Analytische Geometrie Merkzettel

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windschief, da die Rich- tungsvektoren zusätzlich nicht kollinear sind (siehe Beispiel (3)). Lösungsbefehl für Gleichungssysteme am Beispiel von (2) Der Vorteil des linSolve-Befehls ist, dass man das lineare Gleichungssystem nicht umformen muss 14 "Van Londen Das Gleichungssystem besitzt keine Lösungen. Die Geraden besitzen also keine gemeinsamen Punkte. Um Windschiefe auszuschließen, prüft man die Richtungsvektoren auf Kollinearität (siehe Bsp. (2)) Lösungsbefehl für Gleichungssysteme am Beispiel von (4) UnSolve-2+ 3+2+1re) Das Gleichungssystem besitzt genau eine eindeutige Lösung. Man erhält die Werte r= 1 und t=-2 (siehe (4)). Die Geraden schneiden sich in einem Punkt, den man durch Einsetzen der Parameter in die jeweilige Geradengleichung erhält. tasung aber bestimmter Gleichungsydeme Besitzt ein Gleichungssystem mehr Gleichungen als Variablen, so handelt es sich um ein überbestimmtes Glei chungssystem.. Anhand so vieler Gleichungen, wie Variablen vorhanden sind, wird das Gleichungssystem gelöst. Anschließend wird mit den restlichen Gleichungen jeweils eine Probe durchgefühl Ergeben sich wahre Aussagen, so gelen die berechneten Variablen die Lösung des Gleichungssystems an, andern falls. ist das Gleichungs- System nicht lösbar. Losung linearer Gleichungssysteme - 3. Fälle können auftreten: - eine Lösung) -keine Lösung -unendlich viele Lösungen 1. Fall: genau eine Lösung 9 -(-1) 류 -7 -> -> -2 A 0 1 0 2 X₁.-1 20. 0 % ·9 J. (2). (?).. | --2 › ( 1 % ; ] ! ) 0 x₂=3×3=2 ein lineares Gleichungssystem hat entweder genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen 2. Fall: Keine Lösung 2. :3 2 1 39 uz - ло 3 -7. -10 - A 10 U ( 3 weil 0x3 = 4 hat heire. Lösung Bsp: (113) cht lösbar nicht to denn x3 = 0.-? - 7 = -2 3. critter fall: Unendlich viele Lösungen 1 (345) 8 • eine Zeile nur Nullen 1. maximal vereinfachen ^ Il eine Gleiching nehmen X2-2×3 =2. setze x3=t E?×₂=2++2 IV. veranderie Gleichung in andere einsetzen x₁+2·(2+ + 2-3-(1)-6 X^= 2-+ X2 - für x₂ Gleichung einsetzen ->für x3 einsetzen V. Losungsmenge aufstellen 2 2 2 ² + 1 2 + + 21 + 1} +.E.R. VI für einen Wert einsetzen für einen beliebigen Punkt Bsp: t-0 (2-0120+216) (21210) Variablen Stimmer nicht mit Gleichungen überein: 1. weniger Gleichungen als Variablen: x1+x2 + x3 =1 x₁ + x2 + x3 >^²+x2+x3=2 x₁ + x₂ + x3 =1 => unendlich viele Lösungen => LGS hat keine Lösung -- genau eine Lösung kann es nicht geben 11. mehr Gleichungen als Variablen x₁ + x2=1 X1+X2=2 x1 + x3 =3 =zheine Lösung x₁+x2=1 x₁ - x2 = 1 V= 2x₁+2x = 2. => genau eine Lösung (LALA)? 2 ^ 1 1 444) H 2 2 O. ( 8 318) 1. 