Analysis Mathe GK

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−2+√2 x₂ 2 f(x) = (x+1)* vierfache Nullstelle bei x= -1 Y 3 네.. 1 1 f(x) = 0 0=x-5 1+5 x=5 Funktionen) 2- -√2 Nullstelle ohne VZW: Gf berührt die x-Achse Taschenrechner رس به د Auflösen durch Ausklammern (nur bei Funktionen der Form f(x) = ·ax² + bx) z. B. f(x) = 6x² + 9x f(x) = 0 0= 6x² + 9x 0= x² + x 0= x (x + 2) x₁ = 0 1:6 x+2²=0 x2 3. Grades auflösen durch Polynomdivision z. B. f(x)= x³ + 6x² +11x +6 f(x)=0 0=(x³ + 6x² + 11x + 6): (x + 1) = x² + 5x + 6 = g(x) - (x³ + x²) 5x² + 11x - (Sx² + 5x) 4. Grades oder höher z. B. Substitution: •x wird ersetzt: x² = z 6x + 6 (6x + 6) f(x) = 0 0= x4 19x² + 48 O=2²-192 + 48 Z₁ = 16 x² = = Z Rücksubstitution: gerade Exponenten → elementar Achsensymmetrisch f(x) = 4x4 +3x²+5 Z₂ = 3 = 16 = x² √² X1/2 in eine Funktion 2. Grades eine gegebene X₁= -1 Nullstelle X₂ √16x₁ = 4 X₂=- -3 1x²=Z 1pq- Formel ↳neue Funktion pq-Formel für x213 YA f(-x) for → 0= a.z² + z + C X3² -1 • Umstellen nach 2₁ 1Z₂ und die Lösungen mit x² gleichsetzen und nach x auflösen Z.B. f(x) = x² - 19x² + 48 Auegangefunktion: (3. Grades) neue Funktion X 3=x² √² x3/4 = √3 0= f(x)= (x-x₁) 7 VZW ×3= √3¹ f(-x) = 2 g(x) 1. Nullstelle X₁ f(x) ⇒ 4 Nullstellen ungerade Exponenten → elementar Punktsymmetrisch f(-x) = -f(x) z. B. f(x)= x³ + 2x³ + 7x ● gemischte Exponenten z. B. f(x)= 3x³ + x² + 6x + 2x² + 3x + 7 3 f(x)=0 0= -0,25x4 +2,25x² + x - 3 mehrfache Polynomdivision - erste Nullstelle durch Ausprobieren oder Taschenrechner ↳mehrfache Polynomdivision Z.B. fox)= -0,25 x4 + 2,25x² + x - 3 (-0,25x4+2,25x² + x - 3) : (x - 1) -(-0,25x + 0,25 x ³) -0,25x+2,25x2² -(-0,25x² +0,25x²) 2x² + x - (2x²-2x) Y _f(-x) 3x -3 -(3x3) -f(x) ↓ 0,25x² + 2x - (0.25x² +0.5x) 115x + 3 -(1,5x+3) 으 X₁ =^ >x = → TR 으 • neue Nullstelle suchen → ×₂=-2 → TR 0= -0,25x³0, 25 x² + 2x + 3 = (x + 2) = -0,25ײ + 0,25x +1,5 -(-0,25x³0,5x) -0,25x³0, 25x² + 2x + 3 Lösung · der Gleichung: pg-Formel → z. B. Z B. 0=-0,25x² +0,25x +1₁5 1: (-0,25) 0=x²-x-6 X3/4 x3 = 3 f(x)=x² Normalparabel = Y V →→→X ²/² = √√(²2)² + 2. Verschiebung von Funktionen: Verschiebung parallel zur y-Achse: Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur y-Achse verschoben, indem zum Funktionsterm eine Zahl addiert oder subtrahiert wird. X4 +6 =-2 => 4 Nullstellen Ya V₂. Y... X f(x)=x²-1 f(x)=x² +1 Verschiebung parallel zur x-Achse: • Eine Funktion bzw. ihr Graph wird parallel zur x-Achse verschoben, indem zu jeder x-Variable eine Zahl addiert oder von ihr subtrahiert wird. Y Y ÿ y q →x →→→x →→→X f(x)=x² f(x)=(x+1)² Normalparabel Normalparabel f(x)= (x-1)² Normalparabel Bei einer Funktion mit mehreren