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Nina Böß
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GLEICHUNGEN >Wurzeln : VERSCHIEDENE GESETZE m+n > Potenzgesetze am an = amth (am)n = am.n a" Differenzquotient >partiell reduzieren: √8 = √√4-2= 2√2 (Taschenrechner) 8 DIFFERENZIEREN GRAPHISCHES Graph von fo Hoch, Tief- und Sattelpunkte . Must Know Analysis Nullstelle einer Funktion Hoch, Tief-, Sattelpunkte wende punkte Schnittpunkte Anwendung: f(x) = 0 f'(x)=0 f"=0 f(x)-g) →wichtig: x= x^= ² x¹ = ²/10 x ² = √x²x² = ¹√/x² 一腿:只 monoton steigend monoton fallend Wendepunkt Differenzialquotient f'(x)= lim f(x+ Ax)-f(x) AX+0 AX A_ f(x)-f(x₂) x-xo ABLEITEN mittlere Nullstelle Graph von f'(x) Änderungsrate Kurve liegt über der x-Achse Kurve liegt unter der x-Achse Hoch-/Tiefpunkt momentane Änderungsrate Kriterium f'(x)=0 f'(x) > 0 f'(x) <0 f"(x)=0 emily & nina ABLEITUNGSREGELN Produktregel: f(x)= u(x) v(x) f'(x)= u(x) v(x)· u(x) ·v'(x) Beispiel: f(x)=x².ex f'(x)=2x ex+x².ex Kettenregel: f(x)= u(v(x)) f'(x)= u'(v(x)) · v' (x) Beispiel: f(x)=(-2x4+7x)³ f'(x)=3(2x4+7x)² (-8x³+7) Faktorregel: f(x)= a.g(x) f'(x)= a g'(x) Beispiel: f(x)=2x²³ f'(x)=2.3x²=6x² Summenregel f(x) = g(x)+hQx) f'(x) = g'(x) + h'(x) DIE TANGENTE Rezept zum Bestimmen von einer Tangentengleichung Vorraussetzungen: → Funktionsterm f(x) & Punkt sind angegeben 01x Ableiten x-Wert d. Punktes in f'(x) einsetzen → m x-wert, y-Wert & m in y=m₁x+b einsetzen und nach b auflösen Tangentengleichung angeben (also m&b in y=mx+b einsetzen) Rezept: Beispiel Rezept Beispiel f(x) = 1 x³² - x² +1^²×; PC ² / f(²2)) f'(2) = 1/2 · 2² -2.2 +11 →→x-Wert ( 2 3 X einsetzen = -4 → m (Steigung) f(2)=-2³-2² +1-2 = - 4+1 = 1 f'(x)=3x-2x + < +11 = x² - 2x + EXTREMSTELLEN BZW. EXTREMPUNKTE (1) 1. & 2. Ableitung bilden Ⓒ f'(x)=0, → d.h. 1. Ableitung Null setzen & Gleichung lösen 3 x-Werte aus in die 2. Ableitung einsetzen & überprüfen ob & welche Art von Extremstelle vorliegt: @f'(x)=2.ex + 2x.ex f"(x) = 2ex + 2ex + 2xe* = 4ex + 2xex (2) f'(x)=0 = 4 y-wert...
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bestimmen, d.h. x-Werte in f(x) einsetzen 6 Punkte angeben (also H (1) bzw.T(1) f(x)=2x ex = 2ex + 2xe* 2ex (1+x) > f"(0) ≤0 Lokales Maximum > f" (0) >0 → Lokales Minimum > f" (0)=0 → VZW-Kriterium überprüfen; meistens Sattelpunkt O O SVN: 2ex=0 →y-wert →→ Ableitung keine Lösung 1====·2+b 1= - +b | +3 =b y = -x + 3 →→ Ergebnis 1+x=01-1 x= -1 Rezept zum Bestimmen von Extrempunkten ➜b 3 f" (-1) = 4 = ²^ + 2 · (-₁) · é^ = 0,74 > 0 4 f(-1)= -2e^ 5 T(-1/-2e¯^) lok. Minimum WENDEPUNKTE Rezept zum Bestimmen von Wendepunkten Rezept Beispiel NORMALE Rezept 3x ableiten f'x)=0d.h. zweite Ableitung Nullsetzen & Gleichung lösen 3 x-Werte aus in die dritte Ableitung einsetzen & überprüfen dass nicht Null herauskommt, dann liegt keine Wendestelle vor 4 y-wert bestimmen, d.h. x-Werte in f(x) einsetzen 6 Wendepunkte angeben. Ⓒ f(x)=x²³+3x²+x f'(x)=3x²+6x +1 f"(x) = 6x +6 f(x) = 6 2f"(x)=0 0 0 -6 X = = 6x +6 1-6 6x 1:6 1:6 = - 6x = -1 3) f(-1)=60 f(-₁)= (-₁)³ +3.(-1)² +1 = -1+3-1 = 1 Ⓒ (-1/1) Einmal ableiten 2 x-Wert in f'(x) einsetzen -^ Mn=mt 3 Normalensteigung bestimmen: Mn = neg. Kehrwert Ⓒx-Wert, y-wert und mn in y=mx+b einsetzen & nach b auflösen 5 Normalengleichung angeben (m₁ &b in y=mx +b) KRÜMMUNGSVERHALTEN Die Funktion f ist auf einem Intervall I zweimal differenzierbar (also 2x ableitbar) Wenn (f"(x)=0 für alle xeI ist, dann ist (f" (x) < 0 der Graph von f in I eine Linkskurve Rechtskurve neg. Rechtskurve pos-Linkskurve
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