9 =)x^= 1 *2=.0 J. kann auch sein x₁ + x₂ = 1 2x₁²+2x2=2 3хл +3x2=3 => unendlich viele Lösungen. -^ -) 3 -2 -> (111) Ishur noch eine Gleichung ・ übrig. Bsp: Nr.2 ₁-3×2 +2+3 = 2 @ 3x22x31 -6x₂4x33 V V ( ő 1 8 '1 1 -3 3 x1+2*2 -3х3 = 2 ₁+2x₂-3x3-6 -433 = 8 2 2 با + يا - 463 -3+2 3-2 O O 2 6 3 3 6 -4 8 2 2 V 3 b x₁-2x₂-x3 = 2 2+₂-4x3=1 32-637 롤 :2 V-. 4-63 Bsp: gleichsehen zweier Gracen - ( 1 ) + |- ( ²3 ) - ( 3 ) +- ( 3 ) ) ( 7 ) -Variablen auf eine Seite bringen. 1-2-1 2 G2-41 103-6¹2/ :3 1-2 02 1 v U 02 V -2 V² 1x2-2×3 - € setze x t 1-2-12 3-6 3 1x₂-24-2 | 124 *2 2 +3+ 1+1 2+₂-1+3 = 2 1x₁-2-(2+5+)-1+=2 1x1-1-6+ -1+ = ? (2) -> 슬 2 7 --2 2 + v + / 2 = +6+ v- vx < ;) x₁ = 3+3+ (3+3+12+3+1+) 2x₁-4x₂-x₂1 5x₂ + 2xy =16 2 -4 8 3/4) (414):3 - 6 (8) 0 A (៖៖៖ |) 11:5 h 1:2 (/(61213) das Gauß-Verfahren Gauß-Verfahren zum lösen linearer Gleichungssysteme mit n Variablen drei Gleichungen Bsp: 3×₁+6×₂ - 2x3 = -4 3x12x₂ + x3 1,5x1 + 5x₂-5x3 = -9 -> ohjel 1 -5 -9 415 - 10.246. AD 2/2 18 24 Gimmer mit der Zeile darunter addien 0 - 2 7. -6 -4·3· O 5 4. -4 4 ло. 6. 0 ·6 ^ -3 S (V-) - (2-). 2 1.0.0 00 100 > 6.-2 (883)6 4 -) ·3 6 Sein 3 9 26 - £ (-1) 4 / 2)} -4 O -2 Q. 9) 1. 100 0 0:0 -> man muss Diagonal form bekommen →von oben nach unten rechnen -> [ösungsverfahren mit mehr als 2 Variablen 0 2 3 1. - man braucht nur so viele Gleichungen als Variablen - kann auch -(-1) Matrix bilden: V. 2. -^ von: r. -21. 2 U 2 -4 (1)+(33) 418 41 jow (1 - 1 2 - 8 ) = +(8817) 14 d. Matrizen: -Rref 1. Run-Matrix 1. OPTN => F2 11. F6 IV. FS V. 2x Exif drüchen VI. FY Math VU. F1 Mat VCT W F3 min h ./ Gleichungen Zeilen VIX. EXE :(-2) Das Gauß-Verfahren -Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS) mit mehr als 2 Variablen Matrix Gleichungssystem in Kurz form, man noliert nur che Koeffizienten und cr'e Zahl auf der. rechten Seile 3x₁+6x2-2x3 =15 4x2-3x3 = -17 2х1 + 5+z-5+3 =-23 1,5-2-3 3 ^i5" = = (3) • von oben hach unten 11. von unten nach oben Il Diagonal form mit 1 IV. Lösungsmenge angeben .U- £ ( 1 ) )) - man hann die Zeilen vertauschen. = (%) Matrix bilden Von +- ( 3 ) + + ( ²4 ) = ( 1 ) (2) - Dreiecksform →> Lösungsmenge ablesen // {xaitzits] / (xixix3) Kann auch [8% | ] sein Normal: 1 Matrix bilden: -- man kann auch untere Zahlen hochrechnen + Y Gleichungssystem aus dem man die Lösung ablesen hann von oben nach unten addieren (eine der oberen Zeilen / und dann mit unehem addieren > Diagonalform muss immer 1 sein r = 15 3 6 2 6 4₁ ·3 5 -5 - Wenn nur noch 1 Zahl (00_1_) cann immer auf 1 devidieren! 15 -17 -23 -> Bspi 3хл +6x2-2*3 = - 4 3x + 2x₂ + x3 = 0 15x15x₂5x3 = -9 1. Matrix bilden -> 3 3 1,5 ( 3 1,5 ر۔ (3 ( ५ 9 -2 Is man kann auch untere Zahlen hochrechnen ! 1,5-2 = 3 -> -2 6 - 2 2 1 5 -5 6 - 2 -4 3 5 LL = 6 1 ケー 10 6 2 6 →₂ ( 8 4 3 / 4 ) .... -> 2 0 001 - 2 3 -10¹-18 - 4 09 -10 -2 2 y 3 6 -10 -> · ( 6 ; ; j 7 ) → 0 1 --6 :3 (8) :2 -4 -1 4 Taschenrechner (-1) ہا۔ 1 ((^/ ² / 2) ) Taschenrechner: Matrix: 1.OPTN 2. F2 3.F6 4. F5 5.2× EXIT. 6. F.4 2. F1 L> man = Größe auswählen. 