x-Variablen, muss jedes einzelne x verändert werden. z. B. f(x)= x³ + 4x² + x + 5 soll um 2 nach rechts verschoben werden → f(x) = (x - 2)³ + 4·(x-2)² + (x-2) + 5 → f(x) = (x-2)³ + 4 ⋅ (x - 2)² + x + 7 Differentialrechnung: Eine Funktion f sei auf dem Intervall I definiert. Die Ableitungefunktion f'(x) der Funktion f ordnet jedem x den Wert des Differentialquotient an der Stelle x zu. of : Differentialquotient von f im Intervall [q; b] *ox Der Differentialquotient: die mittlere Anderungsrate entspricht der Steigung m bzw. dem Anstieg der Tangente durch P(alfca)) und & (blf(b)) 1. Ableitungsregeln: Potenzregel: f(x)=x" f'(x) = n⋅x² n-1 Summenregel: f(x) = g(x) f'(x) = g(x) + h'(x) + h(x) Produktregel: f(b)-f(a) b-a Faktorregel: f(x) = C· g(x) f'(x) = c・g'(x) z. B. f(x)-f(xo) Differentialquotient : m = Lim x-xo f'(x) →Ableitung der Funktion f an der Stelle x. *** →Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differentialquotienten an der Stelle xo f(x)= g(x).h (x) f'(x) = g(x) · h(x) + g(x). h'(x) z. B. f(x)= x²x² mit a<b . f'(x) = 2x ·x³ + x² 3x² = 5x4 Z.B. f(x)= -2x³ + 2x f'(x) = -16x² - 16x³ -8 Y₁ f(b). f(a) P Q f(x)= 3.x² f'(x) = 3·2x = 6x Quotientenregel: f(x) = (x 9(x) h Differenzregel: f(x) = g(x)-h(x) f'(x) = g'(x) - h'(x) I I I f'(x) = h(x) · g'(x) = g(x)• h`(x) h(x)² b Q →x Kettenregel f(x) = g. (h(x)) f'(x)= g' (hox)) · h'cx). z. B. 2 f(x) = (x³ + 4) ² außere Funktion = x² = g(x) → g'(x) = 2x innere Funktion = x ³ + 4 = h (x) → h'(x)= 3x² f'(x) = 2⋅ (x³+4)·3x² Ableiten der Logarithmusfunktionen: f(x) = (n (x) f'(x) == z. B. f(x)= (n (6x) 1 f'xx) = 6 - ²x = 1 Z. B. Ableiten von Sinus und Cosinus: f(x) = sin(x) f(x) = cos(x) f'(x) = cos(x) f'(x)=sin(x) Ableiten einer Exponentialfunktion: f(x) = ex f'(x) = ex bei einer Verkettung von f(x) = eu(x) → fax= 3·e fcx7 = 3·³x +2.3 e*: u(x) f'(x) = eu 3x +2 хр •u'(x) integrieren sin (x) cos (x) -Sin (x) -cos(x) sin (x) → 9.³x+2 ableiten Monotonie: Eine Funktion f auf dem Intervall I = [a; b] heißt... monoton steigend, wenn f(x₁) ≤ f(x₂) für alle x₁ und X₂ aus I mit x₁ < x₂ streng monoton steigend, wenn f(x₁) < f(x₂) für alle x₁ und X₂ aus I mit x₁ < x ₂ >x2 monoton fallend, wenn f(x₁) = f(x₂) für alle x₁ und x₂ aus I mit x₁ streng monoton fallend, wenn f(x₁) = f(x₂) for alle x₁ und x₂ aus I mit x₁ Graphische Beispiele: Y₁ f(x₂) f(x) →x f ist streng monoton steigend, da x₁ < x₂ und f(x₁) < f (x₂) gilt Monotoniekriterien: monoton steigend, wenn f'(x)=0 für alle x EI ist streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 für alle x £I ist Graphische Beispiele: YA f monoton fallend, wenn f'(x) ≤0 für alle x £I ist streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 