Grundlagen der Zuordnungen

Bei proportionalen Zuordnungen steigen oder sinken beide Werte im gleichen Verhältnis. Wenn sich ein Wert verdoppelt, verdoppelt sich auch der andere. Wenn du zum Beispiel 4 Hefte für 3€ kaufst, kosten 8 Hefte 6€.

Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es genau umgekehrt: Wenn ein Wert größer wird, wird der andere kleiner. Das siehst du etwa bei Arbeit: Wenn 6 Arbeiter eine Aufgabe in 10 Tagen erledigen, schaffen 12 Arbeiter dieselbe Aufgabe in nur 5 Tagen.

Um eine Tabelle zu ergänzen, musst du zuerst erkennen, um welche Zuordnung es sich handelt. Bei proportionalen Zuordnungen multiplizierst du mit demselben Faktor. Bei antiproportionalen Zuordnungen multiplizierst du mit dem Kehrwert.

💡 Merkhilfe: Bei proportionalen Zuordnungen kannst du immer den Wert für x=1 berechnen (das nennt man den Proportionalitätsfaktor). Alle anderen Werte ergeben sich dann durch Multiplikation mit diesem Faktor.

Um die Zuordnungsvorschrift anzugeben, berechnest du für proportionale Zuordnungen y = k·x und für antiproportionale Zuordnungen y = k/x, wobei k eine konstante Zahl ist.

Textaufgaben zu Zuordnungen

Textaufgaben zu Zuordnungen kommen im Alltag häufig vor. Du musst zuerst erkennen, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Beziehung handelt.

Bei Preisberechnung gilt oft: Je mehr Stück, desto höher der Gesamtpreis - das ist proportional. Bei einem Klassenausflug mit festem Gesamtpreis gilt: Je mehr Teilnehmer, desto weniger zahlt jeder Einzelne - das ist antiproportional.

Manchmal geht es um Geschwindigkeit und Zeit: Wenn du schneller fährst, brauchst du weniger Zeit für dieselbe Strecke. Dies ist eine antiproportionale Zuordnung, denn je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer die Zeit.

🧮 Tipp: Um zu erkennen, ob eine Zuordnung proportional oder antiproportional ist, frage dich: "Wenn ein Wert größer wird, wird dann auch der andere Wert größer (proportional) oder kleiner (antiproportional)?"

Bei Grundstücken mit gleichem Flächeninhalt sind Länge und Breite antiproportional zueinander: Wird die Breite größer, muss die Länge kleiner werden, damit die Fläche gleich bleibt.

Lösungsstrategien und Berechnungen

Die Lösungen zu den Aufgaben zeigen dir, wie du systematisch vorgehen kannst. Bei einer antiproportionalen Zuordnung wie in Aufgabe 3 (Benzinverbrauch und gefahrene Kilometer) gilt: Wenn der Verbrauch steigt, sinkt die mögliche Fahrtstrecke.

Bei Aufgabe 2 lernst du, wie man die Zuordnungsvorschriften bestimmt:

• Proportional: y = k·x $z.B. y = 0,8·x$
• Antiproportional: y = k/x $z.B. y = 30/x$

Um eine Tabelle zu vervollständigen, kannst du bei proportionalen Zuordnungen zuerst den Wert für x=1 berechnen. Zum Beispiel in Aufgabe 4a: 7 Einheiten kosten 84€, also kostet 1 Einheit 12€. Mit diesem Wert kannst du alle anderen Zeilen ausfüllen.

📊 Beispiel: Bei antiproportionalen Aufgaben ist das Produkt der zusammengehörigen Werte immer gleich. In Aufgabe 7 ist der Flächeninhalt konstant 1200 m², daher gilt: Länge × Breite = 1200.

Bei Geschwindigkeitsaufgaben wie in Aufgabe 8 gilt: Je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer die Zeit (bei gleicher Strecke). Mit 15 km/h braucht man 20 Minuten, mit 25 km/h nur 12 Minuten und mit 50 km/h sogar nur 6 Minuten.

Praktische Anwendungen

Textaufgaben helfen dir, Zuordnungen im Alltag zu erkennen und zu lösen. In Aufgabe 5 siehst du, dass bei einem festen Buspreis von 2550€ die Kosten pro Person antiproportional zur Teilnehmerzahl sind: Weniger Teilnehmer bedeuten höhere Kosten pro Person.