1. Menü 2.E.qua A 3.PA 4. Anzahl der unbekannten einsetzen S.immer eine Variable :. 4ten Grades -symmehisch zury-Achse= AS HP(21-2) - TP(01-3) geg... ax"+ bx³ + cx² texte f'(x) = 4ах 3+2x? 1. f(2)= a.24 c.2² +e=-² -Aba+ucte =-2 11. f(0) = a.04 + c.0² te --3 :l =-3 1. f(2)= 16a14c-3--2|+3 = 16a+uc = 1 f'(21= 4a-23+2c. 2 = 0 = 32a+ 4c =0 16a+ 4 = 11-4c €₁16α=1-4c1:16 >a 16а+4-0,5-л лва a = 32 (c) + 4c = 0 G2-8c+ 4c = -2 -4c =-21:- 4 C = 0,5 G₂ =-11:16 f(x) --4x4 +0,5x²-3 + x³ = 0 x. (1x²-4)=0 x=0 ft(x) = t-x³. - 4x +x²-4=0 tx 2 =4 ㅏ +² = 15 7 ->nach x auflösen Ableitung bilden f'(x) = 3+x²_² f+" (+1=6+x ax³ + bx² + cx + c² f(₁^²)=a.1²³ + 6-1² + C-1+d=-3 = a + b +c+d3 AL11-3) C(31-7) B(21-7) 0(413) f(2)= a.2²³ + 6.2² + c²2+d²=-7 = 8a+ 46+ 2c +d =-7 f(3) = a 33+ 6.3² +c.3+d=-7 27a+ 9b + 3b+d=-7 f(4) = a.4³+ 6.4² + c. 4+ d = 3. 64 at 166 + 4ct d = 3 = a + b + c + d 8a + 46+ 2c + d 27d 96+ 3+ d =-7 64a+166+ 4c+d = 3 f(x1= x² - 4x²+x-1 f(x) = ax²+bx+c A(010) B(110) ((213) f(0) a・0² + 6.0+(-0. - C = O f(1) = a.1² +6.1+ 0 = 0 a+bu f(2)= a.22 6.210.3 = 4a +26=3 a+b=0 Ya+26= 3 Q= 4 a +26-31-26 49.2₁-1=3 4a3-261:4 4a-33 +3 2-16 ча- 6 1:4 a 2 =-3 = -7 2-4b +6=0 1-3 2 => f(x) = ² ³ × ² - 3 x BSP: -) H 11 9 Л о ||! о 1 1 vx V Лхл Лул V 2 V V 1 6 -3 12-1 -> setzte x3: = C 12 о t 1. 1х1 -1х2 +1х3 H 2х2 1х3 V V 4 슬 2 2- 9- 2 - 2 3 2х2-1t = 1/иль 2х2 = 1+1+1:2 6-5...3 2 V -2 V О t 5-37 7 -3 1 000 -2. ALER(EPS)-(109) ( Г- 슬 - einse he - 1. (2 + 3+) + 1+ = -2 1 + +1+ -3 -3 о -4 = - 2 8 0-6-3 2 в -А 2 О 2 V 1 о 7 - 1 2- = 2 Σ -> s- 3 2 V 1 к 1 -Л (1 - 1 2 V V на 1 2 O O O 60-4 ло Л 2 8. Ç C+ V. N 3 2 I о NOW II з ។ о ови еси 3 о 2 s о о о 3 это - 12 00л 1 5. 2 V 2 толь Noroo 2 3 Ч-3 Чо Ч 2 3 Л 01-4 .-4 3 1 -1 , г 3 Ч -3 23 3 о 5 17 3 b 8 - 61:2 5 24 3 в 10 S о о " , т 8-612/2 , ·3 --2 33 3x1+2*2+ 3x ко 4х2-3х3 2- -7 -> :-1) -? в '34 2 2-3 л 004 9 3 Ч 2 5 (21) 0-17 -^ли 00 3 л 3 3 ч 2 01 001 setzte +3 =t 1+31 4х2-3+= 6 4х2=6 +311:4 +2+ о 6 12 1.-2 3 400 (891) (181) 0 10 001 23 4 -3 о 3 n∞ 8 3 O о 5 3 3 9 в 30 2 3 4-3 в 4-316 ь --2 Extremwert probleme mit Nebenbedingungen Bei Extremwertaufgaben werden die Voraussetzungen er- mittelt, unter clenen eine bestimmte Größe extrem, din maximal-monatl. 5000 Stück zum Preis oder minimal wird von 25 € -Preissenkungen von 16- 300 Stück erhöhen ->bei welchem Stüchpreis Ein- nahmen am höchslen? Meist wird zudem die Berechnung dieses größlen bzw. kleinsten Wertes gefordert. 1. Große, die für Extremwert berechnet werden soll, in Abhängigkeit der relevanten Variablen dufstellen. 11. Im Aufgabentext mach Nebenbedingungen suchen u Zusammenhänge zu den Variabler herstellen, um die Extremalbedingung in Abhängigkeit von nur einer Variablen zu erhalten. Flächeninhalt und Umfang Rechtech Umfang: 2a+26 Flächeninhalt: A = ab Dreieck: Flächeninhalt: A = 4·6·h Umfang: αa+b+c ZF: ↳> Zielfunktion aufstellen, die von einer Variable abhängt € (25) = 4,. 