für alle x £I ist YA P. fix) f(x₂) →x X₂ g ist monoton steigend, da X₁ < x₂ und f(x₁) = f(x₂) gilt f' →x fist streng monoton steigend, da f'(x) >0 ist Y₁ f' X x2 ist für x<0 streng monoton fallend, da f'(x) <0 ist fist für x>0 streng monoton steigent, da f'(x) >0 ist Rechnerisches Beispiel: f(x) = 1/3 x ²³-√√√ x² + 6x +3 2 f'(x)=x²-5x + 6 Y₁ V →→x Rechnung: I, [-00; 2] f'(x) = f'(-1) = 1²-5-1+6 = 2 ) Positives Vorzeichen → f'(x) > 0, also ist f(x). m Intervall I [-∞0; 2] Streng monoton steigend Extrempunkte von f(x) → f'(x) = 0₂ →>> I₂ [2;3] f'(x₂₂2) = f'(2,5) =-0,25 Intervall bestimmen: I, [-∞0;2] I₂ [2;3] [₂ [3,00] jeweils beliebige Stelle wählen, die in dem Intervall zwischen den Intervallgrenzen liegt und in die Ableitung einsetzen = 2,5²-5-2,5+6 0-x-5x +6 mit pq- Formel: x= 3 x₂ = 2 negatives vorzeichen. → f'(x) <0, also ist f(x). im Intervall I₂ [2, 3] Streng monotoni fallend I3 [3; ∞0] f'(x₂₁₂) = f'(10) = 10²-5-10 +6 = 56 Positives Vorzeichen → f'(x) >0, also ist f(x) im Intervall I₂ [3; ∞] Streng monoton Steigend Extrempunkte: •Die Steigung (f'cx7) muss in dem Punkt O sein notwendige Kriterium: f'(x) = 0 hinreichendes Kriterium: f"(x) #0 f"(x) = 0 → keine Aussage Ź f"(x) > 0 → Tiefpunkt (TP) f" (x) <0 → Hochpunkt (HP) muss erfüllt sein! hinreichendes Kriterium f" (0) 3 (0)² - 4 = -4 f" (2) = 3·(2)² -4 = 12 f" (-2)=3-(-2)² - 4 = 8 Graph: → HP → TP → TP Y HP W -2 2 TP TP +x Beispiel: f'(x)= x ³ = 1 f(x) = ¼ x* - 2x² 4 4 x 2 f"(x)= 3x² - 4 notwendiges kriterium 0= x³ 4x X₁=0 0 = x (x²-4) V Tausklammern 0=x²-4 4 = x² X₂ = 2 f(2) (2)-2-(2)² = -4 f'(x) = 0 um jetzt die y-Koordinate des HP/TP herauszufinden wird in fcx) eingesetzt f(0) = 2 · (0)4 - 2 · (0)² =0 HP (010) TP(21-4) f(-2)(2)-2-(-2) ²-4 TP(-21-4) 1+ 4 NO' x3 = -2 YA X ● f"(x)=0 →x Graph Krümmungsverhalten: ← hinreichendes Kriterium: 3 Wendepunkte: Wendepunkte sind die Extrempunkte der Funktion f'(x) notwendiges Kriterium: Linkskrümmung = Y = ● Linkskrümmung Rechtskrämmung f"(x) +0 → damit überprüft man, ob es tatsächliche WP sind Sattelpunkte: • WP's mit der Steigung 0, also f'(x)=0 + fill(x) = O → keine Aussage f(x) > 0 →R-L-NP f (x) < 0 →L-R-WP NP mögliche Wendestellen f"(x) f"(x) beschreibt auch die Steigung (das Monotonieverhalten) von f'(x) • Das krūmmungsverhalten bestimmt man mit : Rechtekrümmung →x → Linksrechtswendepunkt (L-R-WP) Beispiel: 3 f(x)=x²-1/²x² f'(x) = ³/³² x ² f(x)= 3x - 3 f"(x) = 3 2 ● 3x hinreichendes kriterium: f(1) = 30 →Wendestelle bei x = 1 f(x)=3>0 → R-L-WP notwendiges kriterium: f"(x)=0 O = 3x - 3 3 = 3x x = 1 Vorgehensweise: 1. Wendepunkt berechnen y-koordinate: f(1) = 2 · (1) ²³/2/12 (1) ² - 1+3 1:3 = →f"(x)=0 und nach x umstellen 2 -1 3 2 Wendetangente: Eine Wendetangente ist eine Tangente (Gerade), die eine Funktion an Wendepunkte berührt. einem ihrer WP (11-1) →x in f!"