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Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Nils

@nils1555

95 Follower

Die Bernoulli-Formel ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einer Bernoulli-Kette zu berechnen. Wichtige Aspekte sind:

Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k")
Erwartungswert μ und Standardabweichung σ
Anwendung der Sigma-Regeln zur Annäherung an die Binomialverteilung
Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsdiagrammen

Der Fokus liegt auf der praktischen Anwendung dieser Konzepte durch Beispiele und Übungsaufgaben.

8.7.2022

3827

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Inhaltsverzeichnis

Dieser Abschnitt listet die Hauptthemen des Dokuments auf:

Bernoulli-Formel: Erklärung der Formel, Bedeutung der Parameter und Berechnung von Binomialkoeffizienten
μ und σ: Erläuterung von Erwartungswert und Standardabweichung
Beispiele zur Anwendung der Konzepte
Sigma-Regeln und Diagramme: Erklärung und Anwendungsbeispiele
Übungsaufgabe mit Lösung

Highlight: Das Inhaltsverzeichnis bietet einen strukturierten Überblick über die behandelten Themen.

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Die Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel ist ein zentrales Element in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird zur Berechnung einer Bernoulli-Kette verwendet, die eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli-Experimenten darstellt.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (p) und für eine Niete (1-p) konstant bleibt.

Die Formel lautet: P(X=K) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für das Verständnis von Binomialverteilungen.

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k"):

Mit einem Taschenrechner (GTR)
Mithilfe des Pascal-Dreiecks
Per Hand mit der Formel: (n über k) = n! / (k! * (n-k)!)

Beispiel: Für (5 über 3) ergibt sich: 5 * 4 * 3 / (1 * 2 * 3) = 10

Highlight: Die Berechnung von Binomialkoeffizienten ist ein wichtiger Schritt bei der Anwendung der Bernoulli-Formel.

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Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √(n * p * (1-p)) Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

Highlight: Je größer "n", desto größer ist die Standardabweichung, was zu einer größeren Variabilität der Ergebnisse führt.

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n (20, 80, 180) bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

Highlight: Mit steigendem n wird die Verteilung breiter und flacher, was die zunehmende Standardabweichung widerspiegelt.

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Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%
2σ-Regel: P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%
3σ-Regel: P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

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Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 68,3% 2σ-Regel: P(40 ≤ X ≤ 60) ≈ 95,4% 3σ-Regel: P(34 ≤ X ≤ 66) ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

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Sigma-Diagramm Beispiel

Das Diagramm veranschaulicht die Anwendung der Sigma-Regeln auf die Binomialverteilung mit n = 125 und p = 0,4. Es zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung und markiert die Bereiche für die 1σ-, 2σ- und 3σ-Regeln.

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

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Übungsaufgabe

Eine Übungsaufgabe zur Bernoulli-Kette wird präsentiert:

Ein Glücksrad wird 10 mal und 20 mal gedreht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 60%.

Aufgaben:

Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
Schätzen Sie mit der 2. Sigma-Regel das Intervall, in dem die Anzahl der Gewinne mit ca. 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Diese Aufgabe dient der praktischen Anwendung der gelernten Konzepte.

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μ und σ: Erläuterung von Erwartungswert und Standardabweichung
Beispiele zur Anwendung der Konzepte
Sigma-Regeln und Diagramme: Erklärung und Anwendungsbeispiele
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Die Bernoulli-Formel

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (p) und für eine Niete (1-p) konstant bleibt.

Die Formel lautet: P(X=K) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für das Verständnis von Binomialverteilungen.

Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k"):

Mit einem Taschenrechner (GTR)
Mithilfe des Pascal-Dreiecks
Per Hand mit der Formel: (n über k) = n! / (k! * (n-k)!)

Beispiel: Für (5 über 3) ergibt sich: 5 * 4 * 3 / (1 * 2 * 3) = 10

Highlight: Die Berechnung von Binomialkoeffizienten ist ein wichtiger Schritt bei der Anwendung der Bernoulli-Formel.

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √(n * p * (1-p)) Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

Highlight: Je größer "n", desto größer ist die Standardabweichung, was zu einer größeren Variabilität der Ergebnisse führt.

Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n (20, 80, 180) bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

Highlight: Mit steigendem n wird die Verteilung breiter und flacher, was die zunehmende Standardabweichung widerspiegelt.

Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 68,3%
2σ-Regel: P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4%
3σ-Regel: P(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 68,3% 2σ-Regel: P(40 ≤ X ≤ 60) ≈ 95,4% 3σ-Regel: P(34 ≤ X ≤ 66) ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

Sigma-Diagramm Beispiel

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

Übungsaufgabe

Eine Übungsaufgabe zur Bernoulli-Kette wird präsentiert:

Ein Glücksrad wird 10 mal und 20 mal gedreht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 60%.

Aufgaben:

Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
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Die Bernoulli-Formel

Berechnung von Binomialkoeffizienten

Erwartungswert und Standardabweichung

Beispiel zur Berechnung von μ und σ

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Beispiel zu Sigma-Regeln

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