17 => sollte um 1497 gem e es Ela) 2500-300 a Parallelogramm: Flacheninhalt: A = g.hg · Um fang: V=·2·(a+b) II. Einen bezüglich der Fragestelling simvollen Delfindions 2500 - 60val · 600 bereich für die Extremalbedingung festlegen f"(x)=600²0 - Max. IV. Max bzw Min bestimmen v. Randwerte untersuchen Raute Flächeninhalt: A²-¼·e·f Umfang: U= 4.a Trapez: Flächeninhalt: A = atch. Umfang: U = ₁a + b + c +cl Kreis: Umfang: u = 2₁:r = πT. CL · Flächeninhalt: A. = π.. r? · Vierech: Umfang: 2a + 26 Flächeninhalt: A=a.b. HB: XY Einnahme protag / Anzahl verhauffer Telle Quadral: Umfang: U=ua A NB: 5000+300 á 25-a Flächeninhalt: A =a² Senkugy y = (a)= (5000+ 300d) (25-a) A = x₁y HB ->2 Variablen 50 2x+2y=NB 50- 2x +2y 1-2y 50-2y 2x 1:2 25-yx ✓einsetzen im HB A=x-y A-(25-y)-y = 25y-y² A' 25-2y A1 >0 Max. A = 0 25-2 y = 0 12,5 = У 2+2 12,5 50 > 12,5 Geg 400m lange Laufbahn • A = möglichst groß 1. Angaben: Längen: 2 y und x A= x-2y 2. Nebenbedingung 2x+2y = 400 3. Einsetzen: A (x)=x2-(200-x) = (400-2²) A '(x)=0 für = 100 A" (x) <= lahales Maximum bei 100 y 100 31,84 > -> Flächeninhalt für x= 100 undy= 31,84 100m lang und 63, 68 beit 1= 50cm A=a.63HP Umfung U=20+2650 ->auflösen 29+26-501-26 2a 50-26 1:2 a=25-b -> einsehen in HB A = (25-61-6 -256-62 ->Ableitung bilden A-25-26 ->Extrem stellen bestimen. 12,5-6 A"-120= Max -> a berechnen a = 12,5 ->das Rechlech muss 12,5cm lang sein. Extremwert probleme mit Nebenbedingungen e-Funktionen ... gegebene Werte betrachten Lim Taschenrechner zur Hilfe einzeichnen 11. Zielgroße in einer Formel beschreiben > Variablen ersetzen A = x₁y / u₁V Hauptbedingung (HB) => was soll max. /min. werden. →> 2 Variablen ∙IIL Webenbedingung suchen, die Abhängigkeiten zwischen den Variablen enthalten Setzte NB in HB ein Zielfunktion (um max Flächeninhalt zu berechnen) IV. Zielfunktion beschreiben, die nur noch von einer. Variable abhängt Definitionsbereich angeben - triste und zweite Ableitung bilden. ·V. Extremwerte berechnen Extremstellen der Zielfunktion untersuche notw. Bed. 1. Extrema flxl- r. Beel. I. Extrema f'( ) 70 ^ f'(x) = 0 VI Randwerte betrachten ->dürfen Extremstellen nicht über- treffen, sonst liegt da das Maximum >Randextrema unbekannt List es auch clas absolute Extremum Rand extreme untersuchen. Antwortsatz Die größte Fläche ist. dabei ist lang und breit Intervall [05] f(x) = ex P(x) f(x)) Ursprung O A = a·b a-Lange b = Breile A(x)=x. f(x) All tết A₁( x ) = 1 · ² x + x · (-11 · e-x =e²-x. (1-x) A² ( x ) = (-_^)-e² * + (₁-x) · (-1) ex 1swegen x erst multiplizieren dann ausklammern = ex. (-1 -1+x) =ex.