(x), wenn x ±0. liegt ein Wendepunkt vor. →xin f(x) um y-wert zu bestimmen → Koordinaten des Wendepunkles 2. m berechnen → m= f'(x) → X-koordinate des Wendepunktes in f'(x) einsetzen, y-wert = m. 3. n berechnen -für x undy werden die koordinaten des Wendepunktes eingesetzt in f(x) = mx tn. - für m wird die vorher berechnete Steigung eingesetzt. -nach n umstellen und berechnen Knowunity Download in Appstor Tangentengleichung: y = mx + b Steigung Beispiel: f(x)= x³ 3x2 f'(x) = 3x² - 6x f"(x) = 6x - 6 f(x) = 6 2. Steigung (m) berechnen: m = Steigung f(1) = 3·1² -6.1 = -3 Schnittpunkt mit der y-Achse →f'(x) 1=b 1. Wendepunkt bestimmen: f"(x)=0 0=6x-6 1+6 1:6 6=6x x = 1 f(₁) = 1³ - 3·1² = -2 y=-3x +1 y=-3x +b 3. in die Tangentengleichung einsetzen: WP (11-2) in y: -231+ b 1 +3 →NP (11-2) → f(1) = 6 #0 ↳ Wendepunkt Hendetangente Kurvendiskussion Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf seine geometrischen Eigenschaften ¡ f'(x) f(x) TY wendepunkt Schnittpunkt mit dery-Achse Hochpunkt f Nullstelle f(x) = √x-7 →→D = {XEIR; X27} "x²_7" f(x) x +5 Wertebereich .-.D= Tiefpunkt Definitionsmengel Definitionsbereich → Welche Werte dürfen für x eingesetzt werden? Bsp: f(x)=-x²+2x²-1 → ID = {XEIR } mit der Funktion wird die Monotonie. Schnittpunkt mit dery-Achse X=0 f(0) = -0+2.0²-1. y = -1 Sy (01-1) -Verhalten im unendlichen >= {XEIR; x #-5} Bsp: f(x)=x²+2x²_^ → W = {y EIR; y ≤0} f(x) = √x-7² →→WW = { y ER₁ y ²0} Schnittpunkte mit den koordinatenachsen folgende kurven diskussion durchgeführt Nullstellen y=0→nach x auflösen 0 =-x² + 2x²-1 Substitution : x² = 7 0=-2²² +221 |·(-1) 0=2²-22 +1 Was wird betrachtet? →Definitions- und wertebereich → Schnittpunkte mit den Achsen → Extrem-und wendepunkte → Monotonie → Symmetrie →Grenzwerte / verhalten im Unendlichen p-q-Formel: 2₁12 = -(¯-²2 ) ± √(-²) ² - ₁ ² 2²₁12 = 1 +10 Z = 1 Bei einer Wurzelfunktion darf der Wert unter der Wurzel nicht negativ sein! Bei einer gebrochenrationalen Funktion darf der Nenner nicht 0 sein! → Rück Substitution: 2 = x² 1= x² 1±1. x₁ = 1 x₂ = -A Knowur Grenzverhalten / verhalten im Unendlichen lim f(x) = lim (-x+ + 2x² - 1) X-8 x →80 == Symmetrie f(-x) = f(x) -(-x)+2²(-x)²-1 = − x4 + 2x² -1 -x4 + 2x² -1 = x² + 2x² -1. 