Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

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Nils

8.7.2022

Mathe

Binominalverteilung

Fächer

Mathe

Stochastik

Wahrscheinlichkeit grundlagen

Pfadregel

Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Die Bernoulli-Formel ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einer Bernoulli-Kette zu berechnen. Wichtige Aspekte sind:

Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k")
Erwartungswert μ und Standardabweichung σ
Anwendung der Sigma-Regeln zur Annäherung an die Binomialverteilung
Erstellung und Interpretation von Wahrscheinlichkeitsdiagrammen

Der Fokus liegt auf der praktischen Anwendung dieser Konzepte durch Beispiele und Übungsaufgaben.

8.7.2022

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Inhaltsverzeichnis

Dieser Abschnitt listet die Hauptthemen des Dokuments auf:

Bernoulli-Formel: Erklärung der Formel, Bedeutung der Parameter und Berechnung von Binomialkoeffizienten
μ und σ: Erläuterung von Erwartungswert und Standardabweichung
Beispiele zur Anwendung der Konzepte
Sigma-Regeln und Diagramme: Erklärung und Anwendungsbeispiele
Übungsaufgabe mit Lösung

Highlight: Das Inhaltsverzeichnis bietet einen strukturierten Überblick über die behandelten Themen.

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Die Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel ist ein zentrales Element in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird zur Berechnung einer Bernoulli-Kette verwendet, die eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli-Experimenten darstellt.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ und für eine Niete $1-p$ konstant bleibt.

Die Formel lautet: P $X=K$ = $n über k$ * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für das Verständnis von Binomialverteilungen.

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten $"n über k"$ :

Mit einem Taschenrechner $GTR$
Mithilfe des Pascal-Dreiecks
Per Hand mit der Formel: $n über k$ = n! / $k! * (n-k$ !)

Beispiel: Für $5 über 3$ ergibt sich: 5 * 4 * 3 / $1 * 2 * 3$ = 10

Highlight: Die Berechnung von Binomialkoeffizienten ist ein wichtiger Schritt bei der Anwendung der Bernoulli-Formel.

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Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √ $n * p * (1-p$ ) Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

Highlight: Je größer "n", desto größer ist die Standardabweichung, was zu einer größeren Variabilität der Ergebnisse führt.

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n $20, 80, 180$ bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

Highlight: Mit steigendem n wird die Verteilung breiter und flacher, was die zunehmende Standardabweichung widerspiegelt.

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Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P $μ-σ ≤ X ≤ μ+σ$ ≈ 68,3%
2σ-Regel: P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,4%
3σ-Regel: P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

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Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P $45 ≤ X ≤ 55$ ≈ 68,3% 2σ-Regel: P $40 ≤ X ≤ 60$ ≈ 95,4% 3σ-Regel: P $34 ≤ X ≤ 66$ ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

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Sigma-Diagramm Beispiel

Das Diagramm veranschaulicht die Anwendung der Sigma-Regeln auf die Binomialverteilung mit n = 125 und p = 0,4. Es zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung und markiert die Bereiche für die 1σ-, 2σ- und 3σ-Regeln.

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

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8. Juli 2022

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Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Nils

@nils1555

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Sigma-Regeln und Diagramme: Erklärung und Anwendungsbeispiele
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Die Bernoulli-Formel

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer $p$ und für eine Niete $1-p$ konstant bleibt.

Die Formel lautet: P $X=K$ = $n über k$ * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten $"n über k"$ :

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Mithilfe des Pascal-Dreiecks
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Beispiel: Für $5 über 3$ ergibt sich: 5 * 4 * 3 / $1 * 2 * 3$ = 10

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Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √ $n * p * (1-p$ ) Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n $20, 80, 180$ bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

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Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P $μ-σ ≤ X ≤ μ+σ$ ≈ 68,3%
2σ-Regel: P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,4%
3σ-Regel: P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

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Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P $45 ≤ X ≤ 55$ ≈ 68,3% 2σ-Regel: P $40 ≤ X ≤ 60$ ≈ 95,4% 3σ-Regel: P $34 ≤ X ≤ 66$ ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

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Sigma-Diagramm Beispiel

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

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Übungsaufgabe

Eine Übungsaufgabe zur Bernoulli-Kette wird präsentiert:

Ein Glücksrad wird 10 mal und 20 mal gedreht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 60%.

Aufgaben:

Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
Schätzen Sie mit der 2. Sigma-Regel das Intervall, in dem die Anzahl der Gewinne mit ca. 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Diese Aufgabe dient der praktischen Anwendung der gelernten Konzepte.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Lena M

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Timo S

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Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die Bernoulli-Formel

Berechnung von Binomialkoeffizienten

Erwartungswert und Standardabweichung

Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Sigma-Regeln und Diagramme

Beispiel zu Sigma-Regeln

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Ich liebe diese App so sehr, ich benutze sie auch täglich. Ich empfehle Knowunity jedem!! Ich bin damit von einer 4 auf eine 1 gekommen :D

Die App ist sehr einfach und gut gestaltet. Bis jetzt habe ich immer alles gefunden, was ich gesucht habe :D

Ich liebe diese App ❤️, ich benutze sie eigentlich immer, wenn ich lerne.

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