(-2+x) Notw. Bed: A+1=0 ex (1-x) = 0 ( ✓ 1-x=0 |+x 1= x hinreichende Bedingung: A4|= 0 ^ _A"G! +0 f" (1) = e²^₁ (-2+₁) = -0,367 <0 => HP => Rechtech maximal bei x = 1 mit A(x) = 1. €²^₁ = 0,36 [FE_ A10) = 0.60 = 0 A(51-550₁033 => bei x = 1 ist A(x) maximal GK 12 Infoblatt Mathematik Thema: Strategie beim Lösen von Extremwertaufgaben 1. Gegebene Situation, falls möglich, skizzieren, sich bildlich bzw. räumlich vorstellen, um sich der Beziehungen der gegebenen und gesuchten Größen bewusst zu werden. 2. Beschreiben der Größe, die extrem werden soll, durch einen Term. Dieser kann mehrere Variable enthalten. (Extremalbedingung) 3. Aufsuchen der Nebenbedingungen, ebenfalls in Form eines Terms oder mehrerer Terme. (Nebenbedingungen) 4. Bestimmung der Zielfunktion, indem die Nebenbedingungen umgeformt werden und so die „überflüssigen" Variablen aus dem Term der Extremalbedingung eliminiert werden können. (Zielfunktion) 5. Untersuchung der Zielfunktion auf Extremwerte. 6. Randwerte prüfen. 7. Ergebnis im Rahmen der Aufgabenstellung formulieren. Bsp: Geg -f(x) = 10x- e²x² -durch den Ursprung -P(Alo) und Platf(a)) ein Dreiech bestimmen. ->maximalen Inhalt berechnen A(x) = 1 / ² x· f(x) 슬. A(x) -1 00:33 -A = 1·g⋅h - = = x. 10x e 5x-e²7² Ableitung bilden g(x) = 5x² h41=e=x² 3-42 g'(x) = J h'(x) = -2x ex² A'(x) = ²x² (-10x³ + 10x) - 10x ->Nullstellen berechnen 4= 0 e-x² - (-10x ²³ +10x) = 0 1 S 0 -10x³ + 10x 0x-Aushlamen +- (-10 x ² + 10) = 0 - 10x²10-01-10 -10x²-101-10 x²=11√77 >₂=-1 s kann nicht sein weil Flächeninhalt muss positiv seb -> zweile Alleitung bilden -x². (20x4-50x² +10) A"(x) = 1²² -> Nullstellen einsehen. A" (0)1001P A" (1) =< 0 => HP =) Dreiech wird maximal bei x = 1 mit A(₁11=5.1²- e-^² = 1,83 [FEJ -> Randwerle Alo1=0 ; A(3) = 0,005 => > Dreiech maximal bel = 1 1. Flächeninhalt A - 2-g.h soll max. werden. 11. h=t| 9 = f(H1-hlt) = AL+) - 3-1-([(H1-K(+)) = 1-1-(41e-015+ + 40-0,5+) > 2e-951 (1²1) - ++) -0,5+ 2è 11. D= + ²0 => Zielfunktion Alt) = 26 95+ (+² ++) mit + ²0 IV. Anwenden der Produkt /Kettenregel A² (1)-2.(-6,5). € 015¹ (1²+1) + 2 € 00 +(2+1^)) --e-0₁51 (+²+ +-46-2) - 0₁57. 1+²-34-21 =e Notw. Bed.f. Extremstellen: A'41=0 -e-015. (12-31-2)=0 | (-e-bist) (-e-015+) +2-34-2=0 +₁ = ²2 + 1 √127~3,56 3 1₂ - 2/2 - 1/2 √12²7¹2 - 0,56 €D 2 V. A ( ² + 2√177) 25,48 Randwert: A(0)=0 Tim A (H) = ( 0 7-200 Für t=3+27 ist der Flächeninhalt maximal.. Gegebenene Funktion fl Punlite Alty), B(xly), C(xly) ax² + 6x + C Gibt immer Voraussetzungen: 1. Grad (3/4/2) = ax +bx+cx +dx-te ganzrationale Funktionen bestimmen Lüberlegen, welchen Grad.n die ganzrationale Funktion haben solle, und die entsprechende Funktionsgleichung mit n+1. Parametern notieren → Grad muss um eins niedriger sein als Clie Anzahl der bekannten Bedingungen. 