0 = 0 W.A. ↳ f(x) ist achsen Symmetrisch zur y-Achse Extrempunkte 1. notwendiges kriterium: f'(x) = 0 0 = -4x³+4x 0₁ = x (-4x²+4) x₁=0 -4x² +4 = 0 1+4x² 4 = 4x² 1:4 x² =^. はイ x₂ = 1 x3 = -^ 2. hinreichendes kriterium: 3. X₁, X₂ und x3 in f(x) f(x₁) = -04+20²-1 lim f(x)= lim (x²+2x²-1). X-8 X-→-00 1+ x4 - 2x² +1 <= 0 +0-1 = -1 T (0-1) f" (x₁) = -12.0² +4. = 4 ·> 0 → Tiefpunkt f(x₂)=-14+2-1²-1 =-1 +2 -1 =0H₁ (110) f(-x) = -f(x)→→→→ punktsymmetrisch zum koordinaten ursprung f(-x) = f(x) →achsen Symmetrisch f" (x₂) = -12-1² +4 zury-Achse f(x3)=(-1)4 +2.(-1)² -1 = -1 +2 -1 = 0 → H₂ (110) +(x)=-x²+2x²-1 f'(x) = −4x³+4x f"(x)=-12x²+4 f(x)=-24x f (x₂) = -12 · (-1)² +4 = -8 <0 → Hochpunkt Knowuni = -8 <0 → Hochpunkt Wendepunkte 1. notwendiges kriterium: :f"(x) =0 2: hinreichendes kriterium: 2. hinreichendes kriterium : Monotonie 0 =12x² +4 +12x² 12x²=4 x² = 1/3 = x₂ = -14/3/² 3. X₁ und X₂ in f(x) f(x₁) = -(7²)4+2·(97²) ²-1 <-> (11) = f" (X₁) 1:12 1± √ f" (x₁) = -12x =-24.. 24.1777 =-813 <0→Links-Rechts Wendepunkt {"¹" (x₂) = -24. (1) 9 → Intervalle bestimmen. I₁ [-00; -1] I₂ (-1;0] t'(-2) = -4 (-2)³3+4·(-2) + (-0,5) = -4 (-0,5)³3+4·(-0,5) = 24 70 를 co → fist auf dem Intervall → fist auf dem Intervall I (-∞0; -1] Streng monoton Steigend = -12x =-24.13 =-813 <0→Links-Rechts Wendepunkt ¨ f ( x ₂) = -(-13¹ )* + 2 · (-17)-₁ = 8.13 >0 → Rechts-Links-wendepunkt {"(x₂) = -24. (1¹) I (-1;0) Streng monoton fallend = 8·13¹ >0 → Rechts-Links-wendepunkt ->Pw₂1-1/7/71-7) I₂ [0,1] f'(0,5) = -4.0,5³ +4.0,5 2/1/2 > 0 → fist auf dem Intervall I (0; 1) Streng monoton Steigend I₁ [1; +00] f'(2)=-4-2³ +4-2 =-24 20 → fist auf dem Intervall I [1; +00) Streng monoton fallend Steigungswinkel: Vorgehensweise: Tangente AY V Ax -Parallele zur x-Achse ΔΥ M= AX 1. Ableitung bestimmen 2. m Beispiel: f(x)= x² +1 1. f'(x) = 2x GK tan α = Al AY tan x = 5x xo/b=1 2. m = f'(b) m = 2.1 m = 2 = m an der Stelle xo/b berechnen (m= f '(x₂)) 3. m in m= tan & einsetzen und & berechnen ↳x = tan^ (m) 3. m= tan x x = tan (m) x = tan^ (2) ~ 63, 43° • x>0, so liegt der rechte Teil der Tangente über der x-Achse und und der linke Teil der Tangente unter der x-Achse - Der Winkel liegt zwischen der x-Achse und dem rechten Teil der Tangente, der oberhalb der x-Achee liegt • x<0, so liegt der rechte Teil der Tangente unter der x-Achse und der linke Teil der Tangente über der x-Achse Der Schnitt winkel ist der Winkel zwischen der x-Achse und dem rechten Teil der Tangente, der unterhallo der x-Achse liegt Beispiel: Vorgehensweise: 1. beide Funktionen und Ableitungen gleichsetzen 2. nach x umstellen und x berechnen 3. x-Wert, für den beide Bedingungen erfüllt sind → beide Funktionsterme einsetzen und den y-Wert berechnen 4. Schnittpunkt angeben Berührpunkte zweier Funktionen: I f(x) = g(xo) I f'(x) = g(xo) X1/2 1. f(x) = g(x) -2x² +x+2 -2x³ +6x²-x - 4 1 + 12x² 1-X 1-2 13 2 0 = 2x³ + 2x f'(x) = g'(x) -x + 1 = - 6x2 +12х -1 f(x) = -√√√√x²+x+2 X