Bei Aufgabe 6 handelt es sich um eine proportionale Zuordnung: Peter zahlt für 5 Hefte 1,65€, also kostet 1 Heft 0,33€. Mit diesem Wert kannst du berechnen, was Claudia (0,99€), Klaus (1,98€) und Frieda (2,64€) zahlen müssen.

Die Aufgabe 10 zeigt eine typische proportionale Situation: Die Mietkosten für ein Wohnmobil steigen gleichmäßig mit der Anzahl der Tage. Pro Tag fallen 180€ an, also zahlt Familie Zeiger für 11 Tage 1980€ und Familie Friedrichsen für 14 Tage 2520€.

🚧 Praxistipp: Bei Bauarbeiten $Aufgabe 12$ gilt: Mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit für dieselbe Aufgabe - das ist ein klassisches Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung!

In Aufgabe 11 berechnest du den Preis für 36 Liter Benzin, wenn 25 Liter 52,50€ kosten. Da es sich um eine proportionale Zuordnung handelt, kostet 1 Liter 2,10€ und somit 36 Liter 75,60€.

Weitere Anwendungsbeispiele

Bei der Firma Callsen kostet ein Bus 4.320€ und bei der Firma AFAG 4.560€. Hier siehst du, wie sich die Kosten pro Person antiproportional zur Anzahl der Schüler verhalten: Bei 24 Teilnehmern zahlt jeder bei Callsen 180€, bei nur 20 Teilnehmern steigt der Preis auf 216€ pro Person.

Die Mietpreisberechnung in Aufgabe 10 zeigt eine einfache proportionale Zuordnung: Bei 180€ pro Tag zahlt man für 11 Tage 1.980€ und für 14 Tage 2.520€. Du kannst das leicht nachrechnen, indem du den Tagespreis mit der Anzahl der Tage multiplizierst.

Bei der Bauarbeit mit Raupen in Aufgabe 12 erkennst du eine klassische antiproportionale Beziehung: 6 Raupen brauchen 24 Tage, 2 Raupen brauchen dreimal so lange (72 Tage), 10 Raupen schaffen es in nur 14,4 Tagen.

🔄 Vergleichstipp: Du kannst prüfen, ob eine Zuordnung antiproportional ist, indem du überprüfst, ob das Produkt der zusammengehörigen Werte konstant ist. Bei Aufgabe 12: 6 × 24 = 2 × 72 = 144.

Bei Benzinpreisberechnungen $Aufgabe 11$ multiplizierst du einfach die Literzahl mit dem Preis pro Liter: 36 Liter × 2,10€ = 75,60€. Das ist ein Beispiel für eine direkte proportionale Berechnung, wie sie häufig im Alltag vorkommt.

Der Dreisatz als Lösungsmethode

Der Dreisatz ist ein praktisches Werkzeug, um proportionale und antiproportionale Aufgaben zu lösen. Er besteht aus drei Schritten: Vom gegebenen Vielfachen einer Größe auf eine Einheit schließen und dann auf das gesuchte Vielfache.

Beim proportionalen Dreisatz teilst du zuerst durch die Anzahl, um den Wert für eine Einheit zu erhalten. Danach multiplizierst du mit der gesuchten Anzahl. Im Beispiel kosten 5 Päckchen Kaffee 9€, also 1 Päckchen 1,80€ und somit 7 Päckchen 12,60€.

Der antiproportionale Dreisatz funktioniert anders: Hier berechnest du zuerst das Produkt der zusammengehörigen Werte $die Gesamtleistung$. Im Beispiel ergibt 12 Arbeiter × 30 Tage = 360 Arbeitstage. Um die Zeit für 10 Arbeiter zu berechnen, teilst du 360 durch 10 und erhältst 36 Tage.

🔍 Wichtig: Bei jeder Dreisatzaufgabe musst du zuerst entscheiden, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, bevor du den passenden Dreisatz anwendest!

Der Dreisatz macht komplizierte Berechnungen einfacher, indem er sie in überschaubare Schritte zerlegt. Du kannst ihn für viele Alltagsprobleme nutzen, von Preisberechnungen bis zu Zeitplanungen.