1. Symmetrie = man kann entweder alle graden/ alle ungraden wegstreichen -> AS = f(₁) = ax² +bx+c => f(x) = ax² weil bx^ und c=0 11. WP/ TP/ HP/normaler Punkt (f'(x)=0 /f "(x) = 0) Punkte alle in feinsetzen: f(x) = ax +6+ +C... = y₁ "Sobald eine Variable gelöst ist clireht in eine andere Gleichung einsehen. •HP/TP in f'(x)=0 einsetzen -> nur den x-Wert einsetzen, da die Gleichung = 0 sein muss - WP in f(x)=0 einsetzen ->nur den x-Wert, cla clie ( hung=0 sein muss VI. Funktionsgleichung no heren und kontrollieren. Funktionen mit Parametern. es kommt noch ein Parameter mit hinzu. · IV: Aufstellen geeigneter Gleichungen für f, f!, !! aus den vorliegenden Informationen. Zur Bestimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt mun mind. h+1 Gleichungen: dr. Lo sen des linearen Gleichungssystems Bestimmen ganzrationaler Funktionen 1. Den Grad der Funktion festlegen und die entsprechende Funktions- gleichung mit allgemeinen Parametern notieren. 2. Aufstellen geeigneter Bedingungen mithilfe von f, f' und f". Zur Be- stimmung einer Funktion n-ten Grades benötigt man mindestens n+1 Bedingungen, aus denen man n + 1 lineare Gleichungen erhält. 3. Lösen des linearen Gleichungssystems. 4. Berechnete Parameter in die Funktionsgleichung einsetzen und das Ergebnis überprüfen. 1. welchen Grad soll die Funnkon haben. - • Parameler + 1 =) Bsp: ax²+bx+c- = 24en Grades = 3 Parameler Aurstellen geeigneter Gleichung aus den Informationen !!! losen des linearen Gleichungssystems. IV. Funktionsgleichung notieren. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in H(014) einen Hoch- und in W(112) einen Wendepunkt. Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d f'(x) = 3ax² +2bx+c f(x)=6ax + 2b Extremstelle bei x = 0: Hochpunkt in H (014): Wendestelle für x = 1: f'(0) = 0, also c = 0 f(0) = 4, also d=4 f" (1) = 0, also 6a + 2b =0 f(1) = 2, Wendepunkt W (1/2): also a + b + 4 = 2 Man erhält als Lösung f(x) = x³ - 3x² + 4. Ableitungen Exponentialfunktionen bestimmen. ((x)= a e6x = Wachstumsprozesse Liclurch die Angabe von zwei Eigenschaften / Punklen eindeutig bestimmbar (f(x) = (-a-e6x = leschräntle Wachstumsprozesse е I gesucht f(x) a ex gegeben: P(013) P(5/2) > I. Bedingungen aufstellen 1₁ 3 = a · e° = a · 1² = α 111. 2=3.656 => 3/3 = 0² fi( )= ab eb²x 11=a=p·b·2 11₁ 3=a·b· e 56 Ill. Funktion aufstellen: f(x) = 3-e²4081x =>1=α-e gesucht: f(x) = a ex gegeben P(211) => Steigung 3 f(x) (=) 26 L₂ einsehen von A in 2. 16: (a-e6-2). = 1 (7) ė => In ( 3 ) => +6 = 3 - 1 ( ²3 ) = -0,08 e 26 1=9e²6 = 6·1² = 6 3.x - Vorgabe von 3 Eigenschaften 01002479-6³× Bsp: an-intern wird a gearbeitet (4) Wann ist ein Auto mit 30000 € Neuwert bei einem jährlichen Wertverlust von 20% noch die Hälfte wert? Der Abnahmeprozess wird modelliert mithilfe von 8(t)-30000-0,8-30000 e30 000 e-9223-1 (wobeit die Zeit in Jahren nach dem Neukauf angibt). In Ansatz: 8(t) 8 (0) 15000 30 000 eco=eest in (0.8) 3.1. Nach etwas mehr als 3 Jahren besitzt das Fahrzeug nur noch den halben Wen (5) In einer Minute kühlt sich eine warme Flüssigkeit um etwa 20% der Differenz zur Raumtemperatur