f'(x) = -x + 1 = 12 Хл Bedingungen: O = 6x2 +13x - 13+ X 2 13 - 6x + /13/² 12 X₂ = 3 2 승 WIS - 2x - 6 -2 1:(-6) g(x) = -2x³ + 6x² - x − 4 g'(x) = -6x² + 12x -1 | +x 1-^ → durch die Polynomdivision und die pq-Formel erhalt man : x=2 X^ X₂ 2 3 J → Da hier Polynomdivision sehr aufwendig ist, kann man x₁ = 2 und x₂ = = in f(x) = g(x) einsetzen und prüfen, ob eine Wahre Aussage entsteht 3. x= 2 in f(x) f(2)=¯ 2₁ · 2²³² +2+2 = 2 -Schnittpunkte zweier Graphen: Für den Schnittpunkt der Funktionen fox) und g(x) gilt: f(x) = g(x) 1. beide Funktionen gleichsetzen 2. nach x umstellen 3. x in einer der beiden Funktionsterme einsetzen Vorgehensweise: Beispiel: 1. 2. 2x-3 5 2x = y y = = f(x) = 2x X = 5 > S(૨૫) f(x) = g(x) 1/12 2x + 4 7 145 13 5 == 3. x in f(x) f(²)=2-(1)-3 28 - 3 und den y-Wert berechnen 4. Schnittpunkt angeben -3 ->>> 4. Die beiden Graphen berühren sich im Punkt (212) S 1.2 | + 1 × 1+3 âx und x berechnen g(x) = − 1² × + 4 4. S (4113) -Schnittwunden von Funktionen: Der Schnitwinkel zweier Funktionen bzw. ihrer Graphen entspricht dem Winkel zwischen den beiden Tangenten an Stelle xo/6 der Vorgehensweise: 1. Ableitungen von beiden Funktionen bilden 2. Xo/b einsetzen und m bestimmen 3. m in m = tan x einsetzen und beide a bestimmen 4. je mit je = 180° -(x +ß) oder je = 180° - (x-B), wenn x-p größer als 90° ist → der größere minus den kleineren Winkel Beispiel: 2= tan x 1. f'(x) = 2x g'(x) = -1 2. f'(1)=2 g' (₁) = -1 m₁ = 2 m₂ = -1 3. m₁ und m₂ in m= tan x f(x)=x² g(x)=2x je x0=1 x = tan^ (2) -1= tan B B = tan^(-1) → B = -45° 4. j = 180° - (x-B) = →x-63,43° = 180° - (63₁ 43° - (-45°)) = 180° -108,43° 71,57° 9 je B 1 1 L de f 180-g 7 Man nimmt immer den kleineren Winkel. In dem Fall je! Funktionsscharen: Funktionsscharen sind Funktionen, die zusätzlich zu der Variablen (meistens x) noch einen weiteren Parameter enthalten, welcher verschiedene Werte annehmen kann, wodurch verschiedene Funktionen entstehen. Beispiele: fa(x) = a.x²³ + ax + x fa(x)= a²-x-5 f₂ (x) = k·x" - k²³.x³ + l-x Untersuchen von Funktionsscharen: • normales Vorgehen: - Nullstellen Extremeteulen Hendestellen etc. als Parameter werden a" oder "le" benutzt " FALLUNTERSCHIED: • wenn es für , a" keine Einschränkung gibt (oder, nur": a‡0) ist es off nötig zu unterscheiden zwischen positiven und negativen Werten für den Parameter → für a>0 (oder a ER*) → keine Fallunterscheidung, da nur positive Werte für a möglich sind → für a#0 → Fallunterschied, da a positiv oder negativ sein lann + 2ax Kurvendiskussion einer Funktionsschar: f(x)= x³ + x² fá (x)=3x² f(x) = 6x + 2a f(x) = 6 1. Ableiten Den Parameter a nimmt man mit, wie eine normale Zahl Nullstellen: Extremstellen: x₁ = in fa" (x) f (x) = 6x + 2a Fallunterschied für a>0 f(x) = 2a >0 ↳TP = 6.0 + 2a = 2a X₁=0 in f(x) 2 fa(x) = x²³³ + ax² =0³ +a.0² O für a>0 ↳TP (010) fa(x)=0 XA f'(x)=0 XE =0 2 O= 3x² + 2ax 1:3 ax für a<o f(x)=2a<0 ↳ HP 2 x³+ ax = x²(x + a) für a<O ↳HP (010) + (x + ¾a) X₂= für a>0 x + a =O x₂ = -a x + ¾/a=0 2 30 fa(x) = 6x + 2a 6.