Mathematik

Theorie der Stichprobenverteilung

Standardabweichung der Binomialverteilung

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•

12. Feb. 2026

•

15 Seiten

Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Nils

@nils1555

Die Bernoulli-Formelist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie... Mehr anzeigen

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Inhaltsverzeichnis

Dieser Abschnitt listet die Hauptthemen des Dokuments auf:

Bernoulli-Formel: Erklärung der Formel, Bedeutung der Parameter und Berechnung von Binomialkoeffizienten
μ und σ: Erläuterung von Erwartungswert und Standardabweichung
Beispiele zur Anwendung der Konzepte
Sigma-Regeln und Diagramme: Erklärung und Anwendungsbeispiele
Übungsaufgabe mit Lösung

Highlight: Das Inhaltsverzeichnis bietet einen strukturierten Überblick über die behandelten Themen.

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Die Bernoulli-Formel

Die Bernoulli-Formel ist ein zentrales Element in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird zur Berechnung einer Bernoulli-Kette verwendet, die eine Reihe von stochastisch unabhängigen Bernoulli-Experimenten darstellt.

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (p) und für eine Niete $1-p$ konstant bleibt.

Die Formel lautet: P $X=K$ = (n über k) * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für das Verständnis von Binomialverteilungen.

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k"):

Mit einem Taschenrechner (GTR)
Mithilfe des Pascal-Dreiecks
Per Hand mit der Formel: (n über k) = n! / $k! * (n-k)!$

Beispiel: Für (5 über 3) ergibt sich: 5 * 4 * 3 / (1 * 2 * 3) = 10

Highlight: Die Berechnung von Binomialkoeffizienten ist ein wichtiger Schritt bei der Anwendung der Bernoulli-Formel.

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Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √ $n * p * (1-p)$ Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

Highlight: Je größer "n", desto größer ist die Standardabweichung, was zu einer größeren Variabilität der Ergebnisse führt.

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n (20, 80, 180) bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

Highlight: Mit steigendem n wird die Verteilung breiter und flacher, was die zunehmende Standardabweichung widerspiegelt.

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Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P $μ-σ ≤ X ≤ μ+σ$ ≈ 68,3%
2σ-Regel: P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,4%
3σ-Regel: P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

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Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 68,3% 2σ-Regel: P(40 ≤ X ≤ 60) ≈ 95,4% 3σ-Regel: P(34 ≤ X ≤ 66) ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

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Sigma-Diagramm Beispiel

Das Diagramm veranschaulicht die Anwendung der Sigma-Regeln auf die Binomialverteilung mit n = 125 und p = 0,4. Es zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung und markiert die Bereiche für die 1σ-, 2σ- und 3σ-Regeln.

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

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Übungsaufgabe

Eine Übungsaufgabe zur Bernoulli-Kette wird präsentiert:

Ein Glücksrad wird 10 mal und 20 mal gedreht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 60%.

Aufgaben:

Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
Schätzen Sie mit der 2. Sigma-Regel das Intervall, in dem die Anzahl der Gewinne mit ca. 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Diese Aufgabe dient der praktischen Anwendung der gelernten Konzepte.

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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.

Stefan S

iOS-Nutzer

Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.

Samantha Klich

Android-Nutzerin

Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.

Anna

iOS-Nutzerin

Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist

Thomas R

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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.

Basil

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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.

David K

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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!

Sudenaz Ocak

Android-Nutzerin

In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.

Rohan U

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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.

Xander S

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Elisha

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Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt

Paul T

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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

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Theorie der Stichprobenverteilung

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Binominalverteilung: Bernoulli-Kette und Sigma-Regeln Aufgaben mit Lösungen

Nils

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Die Bernoulli-Formel ist ein grundlegendes Konzept in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in einer Bernoulli-Kette zu berechnen. Wichtige Aspekte sind:

Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k")
Erwartungswert μ und Standardabweichung σ
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Bernoulli-Formel: Erklärung der Formel, Bedeutung der Parameter und Berechnung von Binomialkoeffizienten
μ und σ: Erläuterung von Erwartungswert und Standardabweichung
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Die Bernoulli-Formel

Definition: Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (p) und für eine Niete $1-p$ konstant bleibt.

