-koordinate Wende tangente! → Tangente, die eine Funktion an einer ihrer Wendepunkte berfahrt f(x) = x³ - 3x² A berechnen ↳ Es gilt ↳ f^ (^9 = -3² 33 n berechnen ↳m, X 4 nach m= f'(x) setzen! 4 n -2=-31+h -2=-3+n 1 = n 1+3 Ⓒ Wendetangente angeben Y = = 3x + 10 in die Funktion einsetzen auflären →WP (11-2) →x-koordinate des WP einsetzen Grenzwerte →der Grenzwert wird auch Limes genannt → beschreibt das Verhalten von Funktionen, wenn der X-Wert sich bestimmten Wert annähert oder ins Unendliche geht Grenzwerte im Unendlichen → Betrachtung der Funktion, wenn lim und X-00 Beispiel -4 я деда то Tim $76 einem y-Achse 2 2 y-Achie -X →immer Gantrationale Funktionen positiv / gerade f(x) = ∞0 negativ/gerade lim f(x) = -00 F16 positiv/ungerade lim f(x) = 8 negativ /ungerade lim f(x) = ∞ 378 А дедел тов →x-Achie x-Achie und und 3/517 X und -X3/5/ und lim 8116 X - Wenn x деден 8148 gegen - Wenn x gegen too läuft, läuft der Graph geger # lim f(x) = ∞ 91 Tim x-f(x) = ∞ lim f(x) 1174 - Wenn x (im f(x) = 0 X16 lim f(x) = ∞ an der höheren Potent * gegen - to läuft, läuft der Gruph T gegen +∞ läuft, läuft der Graph O gegen - Wienn & gegen -∞ läuf+ läuft der Gruph geger gegen +∞ +60 lim f(x) = -00 =11 oder Orientieren -∞0 läuft und und lim -1 lim n D ktf 44 B e-Funktion -1 ex in-Funktion Yo y x -e-* -ek lim 810 +x → die e-Funktion steigt Ifällt schneller als Poten funktionen → ste dominiert daher bei der Betrachtung You Grenzwerten Merke: X- ∞ (NEN): * = x^. ex ex x →∞ (neNin²x): O 0 (gerade X→-∞ (ungerade nEN): ex = x^-e²² xn.ex nEN) : ex = xh. xh -A x хи e' e -ex en (x) хи X lim x" · ln(x) ln (x) xh ↑ T 0 8 -0 →die en-Funktion steigt / fällt langsamer als Potenzfunktioner → Sie unterliegt daher bei der Betrachtung von Grenzwerten Merke X-0 (nEN₁ h²1): 42 80 80 Beschränktes → des Graph nähert sich f(x) = S + c⋅ekx → beschränkter Wachstum Wachstum einer Schranke bzw. C³0: beschränktes Wachstum CCO: beschränkle Abnahme S f(x) = s → beschränkte Abnahme Bsp.: Erwärmen / Abkühlen einer Flüssigkeit Wachstum einer Pflanze Verkettung & uov h g 1970/19 Vornehmen (Beispiel). n (g(x)) g (hati) erkennen ; uov vou u (v(x))] : P :h(x) = x² : f(x) = (ex - 5)² f(x) = (ex-5) ² (x + 2)² x² +2 ; g(x) = = x + 2 →u(x) = (x - 5)²; V(x) = ex → V(x) = (x - 5)² M(x) = et Zusammengesetzle Funktionen! f (x) = v(x) u(x) Ableiten Produktregel f'(x) = u` (x) - v(x) + u(x) Beispiel = f(x) = e* · (4x + 2) V(x) = 4x +2 u(x) = ex u(x) = ex f'(x) Herleitung? си (хоти lim = 40 h = [U (xo +h)-(xo - ketten regel Beispiel: ex (4x+2) lim =h¬0 = Q* (4x + 6) h Herleitung lim =610 _f(x) = u(v(x)) f (xo) u' (xo) v (x₂) (4+4x + 2) -u(xo) u(x)= x u²(x) = 4x³ + e*.4 v (xo+h) + u(xo) - [V (xoth ) - V (xo) ] h = u(x₂ +h) x (x₂ +h) - U (xo) - v (xo) h u' (v(x)) f v (xo+h) +u (xo) f(x) = (2x² + 2) * + hou (Xo) - v'(to) u(x) + |f'(X) = W (V(X)).V'(X) f (x) = 4(2x² + 2) ³ · 4× = 16x (2x² + 2) ³ f(xo+h)-f(xo) h u (v (xo) + V (xo +h) - v (xo)) v(xoth) -v(xu) U (v (x0) +k) -u (v (xo)) ✓(x) = 2x² + 2 v(x) = 4x [v( xo +h)-V (x₂)] и u (v (xo +h) -u (vxo)) n -u(V (xo)) . ✓ (xo+h)- h ✓ (xo th) - v (x₂) h v (xv)