(-a). = XE₂² 2 - 3/a in fű (x) = tallunterschied f(x)=-2a<0 ↳ HP = + 20 - - 1/²/3₁a + 2a = - 4a + 2a 2a 2 x₂ = -₁ X2 3a in f(x) f(x)= x³ + x² für a>0 = (-¾a)³ + a² (-¾a) ² 27 a 1-a 1-3 a far aso fa(x)=-2a>0 ↳TP ↳TP(-sala) für a<O ↳ HP ( a 127²) Wendepunkte: fa" (x)=0 x in f(x) = 6 > O → R-L-WP x in fa (x) = x ²³ + ax² =(-a)³ + a(-a) ² =27a3 Ortskurve: ²2WP (-1/³₂ | 2²/7 α²³) Eine Ortskurve ist eine Funktion durch Punkte des Graphen f mit einer • besonderen Eigenschaft" (z.B. Extrempunkte, WPs) nach dem Parameter ,a" umstellen allgemeine Vorgehensweise: Extremstellen nach dem Parameter, a" umstellen und in die y-Werte der Erxtrempunkte einsetzen Beispiel: fa(x)= x³ + 0-6x + 2a 1 3a XE 2 ³+ ax ² - 1/13 a 1. (- 12/12) 3 a=2x YE 27 · Q³ - 27- (2x)³ 1 3 y=-2 ·x² -)₁ 1-2a 1:6 in y einsetzen Ortskurve der Hoch- und Tiefpunkte Umkehrfunktion: Eine Funktion fist umbehrbar, wenn für jeden y-Wert genau ein x-Wert existiert. Die Umkehr funktion den passenden x-Wert zu. (f"^) ordnet jedem y-wert Umkehrfunktion berechnen: 1. Definitionsbereich von f bestimmen 2. Wertebereich von f bestimmen 3. Funktionsgleichung nach x umstellen 4. Y und x vertauschen Beispiel: f(x) = 3. y= 1 1. D = { × € IR ₁ × ‡ - 2 i 2. IW= {y EIR; y * -^ } X+2 1+1 y+₁ 1. (x+2) X+2 (y + 1)(x+2) = 1:(y +1) 1-2 X+ 2 = X = 1 у+л -1 Y + 1 y = x + 1 x + 2 2 -1 ·2 →x und y ver tauschen Umkehr funktion Funktionen, bei denen mehreren x-Werten der gleiche y-Wert zugeordnet wird, muss man ein Intervall angeben, damit die Funktionen umkehrbar sind ! Y f Winkel halbierende y=x →→>X Der Graph (f¹) ist der Graph (f) an der Winkelhalbierenden gespiegelt Besondere Umkehrfunktionen •f(x)=x ist die eigene for • ln (x) und e* sind ihre f = D₂ - WW₁-² _D". {y EIR; y + -1} →>>> WWf-Df1 IN₁² = {x €IR; x = -2} Exponentialfunktionen: Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreiben Anderungsprozesse eines Anfangswertes, der sich in bestimmten (zeitlichen) Abetanden um den selben Faktor vergrößert o. verkleinert. allgemeine Formel: . eine häufig benutzte Formel, ist auch f(x) = a.bx Zunahme N(t) = N₂·at mit a>1 Diese beschreibt allgemeine Wachstumsprozesse, die nicht zwingend von der Zeit abhängig sind N(t) = N₁ ·e Zunahme N(t) = No e k>0 N(t) = No at • k't kit • Bei vielen natürlichen Wachstume- oder Zerfallsprozessen wird die Anderung mit dem Wachstums- oder Zerfallsfaktor e leutersche Zahl) beschrieben. 