Die Formel lautet: P $X=K$ = (n über k) * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

Bedeutung der Parameter:

n: Anzahl der Versuche
k: Anzahl der erzielten Treffer
p: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer

Highlight: Die Bernoulli-Formel ist grundlegend für das Verständnis von Binomialverteilungen.

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung von Binomialkoeffizienten ("n über k"):

Mit einem Taschenrechner (GTR)
Mithilfe des Pascal-Dreiecks
Per Hand mit der Formel: (n über k) = n! / $k! * (n-k)!$

Beispiel: Für (5 über 3) ergibt sich: 5 * 4 * 3 / (1 * 2 * 3) = 10

Highlight: Die Berechnung von Binomialkoeffizienten ist ein wichtiger Schritt bei der Anwendung der Bernoulli-Formel.

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Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ sind wichtige Kenngrößen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Erwartungswert μ = n * p Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei mehrmaliger Durchführung erwartet wird.
Standardabweichung σ = √ $n * p * (1-p)$ Beschreibt die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert.

Highlight: Je größer "n", desto größer ist die Standardabweichung, was zu einer größeren Variabilität der Ergebnisse führt.

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

Anhand eines konkreten Beispiels wird die Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung demonstriert:

Gegeben: p = 0,3 und n = 20, 80, 180

Erwartungswert μ:

Für n = 20: μ = 20 * 0,3 = 6
Für n = 80: μ = 80 * 0,3 = 24
Für n = 180: μ = 180 * 0,3 = 54

Standardabweichung σ:

Für n = 20: σ ≈ 2,05
Für n = 80: σ ≈ 4,1
Für n = 180: σ ≈ 6,15

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie sich μ und σ mit steigendem n verändern.

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

Das Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für verschiedene Werte von n (20, 80, 180) bei p = 0,3. Es veranschaulicht, wie sich die Form der Verteilung mit zunehmendem n verändert.

Highlight: Mit steigendem n wird die Verteilung breiter und flacher, was die zunehmende Standardabweichung widerspiegelt.

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Sigma-Regeln und Diagramme

Die Sigma-Regeln sind ein wichtiges Werkzeug zur Annäherung an eine binomialverteilte Zufallsgröße. Sie ermöglichen es, die Spanne der Werte in Bezug zu deren prozentualem Anteil einzuschätzen.

Die wichtigsten Sigma-Regeln sind:

1σ-Regel: P $μ-σ ≤ X ≤ μ+σ$ ≈ 68,3%
2σ-Regel: P $μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ$ ≈ 95,4%
3σ-Regel: P $μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ$ ≈ 99,7%

Highlight: Die vierte bis sechste Regel werden in der beurteilenden Statistik beim Testen von Hypothesen verwendet.

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Beispiel zu Sigma-Regeln

Anhand eines Beispiels mit n = 125 und p = 0,4 werden die Sigma-Regeln angewendet:

μ = 125 * 0,4 = 50 σ ≈ 5,48

1σ-Regel: P(45 ≤ X ≤ 55) ≈ 68,3% 2σ-Regel: P(40 ≤ X ≤ 60) ≈ 95,4% 3σ-Regel: P(34 ≤ X ≤ 66) ≈ 99,7%

Beispiel: Diese Berechnungen zeigen, wie die Sigma-Regeln in der Praxis angewendet werden.

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Sigma-Diagramm Beispiel

Highlight: Das Diagramm hilft, die theoretischen Konzepte der Sigma-Regeln visuell zu verstehen.

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Übungsaufgabe

Eine Übungsaufgabe zur Bernoulli-Kette wird präsentiert:

Ein Glücksrad wird 10 mal und 20 mal gedreht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 60%.

Aufgaben:

Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
Schätzen Sie mit der 2. Sigma-Regel das Intervall, in dem die Anzahl der Gewinne mit ca. 95,4% Wahrscheinlichkeit liegt.

Highlight: Diese Aufgabe dient der praktischen Anwendung der gelernten Konzepte.

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Berechnung von Binomialkoeffizienten

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Erwartungswert und Standardabweichung

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Beispiel zur Berechnung von μ und σ

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Wahrscheinlichkeitsdiagramm

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Sigma-Regeln und Diagramme

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Beispiel zu Sigma-Regeln

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Sigma-Diagramm Beispiel

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Übungsaufgabe

Wir dachten schon, du fragst nie...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Wo kann ich die Knowunity-App herunterladen?

Ist Knowunity wirklich kostenlos?

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