Fächer

Mathe

Funktionen und analysis

Ableitungsregeln

Quotientenregel

9.311

•

9. Feb. 2021

•

3 Seiten

Potenzgesetze und Tangentengleichungen leicht erklärt für Kids

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Nina Böß

@nina.boess

Differenzialrechnung und Funktionsanalyse sind zentrale Themen der Analysis. Diese Zusammenfassung... Mehr anzeigen

GLEICHUNGEN
VERSCHIEDENE GESETZE
> Potenzgesetze am an = amth (am)n = amn
>Wurzeln
→wichtig x= x^= ² x ² = ²/10 x ²2² =√x²x² = 2√x
*-**. =√x

Die Tangente und Extremstellen

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Bestimmung von Tangentengleichungen und die Ermittlung von Extremstellen.

Das Rezept zur Bestimmung einer Tangentengleichung wird schrittweise erklärt:

Funktion ableiten
x-Wert des gegebenen Punktes in f' $x$ einsetzen, um die Steigung m zu erhalten
x-Wert, y-Wert und m in y = mx + b einsetzen und nach b auflösen
Tangentengleichung mit den ermittelten Werten für m und b angeben

Definition: Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

Für die Bestimmung von Extremstellen wird folgendes Vorgehen empfohlen:

Erste und zweite Ableitung bilden
Nullstellen der ersten Ableitung finden
x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen, um die Art der Extremstelle zu bestimmen
y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Ursprungsfunktion ermitteln
Extrempunkte angeben

Highlight: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass f'' $x$ < 0 ein lokales Maximum und f'' $x$ > 0 ein lokales Minimum anzeigt.

Diese Methoden sind grundlegend für die Lösung von Tangentengleichung Aufgaben mit Lösungen und Extremstellen berechnen Aufgaben mit Lösungen PDF.

Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Der letzte Abschnitt behandelt die Bestimmung von Wendepunkten und das Krümmungsverhalten von Funktionen.

Das Rezept zur Bestimmung von Wendepunkten umfasst:

Dreimaliges Ableiten der Funktion
Nullstellen der zweiten Ableitung finden
x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen und überprüfen, ob das Ergebnis ungleich Null ist
y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Ursprungsfunktion ermitteln
Wendepunkte angeben

Example: Für f $x$ = x³ + 3x² + x ergibt sich der Wendepunkt bei $-1, 1$ .

Die Bestimmung der Normalengleichung wird ebenfalls erläutert, was für das Tangente zeichnen relevant ist.

Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente in einem bestimmten Punkt steht.

Abschließend wird das Krümmungsverhalten einer Funktion diskutiert:

f'' $x$ > 0: Der Graph ist rechtsgekrümmt $konvex$
f'' $x$ < 0: Der Graph ist linksgekrümmt $konkav$
f'' $x$ = 0: Möglicher Wendepunkt

Highlight: Das Krümmungsverhalten einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form und ist entscheidend für die Analyse von Graphen.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von Extrem- und Wendepunkte berechnen Aufgaben und die Anwendung eines Extrem- und Wendepunkte Rechners.

Gleichungen und Differenzieren

Dieser Abschnitt behandelt grundlegende mathematische Konzepte und Gesetze, die für die Analysis wichtig sind.

Highlight: Potenzgesetze und Wurzeln sind fundamentale Konzepte, die für das Verständnis komplexerer mathematischer Operationen unerlässlich sind.

Die Tangente Definition und das Differenzieren werden eingeführt, wobei wichtige Anwendungen wie das Finden von Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkten erläutert werden.

Vocabulary: Der Differenzquotient ist die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten einer Funktion.

Das graphische Ableiten wird visualisiert, um den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung zu verdeutlichen.

Example: Bei einer steigenden Funktion liegt der Graph der Ableitung über der x-Achse, bei einer fallenden Funktion darunter.

Verschiedene Ableitungsregeln werden vorgestellt:

Produktregel: f $x$ = u $x$ · v $x$ → f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + u $x$ · v' $x$
Kettenregel: f $x$ = u $v(x$ ) → f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$
Faktorregel: f $x$ = a · g $x$ → f' $x$ = a · g' $x$
Summenregel: f $x$ = g $x$ + h $x$ → f' $x$ = g' $x$ + h' $x$

Diese Regeln sind essentiell für die Tangentensteigung berechnen und das Lösen komplexerer Ableitungsaufgaben.

Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Lena M

Android user

Timo S

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Julia S

Android user

Marcus B

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Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Nina Böß

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Differenzialrechnung und Funktionsanalyse sind zentrale Themen der Analysis. Diese Zusammenfassung erklärt wichtige Konzepte wie Potenzgesetze und Differenzialquotient verstehen, Rezept zum Bestimmen von Tangentengleichungen sowie Extrempunkte und Wendepunkte berechnen.

Potenzgesetze und Wurzeln bilden die Grundlage für komplexere Berechnungen
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Die Tangente und Extremstellen

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die Bestimmung von Tangentengleichungen und die Ermittlung von Extremstellen.

Das Rezept zur Bestimmung einer Tangentengleichung wird schrittweise erklärt:

Funktion ableiten
x-Wert des gegebenen Punktes in f' $x$ einsetzen, um die Steigung m zu erhalten
x-Wert, y-Wert und m in y = mx + b einsetzen und nach b auflösen
Tangentengleichung mit den ermittelten Werten für m und b angeben

Definition: Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.

Für die Bestimmung von Extremstellen wird folgendes Vorgehen empfohlen:

Erste und zweite Ableitung bilden
Nullstellen der ersten Ableitung finden
x-Werte in die zweite Ableitung einsetzen, um die Art der Extremstelle zu bestimmen
y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Ursprungsfunktion ermitteln
Extrempunkte angeben

Highlight: Die hinreichende Bedingung für Extremstellen besagt, dass f'' $x$ < 0 ein lokales Maximum und f'' $x$ > 0 ein lokales Minimum anzeigt.

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Wendepunkte und Krümmungsverhalten

Der letzte Abschnitt behandelt die Bestimmung von Wendepunkten und das Krümmungsverhalten von Funktionen.

Das Rezept zur Bestimmung von Wendepunkten umfasst:

Dreimaliges Ableiten der Funktion
Nullstellen der zweiten Ableitung finden
x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen und überprüfen, ob das Ergebnis ungleich Null ist
y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Ursprungsfunktion ermitteln
Wendepunkte angeben

Example: Für f $x$ = x³ + 3x² + x ergibt sich der Wendepunkt bei $-1, 1$ .

Die Bestimmung der Normalengleichung wird ebenfalls erläutert, was für das Tangente zeichnen relevant ist.

Vocabulary: Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente in einem bestimmten Punkt steht.

Abschließend wird das Krümmungsverhalten einer Funktion diskutiert:

f'' $x$ > 0: Der Graph ist rechtsgekrümmt $konvex$
f'' $x$ < 0: Der Graph ist linksgekrümmt $konkav$
f'' $x$ = 0: Möglicher Wendepunkt

Highlight: Das Krümmungsverhalten einer Funktion gibt Aufschluss über ihre Form und ist entscheidend für die Analyse von Graphen.

Diese Konzepte sind fundamental für das Verständnis von Extrem- und Wendepunkte berechnen Aufgaben und die Anwendung eines Extrem- und Wendepunkte Rechners.

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Gleichungen und Differenzieren

Dieser Abschnitt behandelt grundlegende mathematische Konzepte und Gesetze, die für die Analysis wichtig sind.

Highlight: Potenzgesetze und Wurzeln sind fundamentale Konzepte, die für das Verständnis komplexerer mathematischer Operationen unerlässlich sind.

Die Tangente Definition und das Differenzieren werden eingeführt, wobei wichtige Anwendungen wie das Finden von Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkten erläutert werden.

Vocabulary: Der Differenzquotient ist die Steigung einer Sekante zwischen zwei Punkten einer Funktion.

Das graphische Ableiten wird visualisiert, um den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung zu verdeutlichen.

Example: Bei einer steigenden Funktion liegt der Graph der Ableitung über der x-Achse, bei einer fallenden Funktion darunter.

Verschiedene Ableitungsregeln werden vorgestellt:

Produktregel: f $x$ = u $x$ · v $x$ → f' $x$ = u' $x$ · v $x$ + u $x$ · v' $x$
Kettenregel: f $x$ = u $v(x$ ) → f' $x$ = u' $v(x$ ) · v' $x$
Faktorregel: f $x$ = a · g $x$ → f' $x$ = a · g' $x$
Summenregel: f $x$ = g $x$ + h $x$ → f' $x$ = g' $x$ + h' $x$

Diese Regeln sind essentiell für die Tangentensteigung berechnen und das Lösen komplexerer Ableitungsaufgaben.

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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