100%. 30.000 102% = +2%. Anstieg N(t)= Wert zur Zeit t No Startwert (to) a = Wachstums- o. Zerfallsfaktor (a=1; a>0) t = Zeit k Wachstums- oder Zerfallskonstante Abnahme/Zerfall N(t) = N₂ · e k<0 keit = oder Abnahme/Zerfall N(t) = No at mit 1>a>0 · N(7) 30.000 ~ 34461 Zusammenhang x. ln (a) e Beispiel: Bevölkerung mit 30.000 Menschen, die jedes Jahr um 2% wachet. Anzahl der Menschen nach 7 Jahren ? N(t) = N₂·at N(t)= N₁ ·ekt 7 N(7) = 30.000 1,02* ~34461 X In (1,02)-7 e = a -Trigonometrische Funktion:- Trigonometrische Funktionen/Kreisfunktionen / Winkelfunktionen sind periodische Funktionen Sinusfunktion: -5π/2 2-3√2 y = f(x)=sin(x) Hochpunlete: xk max Tiefpunkte: min' Streckung in y-Richtung 1,5- 6,5+ /2 Nullstellen xk = k· x, k EZ (alle Vielfachen von 1², k Extremwerte: + 2 k.2. π 31²2² +4.2.x 3f/2 In 5π/2 3m x Definitions- und Wertebereich: ID={IR} (für x dürfen alle Werte ein- gesetzt werden) |n(x) = tan(x) Tangensfunktion (y=0) f(x)=sin(x) Sinusfunktion (y=0) g(x) = cos(x) Cosinusfunktion (y=1) IN= {y EIR / -1 ≤ y ≤ 1} kann jede ganze Zahl sein) Fina y = f(x)= a · sin (bx + c) + d Streckung in x-Richtung Periode: 21 Symmetrie: Punket symmetrisch zum koordinatenursprung - sin(x)=sin(x) Verschiebung parallel zur x-Achse 1 210 Verschiebung parallel zur y-Achse Kosinusfunktion: y = f(x) = cos(x) Nullstellen: x₁ = (k = =). 2²₁ KEZ Xk= Extremwerte: Hochpunkte: xmax = k· 2x² Tiefpunkte: Xle min Periode: 2K Tangensfunktion: Definitions- und Wertebereich: D={R} (für x dürfen alle Werte ein- gesetzt werden) W-{Y EIR /- 1 ≤ y ≤ 1} y = f(x) = tan (x) = π + k· 2 H Symmetrie: Achsensymmetrisch zur y-Achse Uullstellen: Streckung in y=f(x) = a.cos (bx+c)+d y-Richtung Y ANA 2 xkl. π, KEZ (alle Vielfachen von 1, kann jede ganze Zahl sein) Streckung in x-Richtung Extremwerte: hat keine Extrema Polstellen: x₁₂²= ( k + ²/2 ).. •π 28 cos (x) = cos (-x) Definitions- und Wertebereich: Verschiebung parallel zur x-Achse D. {IR ly+ (KZ). π₁ KEZ} X Verschiebung parallel zur y-Achse - bei Nullstellen der Kosinusfunktion, da O im Nenner stehen würde IN= {R} (für y dürfen alle Werte ein- gesetzt werden) tan x = sin x cas x k € Z → senkrechte Asymploten ¹ x = 1 the re . 1 Periode: Symmetrie: Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung -tan (x) = tan (-x) Streckung in y-Richtung -cos(x) sin (x) y = f(x) = atan (bx + c) +d -2x -sin (x)] -T Streckung in x-Richtung C08 (x) - Y Ableiten und Integrieren: ableiten integrieren 1 2π X K x Verschiebung parallel zur x-Achse Verschiebung parallel zur y-Achse f(x)= ton (x) f'(x) = 1 + tan² (x) F(x)=-In (Icos (x)])