ab. Die aktuelle Raumtemperatur beträgt 20". Nach welcher Zeit ist ein 90 °C heißer Kaffee auf 50°C abgekühlt? Es ist T (t)-20-[90-20] -0,8%, also wegen In (0,8)= -0,223: T (t)=20+70-e Aus 50-20+70-e-folgt:=e, also In=-0,223t und t = 3,8 (nach ca. 3,8 min ist der Kaffee auf 50°C abgekühlt). ni-30.j 3.10628 (331,15) 20 20470-08)-50) 10.100 B(1) = 20 = 10 + (100-10) e 1.7971 (6) Zusatz: Ein Apfelbaum einer bestimmten Sorte bringt bis zu 100 kg Obst. Nach dem Pflanzen eines solchen Baumes beträgt die erste Ernte 10 kg (t = 0), nach dem ersten Jahr (t-1) 20 kg. 116)-20-70-(0) Die Gleichung des Wachstums wird durch folgende Bedingungen festgelegt: B(0)=10; 8 (1)=20; S = 100; (1.8,50) e-100k = 0,008; e-100-100-k=In=-0,811, 1000 also B (t) = 10+90 e Der Wert von B (1) liefert einen Schätzwert für den Parameter k. Diesen Schätzwert erhalten wir durch Auflösen nach der Variablen k: 1000 10+90-200+1800-100=1000 12(x)-100 Funktionenscharen untersuchen: Parameter a f₂(x)=x²- 20x + 8a-16 Funktion, die nicht nur von einer Variable x, sondern von Parametern abhängen für die man verschiedene Zahlen einsetzen kann eine Schar von Funktion -a ist der Parameter der Funktionenschar enthalt ein Funktionsterm außer der Variable x hoch einen Parameter a, so getört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem Funktionsuert fu(x) zuordnet. Die Funktionen fa bilden eine Funktionenschar I'` nachweisen, class sie durch einen Punkt laufen · Plxly). einsetzen => wenn 0 = 0 laufen alle durch den Punkt P(xly) 11. Koordinaten des Trefpunktes berechnen `->^. Nullstelle der doten Ableitung bestimmen ->hach x auflösen -> hinreichende Bedingung überprüfen -y-Koordinaten bestimmen Steigung hängt davon ab was man für a einsetzt L₂ für Steigung immer in Ableitung einsetzen Die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Gruphen einer Funktion- enschar hängen häufig von einem Parameter ab. Für die Berechnung der Punkle werden die. Parameler, der Funktion wie eine Extrempunkile Zahl behndelt --> über - Achse keine NS • auf der X-Achse - zwei NS unter der x-Achse überprüfen ob sie durch den Ursprung verlaufen · fa(0) = 0 weitere Nullistellen bestimmen: fa(+)-0 setzen, immer nach x auflösen. III. zeigen, class Nullstellen von a>0 übereinstimmen ->die Funktion nullsetzen Funktionenscharen Enthält ein Funktionsterm außer der Funktionsvariablen x noch einen Parameter t, so gehört zu jedem t eine Funktion f. Die Funktionen bilden eine Funktionenschar. Beins Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. fa(x) = ax²³-3ax fa(x) = Зах2. За f"alx) = 6ax-3 L> Parameter fällt beim ableiten weg Steigung von f an der Stelle o fa(0) 3a-0²-3a = -3d fa(x)=x²+3ax - 6a +4 -> zeigen sie dass alle Graphen durch. den Punkt P(210) verlaufen f(2) --22 +За 2-ва +4=0 =_4+ba-ba+4= 0-0 >>alle laulen durch den Punkt P (010) fa(+1-2x + 