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8.7.2022
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Binominalverteilung Bernoulli Formel /μ und o/ o-Regeln und Diagramme Inhaltsverzeichnis • Bernoulli-Formel Formel + Bedeutung der Parameter n über k berechnen μ und o • Beispiel • Sigma-Regeln und Diagramme Sigma-Regeln Beispiel Sigma-Diagramm Beispiel • Übungsaufgabe Lösung Quellen Bernoulli-Formel Wird zur Berechnung einer Bernoulli Kette benutzt Bernoulli Kette: ist eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli Experimenten Bernoulli Experiment: es gibt nur 2 Ausgänge beim Experiment: Treffer oder Niete; Wahrscheinlichkeit für Treffer (p) und für Niete (1-p) darf nicht variieren Formel: P(X=K) = (x) pk. (1-p)) Bedeutung der Parameter : n-k n = Anzahl der Versuche k= Anzahl der erzielten Treffer p= Wahrscheinlichkeit für Treffer Bernoulli-Formel n über k berechnen 1. Möglichkeit mit GTR (3) = nCr (5₁3) - ΛΟ 2. Möglichkeit mit Pascal -Dreieck (5) O 2 3 ५ 5 1/5/10 10/5/1 ^ 1/3/3/ 1/4/6/4 ما 3. Möglichkeit per Hand (5) = 5.4.3 1.2.3 = λο -> im Nenner von A bis k hochzählen -> im Zähler um gleich viele Faktoren herunterzählen μ und o Der Erwartungswert gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird Die Standardabweichung gibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert an (mittlere Abweichung vom Erwartungswert) Je größer „n“, desto größer ist die Standardabweichung -> mehr Versuche öfter unterschiedliche Ergebnisse = Erwartungswert: μ= n.p Standardabweichung: G = √n.p. (1-P) P = 0,3 M= n⋅p = n= 20; 80 ; 180 20. 0,3 = 6 80·0,3 = 24 180·0,3 = 54 μ und o Beispiel 6= √n.p. (1-P). 0.0,3.0,7 ≈ 2,05 80 0,3 0,7 ≈ 4,1 ● √180.0,3-0,7 ≈ 6,15 0,20 0,15 0,10 0,05 4 Bn;p (r) σ= 2,05 n = 20 5 10 15 p= 0,3 aus Aufgabe 20 o = 4,10 n = 80 25 30 35 40 45 50 σ = 6,15 ti 55 n = 180 60 65 70 r Sigma-Regeln und Diagramme Mit den Sigma-Regeln kann...
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man sich einer binominalverteilten Zufallsgröße annähern und die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualen Anteil einschätzen • Die vierte bis sechste Regel wird in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen benutzt 16-; 26-; 36- Regel: 1. P(M-6 ≤X ≤ μ+ G) ~ 68,3² 2. PM-2.GEXEμ+2·6) ~ 95,4% 3. P(μ-3.6 ≤X = μ +3·6) ≈ 99,7% für, glatte" Wahrscheinlichkeiten: 4. P(M-1,646 ≤ x ≤ μ+ 1,64.6) ≈ 90% 5. P(M-1,96.G ≤ x ≤ μ+ 1, 96.6) ≈ 95% 6. P(-2,58.G ≤ x ≤ μ+ 2,58.6) ~ 99% n=125 p=0₁4 M = n⋅p= 125 0,4 = 50 1.G Sigma-Regeln Beispiel G= np. (1-p)=√√√125.0,4-0,6 25,48 P(50-5,48 ≤ x ≤ 50+5, 48) ~ 68,3% = P(44,52 ≤x≤ 55,48) = 68,3% P (45 ≤X 55) ≈ 68,3% 2.G P(50-2.5,48 ≤ x ≤ 50+ 2.5,48) = 95.4% P (40 ≤ x ≤ 60) ~ 95,4% 3.G P(50-3.5,48 ≤ x ≤ 50+ 3.5, 48) ~ 99,7% P(34 ≤x≤66) ≈ 99,7% 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 A P(X=r) 0,02+ 0,01 04 30 35 99,7% Sigma-Diagramme Beispiel 40 95,4% 45 68% 50 I 10 55 n = 125 P=0,4 20 60 30 65 I Anzahl r 70 Fig. 2 Übungsaufgabe • Ein Glücksrad wird einmal 10 mal und einmal 20 mal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, wenn auch nur einen kleinen, Gewinn zu erzielen, liegt bei 60%. • Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung. • Schätzen Sie mit der 2. Sigma-Regel, in welchem Intervall die Anzahl von Gewinnen mit ca. 95,4%-Gier Wahrscheinlichkeit liegt. Erwartungswert: μ= n.p Standard abweichung: G=√n.p. (1-P) 2. PM-2.GEX ≤μ+2·6) ~ 95,4% n = 10 p= 0,6 M= n⋅p = 10.0,6 = 6 =P(6-2.1,55 ≤ x ≤ 6+2·1,55) 295,4% =P(2,9 ≤x≤9, 1) ≈ 95,4% •√√10.06.04 ≈ 1,55 = P(3 ≤ x ≤9) ≈ 95,4% Die Werte, die X annimmt, liegen zu ca. 95,4% G = n.p.(^-p) = Übungsaufgabe Lösung zwischen 3 und 9. 2.6= P(M-2.6 ≤ x ≤ μ+2·6) ≈ 95,4% n = 20 P= 0,6 M = n⋅p = 20.0,6=12 =P(12-2.2,19 ≤ x ≤ 12+2.2, 19) ≈ 95,4% =P (7,62 ≤x≤ 16,38) ≈ 95,4% = P(8 ≤ x ≤ 16) ≈ 95,4% Die Werte, die X annimmt, liegen zu 95,4% G = = n.p.(1-P) 20.0,6-0,4 ≈2, 19 zwischen 2.6= P(-2.6 ≤ x ≤ μ+2·6) ≈ 95,4% 8 und 16. Puzzle Die Bernoulli - Formel lautet In steht für k steht für P steht für Der Erwartungswert Die Standardabweichung Mit den Sigma-Regeln hat die Formel G=√√n.p. (^-p) die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen. Wahr- gibt die Streuung der Scheinlichkeitsverteilung an kann man sich einer binominal- verteilten Zufallsgröße annähern hat die Formel M= np. die Anzahl der Treffer P(X=K) = (2) pk. (^-p) ^- n-k gibt den durchschnittlich erwarteten Wert an die Anzahl der Versuche Puzzle Lösung Die Bernoulli-Formel lautet In steht für k steht für P steht für Der Erwartungswert Die Standardabweichung Mit den Sigma-Regeln P(X=K) = (2).pk (1-P) die Anzahl der Versuche die Anzahl der Treffer die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu erzielen hat die Formel μ= np. gibt die Streuung der Wahr- Scheinlichkeitsverteilung an kann man sich einer binominal- verteilten Zufallsgröße annähern gibt den durchschnittlich erwarteten Wert an hat die Formel G=√ √n·P·(1-P) Quellen Lambacher Schweizer, Mathematik Qualifikationsphase YouTube https://studyflix.de/statistik/bernoulli-formel-1789