3a ->f'al~)- f'a (x) = -2 ↓ fa (²)=-2<0-Moo a>() -2x+390+2x 3a-21:2 1,50 = >D a-x TP bei P15 a/2₁25a²6a+4) A Z O (ke f(x)=x²-12t²x mit te R* f(x)=3x²-12t²; f(x) = 6x Die Graphen von f, haben für t> 0 in T₁(2t)-161¹) Tiefpunkte. Beispiel 1 Parametervariation zur Anpassung an eine vorgegebene Eigenschaft Gegeben sind die Graphen der Funktionenschar mit f(x) = x³ - kx². • Welcher der Graphen hat einen Hochpunkt an der Stelle x = -2? notwendige Bedingung: f(x) = 3x² - 2kx: f(-2)=3(-2)²-2k-(-2) = 12 + 4k = 0 ⇒k=-3 hinreichende Bedingung: f (x) = 6 x - 2k; f" (-2) = 6 (-2)-2-(-3) = -12 +6 <0. Unter den Kurven der Funktionenschar hat der Graph mit f_3(x) = x³ + 3x² die gewünschte Eigenschaft. Welcher der Graphen hat bei x = 1 eine Wendestelle? -4 -3 12 FY notwendige Bedingung: f (x) = 6 x - 2k: f(1) = 6 - 2k=0 ⇒k=3 hinreichende Bedingung: f(x) = 6 #0 YA 4 3+ 2- 1+ 1- -2- -3- -4- Fail Ext Not Fal In SAIU cu Mi Unter den Kurven der Funktionenschar hat der Graph mit f₂(x) = x³ - 3x² die gewünschte Eigenschaft. Funktionenscharen mit e-Funktionen Geg: f(x) = ex-tx Nullstellen und Extremstellen: b + wird d behandelt wie eine natürliche Zahl L₂ + fällt beim ableiten | n. Weg bilden. ·ft. (x) = e Nullstellen: £+ (x) - O ex-tx=0 / ++x et = tx (=) FER} Definitionsbereich aufstellen .S. es gibt eine Nullstellen. Extremslellenen Notw. Bed. f;²(x) = 0) ·ex-t.-o. tit ·e²= t. In(t) x = ln(t)` L> Definitionsbereich einschränken 20 > da In weder null nuch negativ sein darf. Hink Bed fx "(x) +O -> > zweite Ableitung bilden fr :(ln(t) = éln(t) so = TP Lyfür alle + >0. => tr Is für. t≤ 0. gibt es keine Extremstellen ->nachweisen, dass. Funktionenschar Leine NS / EP hat ts ful) 0 / fu( )=0 / f₁ "(>) +0 Bsp: f(x) = (2x+34) e' L Extrem- und Wendepunkte: fu(²) - (2x+36). e²^^ + (2): e²^ - (2x + 34+2) x + 1 = e (x+1) f(x)=x+₁ (2) + +^- (2x +3h+2) =e*+^ (2x+34+4) Notw. Bed: f'u (s) ett²- (2x +34 +2) = 0 J 4 2x+34+2=0 - ³/4-1=0 f²xl-3 6-11 = 2 ₂ ² ³ 6 10 120, plso TP für alle KER 11 WP = 6" n(x) = 0 ex+1 (2x + 3h + 4) = 0 ! 2x+34+4=0 -3/4-2 => f(1) = ex+₁ (2x + 3h+6) P(-2-1,54) = e III Wie verändern sich die Extrempunkte, wenn man sie erhöht? je größer h, desto uleiner wird derx- und y-Wert, er verschiebt sich demnach nach unten links im Graplen EP (-1-1,5h/ -2ě nisul 6 = 100 h=200 EP (-1511-26-150) EP (-301 1-2e-360) Bsp: 16 (1)=(2²+6). ex 1. heine NS u. heine EP fula 1-0 (2²+4) ex=0 2 ↓ et = 0 3 Isk muss negativ sein, da für k²1 heine NS möglich sinu = ار 12 + ² = - 4157 +=√√√ -4² flu(x) = 0 ex (x²+2x+4)=0 лебл 1-4 7 >> - 0 muss negaliv sein => [²1] für h=1 erhält man in der hinreichenden Bedingung o unal for f'n(s) evrabla man изл einen negativen wert in der klammer 11 je großerh, desto weiler verschieben sich che Nullstellen nach rechts 1/1 aufgrund der pq-Furmel erhält manghirde Leine oder zwei Nullstellen / Were